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本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,第二讲 对坐标曲线积分,第1页,对坐标曲线积分,一、对坐标曲线积分概念,、对坐标曲线积分性质,、对坐标曲线积分计算,、对坐标曲线积分应用,、两类曲线积分之间联络,第2页,对坐标曲线积分,一、对坐标曲线积分概念,、对坐标曲线积分性质,、对坐标曲线积分计算,、对坐标曲线积分应用,、两类曲线积分之间联络,第3页,一、对坐标曲线积分概念,（一）引例,（二）对坐标曲线积分定义,第4页,一、对坐标曲线积分概念,（一）引例,（二）对坐标曲线积分定义,第5页,变力沿曲线作功,分割,:,求和,:,取极限,:,取近似,:,力,设一质点在,xoy,面内从点,A,沿曲线,L,移动到点,B,变力所作功,?,第6页,一、对坐标曲线积分概念,（一）引例,（二）对坐标曲线积分定义,第7页,一、对坐标曲线积分概念,（一）引例,（二）对坐标曲线积分定义,第8页,定义,类似地,假如,总存在,则称此极限为函数,在有向曲线弧,L,上,对坐标,y,曲线积分,记作,设,L,为,xOy,面内从点,A,到点,B,一条有向曲线弧,函数,在,L,上有界,.,在,L,上沿,L,方向任意一点列,把,L,分成,n,个有向小,弧段,设,点,为,上任意取定,小弧段长度最大值,时,则称此极限为函数,在有向曲线弧,L,上,积分,记作,点,假如当各,极限总存在,对坐标,x,曲线,第9页,注,应用中经常出现组合形式第二类曲线积分,(1),(2),函数,P,(,x,y,),在有向光滑曲线弧,L,上连续时,存在,.,通常记为,或,其中,即,其中,叫做被积函数,叫做积分弧段,.,以上两个积分也称为第二类曲线积分,.,第10页,函数在空间有向曲线弧,上对坐标曲线积分,通常将,记作,第11页,对坐标曲线积分,一、对坐标曲线积分概念,、对坐标曲线积分性质,、对坐标曲线积分计算,、对坐标曲线积分应用,、两类曲线积分之间联络,第12页,对坐标曲线积分,一、对坐标曲线积分概念,、对坐标曲线积分性质,、对坐标曲线积分计算,、对坐标曲线积分应用,、两类曲线积分之间联络,第13页,线性性质,可加性,与方向相关,第14页,对坐标曲线积分,一、对坐标曲线积分概念,、对坐标曲线积分性质,、对坐标曲线积分计算,、对坐标曲线积分应用,、两类曲线积分之间联络,第15页,对坐标曲线积分,一、对坐标曲线积分概念,、对坐标曲线积分性质,、对坐标曲线积分计算,、对坐标曲线积分应用,、两类曲线积分之间联络,第16页,设,P,(,x,y,),、,Q,(,x,y,),在有向曲线弧,L,上有定义且连续,定理,则曲线积分,且,存在,L,参数方程为,（,t=,对应,L,起点，,t,=,对应,L,终点）,其中,在以,及,为端点闭区间上含有连续导数,且,第17页,注,(1),对坐标曲线积分计算归结为计算一个,定积分,!,(2),化为定积分中三个改变,在上述公式中,起点对应下限,终点对应上限,.,L,或,P,(,x,y,),Q,(,x,y,),(3),口诀,:,变量参数化、一小二起下,.,(4),d,x,d,y,第18页,特例,(1),L,：,(2),L,：,推广,空间曲线弧,：,（,x=a,对应,L,起点，,x,=,b,对应,L,终点）,（,y=c,对应,L,起点，,y,=,d,对应,L,终点）,（,t=,对应,起点，,t,=,对应,终点）,第19页,对坐标曲线积分计算思绪,明确,L,方程,化为定积分,三变、一注意,积分弧段,L,被积函数,积分元素,一点注意,起点对应下限,计算定积分,或,明确,选择,参数方程,确定,起点和终点对应参数值,第20页,对坐标曲线积分解题思绪,对坐标曲线积分解题模板,L,:,明确,选择,确定,t,由,变到,起点终点对应参数值,必写,!,明确,L,方程,化为定积分,计算定积分,由 得,L,方程为,:,L,方程为,:,第21页,计算,其中,L,是抛物线,上点,到点,一段弧,.,例,1,例,2,其中,L,为,计算,(1),按逆时针方向绕行上半圆周,.,(2),从点,沿,x,轴到点,直线段,.,注,正确选择,L,方程对计算繁简非常主要,!,注,被积函数相同、起点和终点也相同，但积分路径不一样，积分值可能不相等,!,第22页,例,3,计算,其中,L,为,(1),抛物线,上从,到,一段弧,.,(2),抛物线,上从,到,一段弧,.,(3),有向折线,坐标依次为,(0,0),(1,0),(1,1).,注,积分路径不一样，积分值可能相等,!,例,4,到点,直线段,AB.,计算,其中,为,从点,第23页,对坐标曲线积分,一、对坐标曲线积分概念,、对坐标曲线积分性质,、对坐标曲线积分计算,、对坐标曲线积分应用,、两类曲线积分之间联络,第24页,对坐标曲线积分,一、对坐标曲线积分概念,、对坐标曲线积分性质,、对坐标曲线积分计算,、对坐标曲线积分应用,、两类曲线积分之间联络,第25页,变力沿曲线作功,例,5,x,o,y,设一个质点在,M,(,x,y,),处受到力,作用,沿椭圆,大小与,M,到原点距离成正比,方向恒指向原点,.,此质点由点,A,(,a,0),按逆时针方向移动到,点,B,(0,b,),求力,所作功,W,.,第26页,对坐标曲线积分,一、对坐标曲线积分概念,、对坐标曲线积分性质,、对坐标曲线积分计算,、对坐标曲线积分应用,、两类曲线积分之间联络,第27页,对坐标曲线积分,一、对坐标曲线积分概念,、对坐标曲线积分性质,、对坐标曲线积分计算,、对坐标曲线积分应用,、两类曲线积分之间联络,第28页,L,参数方程,t=,对应,起点,A,L,上任一点,M,(,x,y),处切向量为,(,指向与,L,方向一致,),t,=,对应终点,B,第29页,L,参数方程,t=,对应,起点,A,L,上任一点,M,(,x,y),处切向量为,(,指向与,L,方向一致,),t,=,对应终点,B,第30页,L,参数方程,t=,对应,起点,A,L,上任一点,M,(,x,y),处切向量为,(,指向与,L,方向一致,),t,=,对应终点,B,方向余弦,第31页,L,参数方程,t=,对应,起点,A,L,上任一点,M,(,x,y),处切向量为,(,指向与,L,方向一致,),t,=,对应终点,B,第32页,L,参数方程,t=,对应,起点,A,L,上任一点,M,(,x,y),处切向量为,(,指向与,L,方向一致,),t,=,对应终点,B,方向余弦,第33页,L,参数方程,t=,对应,起点,A,L,上任一点,M,(,x,y),处切向量为,(,指向与,L,方向一致,),t,=,对应终点,B,第34页,L,参数方程,t=,对应,起点,A,L,上任一点,M,(,x,y),处切向量为,(,指向与,L,方向一致,),t,=,对应终点,B,第35页,L,参数方程,t=,对应,起点,A,L,上任一点,M,(,x,y),处切向量为,(,指向与,L,方向一致,),t,=,对应终点,B,、,：,L,在点,(,x,y),处切向量方向角,类似可得,第36页,例,6,将,化为对弧长曲线积分,其中,L,为沿上半圆周,从点,(0,0),到点,(1,1).,例,7,设,为曲线,上对应于,t,从,0,到,1,曲线弧，,将,化为对弧长曲线积分,.,第37页,
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