前述插值问题要求被插函数与插值多项式在节点取相同值市公开课获奖课件省名师优质课赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考!,前述插值问题:要求被插函数与插值多项式在节点取,相同值,Lagrange型插值条件,4,埃尔米特插值,/*Hermite Interpolation*/,Hermite型插值条件,然而,实际许多问题还经常要求,求一次数,多项式 ，使之满足给定Hermite型插值条件：,Hermite型插值:,两曲线不但有共同交点还要有共同切线,2（n+1）个条件,1/27,3 Hermite Interpolation,普通地，已知,x,0,x,n,处有,y,0,y,n,和,y,0,y,n,，求,H,2,n,+1,(,x,),满足,H,2,n,+1,(,x,i,)=,y,i,，,H,2,n,+1,(,x,i,)=,y,i,。,解：,设,+,=,n,i,),(,),(,),(,=,0,i,i,x,h,x,h,y,i,x,H,2,n,+1,n,=,0,i,y,i,可验证,h,i,(,x,j,)=,ij,h,i,(,x,j,)=0,(,x,j,)=0,(,x,j,)=,ij,上式满足条件,h,i,h,i,h,i,(,x,),有根,x,0,x,i,x,n,且都是,2,重根,),(,),(,),(,2,x,l,B,x,A,x,h,i,i,i,i,+,=,由余下条件,h,i,(,x,i,)=,1,和,h,i,(,x,i,)=0,可解,A,i,和,B,i,(,x,),h,i,有根,x,0,x,n,除了,x,i,外都是,2,重根,h,i,),(,),(,i,i,l,i,2,(,x,),x,x,C,x,-,=,h,i,又:,(,x,i,)=,1 ,C,i,=1,h,i,),(,x,),(,i,l,i,2,(,x,),x,x,-,=,设,则,这么Hermite 插值唯一,2/27,+,=,n,i,),(,),(,),(,=,0,i,i,x,h,x,h,y,i,x,H,2,n,+1,n,=,0,i,y,i,h,i,),(,x,),(,i,l,i,2,(,x,),x,x,-,=,其中,尤其：对两节点三次埃尔米特插值,3/27,3 Hermite Interpolation,Quiz:,给定,x,i,=i,+1,i,=0,1,2,3,4,5.,下面哪个是,h,2,(,x,),图像？,x,0,-,-,1,0.5,1,2,3,4,5,6,y,x,y,0,-,-,-,1,0.5,1,2,3,4,5,6,斜率=1,求Hermite多项式基本步骤：,写出对应于条件,h,i,(,x,)、,h,i,(,x,),组合形式；,对每一个,h,i,(,x,)、,h,i,(,x,),找出尽可能多条件给出根；,依据多项式总阶数和根个数写出表示式；,依据还未利用条件解出表示式中待定系数；,最终完整写出,H,(,x,)。,+,=,n,i,),(,),(,),(,=,0,i,i,x,h,x,h,y,i,x,H,2,n,+1,n,=,0,i,y,i,h,i,),(,x,),(,i,l,i,2,(,x,),x,x,-,=,4/27,例 给定函数值表以下:,5/27,6/27,5,分段低次插值,/*piecewise polynomial approximation*/,提升多项式次数,并不一定得到好结果,例：,在,5,5,上考查,L,n,(,x,)。取,-,5,-,4,-,3,-,2,-,1,0,1,2,3,4,5,-,0.5,0,0.5,1,1.5,2,2.5,n,越大，,端点附近抖动,越大，称为,Runge 现象,L,n,(,x,),f,(,x,),7/27,分段,低次,插值,折线代替曲线,在每个区间 上，用,1阶多项式,(直线)迫近,f,(,x,),:,记 ，易证：当 时，,一致,分段插值函数只能确保连续性，,不能确保光滑性。,8/27,分段Hermite插值,/*Hermite piecewise polynomials*/,给定,在 上利用两点,y,及,y,结构,3次Hermite函数,所要提供信息太多，导数普通不易得到，光滑性不太高（只有连续一阶导）,9/27,整体插值因为节点屡次数高而有可能发生龙格现象，分段插值能够得到整体连续函数，但在连接点处普通不光滑，而分段Hermite插值即使在连接点处一阶光滑，但各节点导数不易给出,既想分段插值，又想在,节,点处保持光滑，甚至二阶光滑三次样条。,希望：,样条起源,6,三次样条,/*Cubic Spline*/,问题提出：,10/27,定义,设 。,三次样条函数,且在每个 上为,三次多项式,/*cubic polynomial*/,。若它同时还满足 ，则称为,f,三次样条插值函数,/*cubic spline interpolant*/,.,样条本质上是,一段一段三次多项式,拼合而成曲线,在拼接处,不但函数是连续,且一阶和二阶导数也是连续,共4n个待定系数,共3(n-1)个条件,共n+1个条件,共4n-2个条件,11/27,第,1,类边界条件,/*clamped boundary*/,：,S,(,a,)=,y,0,，,S,(,b,)=,y,n,第,2,类边界条件：,S”,(,a,)=,y,0,”,，,S”,(,b,)=,y,n,”,尤其地，,y,0,”,=,y,n,”,=,0,称为,自由边界,/*free boundary*/,，,对应样条函数称为,自然样条,/*Natural Spline*/,。,第,3,类边界条件,/*periodic boundary*/,：,当,f,为,周期函数,时，,y,n,=,y,0,，,S,(,a,+,)=,S,(,b,),注：,三次样条与分段 Hermite 插值根本区分在于,S,(,x,),本身光滑,，不需要知道,f,导数值（除了在2个端点可能需要）；而Hermite插值依赖于,f,在全部插值点导数值。,f,(,x,),H,(,x,),S,(,x,),12/27,结构三次样条插值函数,13/27,加以整理后可得,14/27,由条件,因为以上两式相等,得,15/27,-(1),16/27,假如问题要求满足第一类(一阶)边界条件:,基本方程组(1)化为n-1阶方程组,即,化为矩阵形式,17/27,-(2),这是一个三对角方程组,假如问题要求满足第二类(二阶自然)边界条件:,自然边界条件,18/27,由前式,可知,19/27,与,基本方程组(1),联合,并化为矩阵形式,得,-(3),20/27,注：,三对角方程组,能够使用追赶法求解,收敛性：,若 ，且 ，则,一致,S,(,x,),f,(,x,),即:提升精度只须,增加节点,而无须提升样条阶数。,21/27,5 Cubic Spline,小结,计算,k,k,g,k,;,计算,m,j,(追赶法等);,找到,x,所在区间(即找到对应,k,);,由该区间上,S,(,x,)算出,f,(,x,),近似值。,22/27,第一类边界条件,第二类边界条件,23/27,例.对于给定节点及函数值,解:,h,0,=1 h,1,=2 h,2,=1,24/27,25/27,26/27,插值法小结,Lagrange:给出,y,0,y,n,，选基函数,l,i,(,x,)，其次数为,节点数,1,。,Newton,L,n,(,x,),，,只是形式不一样；节点等距时方便处理。,Hermite：给出,y,i,及,y,i,，选,h,i,(,x,)及,h,i,(,x,),。,Spline：分段低次,本身光滑,f,导数只在边界给出。,27/27,