微积分——极限计算.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,微积分,河南财经政法大学 数学与信息科学系 廖扬,hncdwjf,一、数列极限计算,1.,单调有界准则,(,掌握例题和习题,),2.,夹逼定理,(,掌握例题和习题,),3.,利用函数极限计算方法,第四节 极限的计算,二、函数极限计算,(,一,),一般极限计算,利用代入法、复合函数极限计算方法和极限四则运算法则直接进行计算。,1,：,(1),上下同除最大项,(,抓大头,),(2),罗比达法则,1.,2.,：,(1),约零因子,(,基本方法,),(2),分解因式,(,基本方法,),(3),根式有理化,(,基本方法,),(4),等价无穷小代换,（重点、难点）,(5),罗比达法则,(,重点,),(6),三角变换,(,辅助方法,),(7),变量替换,(,适当掌握,),(,二,),未定式的计算,2,3.,：（,1,）,根式有理化,（,2,）,通分,4.,：,化为,、,5.,（,1,）,化为,（,2,）,利用重要极限,3,一、数列极限计算,1.,使用,单调有界准则求极限,步骤：,（,1,）利用数学归纳法证明数列,“,单调,”,、,“,有界,”,，从而证明极限存在；,（,2,）利用 求出极限。,技巧：先猜测（数列的单调性和界），再证明。,4,例,求数列,的极限,.,解：,1.,存在性,令,(1),单调性,时,设时,时,故对一切正整数,有,所以数列递增,.,5,(2),有界性,时,时,设,时,故对一切正整数,有,所以,数列有界,.,综上所述,数列极限存在,.,6,(2),求值,设,将,两边求极限,得,即,故,7,2.,使用夹逼定理求极限,方法：通过放缩，得到两个,“,方便计算,”,且,“,极限,相同,”,的数列。,技巧：动小不动大。,例,求,解,因为,且,所以,原式,8,例,求,解,因为,且,所以,原式,9,二、函数极限计算,(,一,),一般极限计算,利用代入法、极限四则运算法则和复合函数极限计算方法直接进行计算。,1.,一些常见结果,10,（,1,）极限不为零的因子可以分离单独计算,（,2,）极限存在的和式可以拆分单独计算,2.,四则运算法则的灵活运用,分离常量,11,：上下同除最大项,(,抓大头,),1.,(,二,),未定式的计算,例,1,求,解,原式,12,例,2,求,解,原式,或,原式,13,例,3,求,解,原式,14,例,4,15,例,5,16,例,6,例,7,例,8,17,例,求,解,原式,2.,：,(1),约零因子,(,基本方法,),18,例,1,求,解,原式,(2),分解因式,(,基本方法,),19,例,2,求,解,原式,20,例,1,求,解,原式,(3),根式有理化,(,基本方法,),21,例,2,求,原式,22,(3),等价无穷小代换,(,重点、难点,),若，在,x,的某变化过程下有,常见的等价无穷小,则：,23,代换原理,24,25,1.,寻找等价因子。,2.,判断 极限是否为零。,3.,代换为极限为零的 。,代换步骤,26,例,1,27,例,2,例,2,28,例,3,29,例,1,注,1,：,自变量的变化过程不影响代换。,注意事项,30,例,2,31,例,3,注,2,：,不为零，不可代换。,正解,32,例,4,解,错,无法替换,注,3,：只换因子不换和差。,33,并不等价,34,例,4,解,35,例,1,解题技巧,技巧,1,：拆分、合并,36,例,2,37,例,3,技巧,2,：提取因子,38,（,5,）罗比达法则,使用方法,对于 型求极限问题，有,例,1,例,2,39,注,1,罗比达法则可以反复使用,例,1,例,2,注意事项,40,注,2,：罗比达法则可能失效,例,3,极限不存在,例,3,可见，罗比达法则失效。,41,例,4,求,解,原式,继续下去，陷入循环，罗必塔法则失效,.,正解,42,注,3,：罗比达法则最后再用,例,5,在使用罗比达法则之前，应该先使用其他求极限的方法简化极限函数式，“走投无路”时再使用“最后法宝”。过早使用罗比达法则往往会极大地增加函数式的复杂程度。,43,(6),三角变换,(,辅助方法,),例,1,例,1,44,(7),变量替换,例,1,崩溃！,例,1,45,例,1,求,解,原式,3.,（,1,）根式有理化,46,（,2,）通分,例,2,求,解,原式,47,例,1,求,解,原式,4.,：化为 、,48,例,2,求,解,原式,49,例,1,求,解,原式,5.,（,1,）化为,50,例,2,求,解,原式,51,例,3,求,解,原式,52,（,2,）利用重要极限,例,4,例,5,53,例,6,求,解,原式,54,例,6,求,另解,原式,55,例,7,求,解,原式,56,