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数列考点总结
第一部分求数列的通项公式
一、数列的相关概念与表示方法(见辅导书)
二、求数列的通项公式
四种基本数列:等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是:累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
求数列通项的方法的基本思路是:把所求数列通过变形,代换转化为等差数列或等比数列。
求数列通项的基本方法是:累加法和累乘法。
一、累加法
1. 适用于:气+广气+/⑴这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方
法之一。
若 a - a = f (n) (n > 2),
n+1 n,
a - a = f (1)
2 1
a - a = f (2)
3 2
则 an+112 (n)
a 一 a = £ f (n)
两边分别相加得n+1 1 -
例1已知数列{an }满足'Ln+ +' J1,求数列{叩的通项公式。
例2已知数列{叩满足。"广an + 2x3n + 1,a1 =3,求数列{叩的通项公式。
练习1.已知数列 W的首项为1,且a+1=气+2n(n 6 N*)写出数列{以的通项公式.n +n
答案:n2- n +1
1
, 、a = a +(n > 2)
练习2.已知数列{an}满足a1= 3, n n-1 n(n-1),求此数列的通项公式.
答案:裂项求和"广2—n
评注:已知a1= a, an+1 -气=问),其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项an .
① 若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;
② 若f(n)是关于的二次函数,累加后可分组求和;
③ 若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;
④ 若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和。
例3.已知数列{an}中,气>0且'广2(七+W),求数列{an}的通项公式.
2a .
a =—, a = 1
练习3
已知数列{叩满足〃+1气+ 2 1,求数列{叩的通项公式。
二、累乘法
1、适用于:气+1 = f (n)气
累乘法是最基本的二个方法之二。
n = f (n)勺=f (1),%= f (2),
若 an,则 aia2
a
i = f (n)
a
n
例4已知数列{叩满足an广2(n +1)5
X an,ai = 3,求数列{an }的通项公式。
两边分别相乘得,f 气P f (k )
例5.设^}是首项为1的正项数列,且G + D% -籍+气+1气=0(孔=1, 2,3,…),则它的通项公式是an =.
三、待定系数法适用于"i=qan + f (n)
基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。
1 •形如,+1=吃+ d,(3 0,其中ai= a )型
(1) 若C=1时,数列{%}为等差数列;
(2) 若d=0时,数列{%}为等比数列;
(3) 若3 1且d。0时,数列{ an }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
待定系数法:设an+1 +X= C ( an+X ),
得an+1=气+ (C - 1)X,与题设an+1 = '♦+ d,比较系数得
.dd. d 、
(c-1)^=d,所以ui=0)所以有:七+ui=c(n+ui)
因此数列P+=;构成以七+ 土为首项,以c为公比的等比数列,
dd
a +— = (a +—-) - cn-1
J所n C — 1 1 C — 1
dd
a = (a +—-) - cn-1 ——
即:n 1 c — 1 c — 1.
dd
规律:将递推关系气广吃+ d化为"1 + Qi = c(an+ E),构造成公比为C的等比数列
一 d d d、
{" 7—1}从而求得通项公式"+1 = M (1 U1)
逐项相减法(阶差法):有时我们从递推关系气广吃+ d中把n换成n-1有。广can—1 + d,两式相减有an+1- an=C(。广an—1)从而化为公比为C的等比数列{an+1 -叩,进而求得通项公式.an+1 —侦"(。》-气),再利用类型⑴即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.
例6、已知数列{叩中,a1T,on=2an—1 +1(心2),求数列{”的通项公式。
2. 形如:an+1=p - an+ qn (其中q是常数,且n。0,1)①若p= 1时,即:an+1 = an+ qn,累加即可.
②若 P 卫 1时,即:an+1=P - an+ qn,
求通项方法有以下三种方向:i.两边同除以pn+1.目的是把所求数列构造成等差数列
a a 1 p
+ 一 - (一) n b
p q ,令 n
—n+^ = —n
即: pn+1 qn
a
n—
pn ,
b — b =1 - (p) n
则n+1 n p q,然后类型1,累加求通项.
a p a 1
+ —
q,
ii.两边同除以qn+1 .目的是把所求数列构造成等差数列。
―n+1 = — - ―n
即:qn+1q qn
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