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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,第十章,积分学,定积分二重积分三重积分,积分域,区间域 平面域 空间域,曲线积分,曲线域,曲面域,曲线积分,曲面积分,对弧长曲线积分,对坐标曲线积分,对面积曲面积分,对坐标曲面积分,曲面积分,曲线积分与曲面积分,第1页,第一节,一、对弧长曲线积分概念与性质,二、对弧长曲线积分计算法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对弧长曲线积分,第十章,第2页,一、对弧长曲线积分概念与性质,假设曲线形细长构件在空间所占,弧段为,AB,其线密度为,可得,为计算此构件质量,1.引例,:,曲线形构件质量,采取,机动 目录 上页 下页 返回 结束,“分割,取近似,求和,取极限”,第3页,设,是空间中一条有限长光滑曲线,义在,上一个有界函数,都存在,上,对弧长曲线积分,记作,若经过对,任意分割,局部,任意取点,2,.定义,以下“乘积和式极限”,则称此极限为函数,在曲线,或第一类曲线积分.,称为,被积函数，,称为,积分弧段.,曲线形构件质量,和对,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第4页,假如,L,是,xoy,面上曲线弧,假如,L,是闭曲线,则记为,则定义对弧长曲线积,分为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思索:,(1)若在,L,上,f,(,x,y,),1,(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分特例?,否!,对弧长曲线积分要求 d,s,0,但定积分中,d,x,可能为负.,第5页,3.性质,（,k,为常数),(,由 组成),(,l,为曲线弧,长度),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6页,二、对弧长曲线积分计算法,基本思绪:,计算定积分,转 化,定理:,且,上连续函数,是定义在光滑曲线弧,则曲线积分,求曲线积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第7页,说明:,所以积分限必须满足,(2)注意到,所以上述计算公式相当于“换元法”.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第8页,假如曲线,L,方程为,则有,假如方程为极坐标形式:,则,推广,:,设空间曲线弧参数方程为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第9页,例1.,计算,其中,L,是抛物线,与点,B,(1,1)之间一段弧.,解:,上点,O,(0,0),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第10页,例2.,计算,其中,L,为双纽线,解:,在极坐标系下,它在第一象限部分为,利用对称性,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第11页,例3.,计算曲线积分,其中,为螺旋,一段弧.,解:,线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第12页,例4.,计算,其中,为球面,被平面 所截圆周.,解:,由对称性可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第13页,思索:,例4中,改为,计算,解:,令,则,圆,形心在原点,故,怎样,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第14页,例5.,计算,其中,为球面,解:,化为参数方程,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第15页,例6.,设,C,是由极坐标系下曲线,及,所围区域边界,求,提醒:,分段积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第16页,思索与练习,1.已知椭圆,周长为,a,求,提醒:,原式=,利用对称性,分析:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第17页,2.,L,为球面,面交线,求其形心.,在第一卦限与三个坐标,解:,如图所表示,交线长度为,由对称性,形心坐标为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第18页,3.,计算半径为,R,中心角为,圆弧,L,对于它对,称轴转动惯量,I,(设线密度,=,1).,解:,建立坐标系如图,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第19页,内容小结,1.定义,2.性质,(,l,曲线弧,长度),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第20页,3.计算,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第21页,
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