资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,第四节,一、对面积曲面积分概念与性质,二、对面积曲面积分计算法,对面积曲面积分,第十章,第1页,一、对面积曲面积分概念和性质,前面已经介绍了两类曲线积分，对第一类曲线积分,其物理背景是曲线型构件质量，在此质量问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，小段曲线弧长改为小块曲面面积，对应地得和式,抽象概括得到对面积曲面积分概念,第2页,实例,所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.,第3页,1.定义,第4页,其物理背景是面密度为,f,(,x,y,z,)曲面块质量,2.对面积曲面积分性质,由上述定义可知 其性质与对弧长曲线积分性质完全类似,第5页,）线性性,）可加性,）存在性,曲面面积为,第6页,定理:,设有光滑曲面,f,(,x,y,z,)在,上连续,存在,且有,二、对面积曲面积分计算法,则,曲面积分,面积元素计算,第7页,说明:,可有类似公式.,1)假如曲面方程为,代：将曲面方程代入被积函数,换：换面积元,投影：将曲面投影到坐标面得投影区域,2)简述为：,一代、二换、三投影,第8页,注：,（1）这里积分曲面方程必须是,单值显函数,，不然,可利用可加性，分块计算，结果相加;,（2）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程,即方程表示形式;,（3）将曲面方程代入被积函数目标和意义是,把被积函数化为二元函数;,（4）切记任何时候都要换面积元.,第9页,例1.,计算曲面积分,其中,是球面,被平面,截出顶部.,解:,第10页,思索,:,若,是球面,被平行平面,z,=,h,截,出上下两部分,则,第11页,例2.,计算,其中,是由平面,坐标面所围成四面体表面.,解:,设,上部分,则,与,原式=,分别表示,在平面,第12页,例1,解,第13页,例2 计算,与平面,z,=1 所围成区域整个边界曲面,解,第14页,在,xoy,内投影区域,o,x,y,z,第15页,例3 计算,z,=0 与,z,=H 之间圆柱面,解,第16页,由对称性 有,第17页,例7.,计算,其中,是介于平面,之间圆柱面,分析:,若将曲面分为前后(或左右),则,解:,取曲面面积元素,两片,则计算较繁.,第18页,注,对面积曲面积分有类似与三重积分对称性,对称于,xoy,（或,yoz,，或,zox,）坐标面,若,f,（,x,y,z,)关于,z,（或,x,，或,y,）是奇函数,若,f,（,x,y,z,)关于,z,（或,x,，或,y,）是偶函数,完全类似于三重积分对称性,第19页,例5 计算,解,第20页,例6,第21页,解,（左右两片投影相同）,第22页,第23页,例8 求均匀曲面,重心坐标,解,由对称性,第24页,故 重心坐标为,第25页,例9,解,第26页,例10 计算,解,由奇偶对称性,上半球面,下半球面,第27页,另解,由曲面形心公式,注,对面积曲面积分应用,面积,质量,第28页,重心,转动惯量,第29页,三、小结,1、对面积曲面积分概念;,2、对面积曲面积分解法是将其化为投影域上二重积分计算.,（按照曲面不一样情况分为三种）,思索题,在对面积曲面积分化为二重积分公式中,有因子 ,试说明这个因子几何意义.,第30页,思索题解答,是曲面元面积,故 是曲面法线与 轴夹角余弦倒数.,第31页,练 习 题,第32页,第33页,练习题答案,第34页,设曲面方程为：,如图，,3。曲面面积,第35页,曲面S面积元素,设曲面方程为：,曲面面积公式为：,设曲面方程为：,曲面面积,公式为：,同理可得,第36页,
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
