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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,地点,理学院,A,座,309,下午晚上,期末答疑安排,6,月,17,日,6,月,19,日,全天,1/78,概率统计基础,复习,2/78,各 章 比 重,第,一,章,(,20),第,二,章,(,15),第,三,章,(,30),第,四,章,(1,0),第,五,章,(5,),第,六,章,(,5),第,七,章,(1,5),概率(,80),统计(,20),3/78,题,型,题,量,选择题 (5),填空题 (,5),计算题 (5 6),证实题 (,0 1),4/78,各 章 要 点,第,一,章,1.概率性质 古典概率,2.条件概率,乘法公式,全,、,贝公式,3.事件独立性,第,二,章,1.分布律分布函数定义性质,2.七个惯用分布,3.随机变量函数分布,5/78,例1,(1),在古典概型随机试验中,(),(,2),若事件,A,B,C,D,相互独立,则,与,也相互独立,.,(),事件,若事件,A,1,A,2,A,n,相互独立,将它,们任意分成,k,组,同一事件不能同时,属于两个不一样组,则对每组事件进,行求和、积、差、逆 等运算所得到,k,个事件也相互独立.,6/78,(,3),若事件,A,与,B,独立,B,与,C,独立,则事件,A,与,C,也相互独立.(),事件相互独立不含有传递性.,7/78,例2,对任意事件,A,B,以下结论正确是,(),(,a),(,b),(,c),(,d),解,选,b.,d,c,显然错,可证,b,是正确.,b,8/78,例3,小王忘了朋友家电话号码最终一位,数,故只能随意拨最终一个号,则他拨三次,由乘法公式,设事件 表示“三次拨号最少一次拨通”,表示“第,i,次拨通”,则,解,可拨通朋友家概率为,0.3,9/78,例4,小王忘了朋友家电话号码最终一位,数,他只能随意拨最终一个号,他连拨三次，,由乘法公式,设,表示“第,i,次拨通”,解一,求第三次才拨通概率,.,解二,从题目叙述看要求是无条件概率.,10/78,产生误解原因是未能仔细读题，,未能分清条件概率与无条件概率区分.,本题若改叙为：他连拨三次，已,知前两次都未拨通,求第三次拨通概率.,此时，求才是条件概率.,11/78,例5,10件产品中有3 件次品,从中任取 2 件.,在所取 2 件中有一件是次品条件下,求,另一件也是次品概率.,解1,设事件 表示“所取 2 件中有一件次品”,事件 表示“另一件也是次品”.则,解2,“,所取 2 件中最少有一件次品”,“,2 件都是次品,”,12/78,某厂卡车运输防“非典”用具下乡，,顶层装10个纸箱，其中5箱民用口罩、2,箱医用口罩、3箱消毒棉花.到目标地时,发觉丢失1箱，不知丢失哪一箱.现从剩,下 9箱中任意打开2箱，结果都是民用口,罩，求丢失一箱也是民用口罩概率.,例6,表示事件“,丢失一箱为,k,”,表示事件“任取 2 箱都是民用口罩”,解,分别表示民用口罩，医用,口罩，消毒棉花,.,13/78,由全概率公式,由贝叶斯公式,14/78,解二,（缩减样本空间法）,去掉,打开 2 箱民用口罩，,解二比解一简单十倍！,基本事件总数,有利基本事件数,15/78,例7,(1),是 密度函数 则 .(),(2),若 ,则 (),实际上由,2.4,得 非均匀分布函数,(3),若 ,则 (),16/78,内任一子区间上取值条件概率,例8,设随机变量 绝对值小于,1,；,在事件 出现条件下，,与该子区间长度成正比.,(1)分布函数,(2)取负值概率,解,(1),(2),在,试求,17/78,三性质都不满足,单调减,右不连续,未定义,18/78,分布函数 三性质,单调不减,右连续,19/78,解,当,当 推导较复杂先做准备工作.,由题设知,设,于是,当,(1),上式中令 得,还可另,法求,k,20/78,又,于是当 时，,21/78,(2),22/78,由题设 得,附,k,另一求法,23/78,落入区间(1,3,),概率最大.,例9,设 当 时,令,解,24/78,第,三,章,2.边缘分布 条件分布,3.随机变量独立性,第,四,章,1.期望 方差定义 性质,2.相关系数 相关性,3.期望应用,1.联合分布律 分布函数定义性质,4.随机变量函数分布,25/78,例10,设 独立同分布,且已知,求行列式 概率分布.,解,令 则 独立同分布,可能取值为则,26/78,练4,设,i.i.d.,几何分布,求 概率分布.,答案,27/78,具 体 推 导,28/78,设,A,B,为随机试验,E,两个事件，,0,P,(,A,)1,0,P,(,B,)1,例,证实:若,XY,=,0,则随机变量,X,Y,相互独立.,证,由,XY,=,0,而,令,29/78,错误原因,而这并不表明,X,Y,相互独立.,？,事件,A,B,相互独立,X,Y,相互独立,.,30/78,X,Y,p,ij,1 0,1,0,p,1,p,2,p,3,p,4,p,i,p,1,+,p,3,p,2,+,p,4,p,j,p,1,+,p,2,p,3,+,p,4,即,本题要,证实离散,随机变量,X,Y,相互,独立,必需证实以下四个等式都成立：,正确证实,由题设得(,X,Y,),联合分布：,31/78,由,32/78,同理可证:,故,X,Y,相互独立.,因为事件,A,B,相互独立,必有,也相互独立，即,33/78,二维随机变量函数分布,p.d.f.,或,34/78,练习,设随机变量 (均匀分布)，,(指数分布),且它们相互独立，,试求 密度函数,答案,35/78,判断独立性简便方法,已知联合分布,判断 是否独立需要做 次,加法和乘法.,共需运算13次.,例11,求 值,独立.,使,解,（一眼看出）,1 2 3,1,2,1/3,a b,1/6,1/9,1/18,36/78,命 题,相互独立,联合分布矩阵秩为1,求表内各,练习,字母值,使,独立.,1 2 3,1,2,3,0.03 0.02,d,a,0.14,e,b,c,0.10,37/78,解,由题意应有：,从而有右表,由归一性得,(3),(1),1 2 3,1,2,3,0.03 0.02,d,0.21,0.14 7,d,0.15,k,0,.,1,k,0.10,由(1)得,(2),联立(2)(3)得,或,设,38/78,1 2 3,1,2,3,0.03 0.02 0.05,0.21,0.14 0.35,0.06,0,.,04,0.10,1 2 3,1,2,3,0.03 0.02 0.0125,0.21,0.14 0.0875,0.24,0,.,16,0.10,或,0.48,0,.,32,0.20,0.0625,0.4375,0.5,经检验,正确！,39/78,例12,设随机变量,X、Y,相互独立,且都服,.求,从,解,当 时，由独立性,当 时，,所以,(),因为,X、Y,随机性,故不能确保恒有,或,40/78,解,因为相互独立正态变量线性组合,仍是正态变量，故,本题设 是关键,.,若不然,虽能算出 但极难算,41/78,例13,卡车装运水泥,设每袋重量(,gk),X,服从,问装多少袋水泥,使总重量,超出概率小于,0.05.,解一,设装,m,袋水泥,总重量为,mX,据题设有,所以至多装,43,袋水泥.,?,要学会对答案粗略检验,42/78,解二,设装,m,袋水泥,总重量为,mX,据题设有,所以至多装,37,袋水泥.,?,要彻底随机！,43/78,解,设装,m,袋水泥,表示第 袋水泥重量.,于是总重量为,所以至多装,39,袋水泥.,44/78,第,五,章,1.切贝雪夫不等式,2.中心极限定理应用,第,六,章,1.统计量 总体 样本及其空间,2.惯用“三抽样分布”定义 性质,各分布分位点定义 及 相互,关系,45/78,例14,某大卖场某种商品价格波动为随机,变量.设第,i,天(较前一天,),价格改变为,独立同分布,为,(元/斤,),为现在,价格.,用切贝雪夫不等式预计,再用中心极限定理预计,第,n,天价格，,46/78,解,47/78,(应用题,),备一笔现金,已知这批债券共发放了500张,每张须付本息1000元,设持券人(一人一券,),银行为支付某日即将到期债券须准,到期日到银行领取本息概率为 0.4,问银,行于该日应准备多少现金才能以 99.9%,把握满足客户兑换.,48/78,解,设,1,第,i,个持券人到期日来兑换,0,第,i,个持券人到期日未兑换,则到期日来银行兑换总人数为,设银行需准备,1000,m,元,兑换总额为 ,由,中心极限定理,所以银行需准备23.4万元.,49/78,例15,一本书有1000000个印刷符号,排版,时每个符号被排错概率为千分之一.校,对时,每个排版错误被更正概率为0.99，,求在校对后错误不多于15个概率.,解,设,1,第,i,个印刷符号被排错,0,第,i,个印刷符号未排错,则总被排错印刷符号个数,且,50/78,设校对后错误个数为 ,则近似有,由,中心极限定理,于是,则,51/78,解,令,1,第,i,个符号被排错校对后仍错,0,其 他,因为排版与校对是两个独立工作,因而,设校对后错误个数为 ,则,52/78,由,中心极限定理,53/78,例16,一保险企业有10000人投保，每人每年,付12元保险费，已知一年内投保人死亡率,为0.006.若死亡企业给死者家眷1000元.求,(1)保险企业年利润为 0 概率；,(2)保险企业年利润大于60000元 概率；,解,设 为投保,10000,人中一年内死亡,人数.则,54/78,利用泊松定理，取,(1),设保险企业年利润为 ,则,55/78,(2),由中心极限定理,56/78,例17,从正态总体,N,(,2,),中取容量为16,样本,S,2,为样本方差,则,D,(S,2,)=(),解,57/78,例18,设,是来自正态总体,X,简单随机样本,.,证实,证,从而,58/78,正态分布与由正态分布,导出分布间关系,间关系,推导,（,相仿,推导,）,59/78,上 分位点关系,比如,60/78,证实,设,X t,(,n,),则,其中,Z N,(,0,1,),于是,由,t,分布与,F,分布分位点定义,61/78,由,t,分布对称性,从而有,62/78,第,七,章,点预计两种方法（矩预计与,极大似然预计）及评价标准,63/78,例19,设总体,X,分布密度函数为,求 矩预计量 ,并计算,解,预计量是样本函数,令,64/78,例20,设总体,X,密度函数为,解,极大似然预计量.,为,X,一个样本,求参数,65/78,任一样本函数,似然方程组为,本题 预计并不能经过似然方程求得,66/78,解,由题设，若 必须,即,越大，越大，故,极大,似然,预计可经过似然方程求得.,67/78,是取自对数正态分布,例21,设,总体,一个样本，即,求 极大似然预计.,解,密度函数,密度函数,68/78,由极大似然预计不变性得：,其中,69/78,普通正态 参数极大似然预计是：,则对数正态参数极大似然预计是：,70/78,例22,设总体,X,服从 ,其,密度函,数为 .对于容量为,n,样本,求使得,点 极大似然预计,解,71/78,极大似然预计不变性,72/78,设 为总体,X N,(,2,),一个样本，,求常数,k,使,为,无偏预计量.,解,例23,令,则,73/78,74/78,故,75/78,解,注意到,是,X,1,X,2,X,n,线性函数,76/78,77/78,故,78/78,
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