1、数列考点总结
第一部分求数列的通项公式
一、数列的相关概念与表示方法(见辅导书)
二、求数列的通项公式
四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
一、累加法
1. 适用于：气+广气+/⑴这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方
法之一。
若 a - a = f (n) (n > 2)，
n+1 n，
a - a = f (1)
2、
2 1
a - a = f (2)
3 2
则 an+112 (n)
a 一 a = £ f (n)
两边分别相加得n+1 1 -
例1已知数列｛an ｝满足'Ln+ +' J1，求数列｛叩的通项公式。
例2已知数列｛叩满足。"广an + 2x3n + 1，a1 =3，求数列｛叩的通项公式。
练习1.已知数列 W的首项为1，且a+1=气+2n(n 6 N*)写出数列｛以的通项公式.n +n
答案：n2- n +1
1
, 、a = a +(n > 2)
练习2.已知数列｛an｝满足a1= 3， n n-1 n(n-1)，求此数列的通项公式.
答案：裂项求和"广2—
3、n
评注：已知a1= a, an+1 -气=问)，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项an .
① 若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
② 若f(n)是关于的二次函数，累加后可分组求和；
③ 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
④ 若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。
例3.已知数列｛an｝中，气>0且'广2(七+W)，求数列｛an｝的通项公式.
2a .
a =—, a = 1
练习3
已知数列｛叩满足〃+1气+ 2 1，求数列｛叩的通项公式。
二、累乘法
1、适用于：气+
4、1 = f (n)气
累乘法是最基本的二个方法之二。
n = f (n)勺=f (1)，％= f (2),
若 an，则 aia2
a
i = f (n)
a
n
例4已知数列｛叩满足an广2(n +1)5
X an，ai = 3，求数列｛an ｝的通项公式。
两边分别相乘得，f 气P f (k )
例5.设^｝是首项为1的正项数列，且G + D% -籍+气+1气=0(孔=1, 2，3，…)，则它的通项公式是an =.
三、待定系数法适用于"i=qan + f (n)
基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
1 •
5、形如，+1=吃+ d，(3 0，其中ai= a )型
(1) 若C=1时，数列｛%｝为等差数列；
(2) 若d=0时，数列｛%｝为等比数列；
(3) 若3 1且d。0时，数列｛ an ｝为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
待定系数法：设an+1 +X= C ( an+X ),
得an+1=气+ (C - 1)X，与题设an+1 = '♦+ d，比较系数得
.dd. d 、
(c-1)^=d，所以ui=0)所以有：七+ui=c(n+ui)
因此数列P+=；构成以七+ 土为首项，以c为公比的等比数列，
dd
a +— = (a +—-) - cn-1
J
6、所n C — 1 1 C — 1
dd
a = (a +—-) - cn-1 ——
即：n 1 c — 1 c — 1.
dd
规律：将递推关系气广吃+ d化为"1 + Qi = c（an+ E），构造成公比为C的等比数列
一 d d d、
｛" 7—1｝从而求得通项公式"+1 = M （1 U1）
逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系气广吃+ d中把n换成n-1有。广can—1 + d，两式相减有an+1- an=C（。广an—1）从而化为公比为C的等比数列｛an+1 -叩，进而求得通项公式.an+1 —侦"（。》-气）,再利用类型⑴即可求得通项公式.我们看到
7、此方法比较复杂.
例6、已知数列｛叩中，a1T，on=2an—1 +1（心2），求数列｛”的通项公式。
2. 形如：an+1=p - an+ qn （其中q是常数，且n。0,1）①若p= 1时，即:an+1 = an+ qn，累加即可.
②若 P 卫 1时，即：an+1=P - an+ qn，
求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以pn+1.目的是把所求数列构造成等差数列
a a 1 p
+ 一 - (一) n b
p q ，令 n
—n+^ = —n
即： pn+1 qn
a
n—
pn ，
b — b =1 - （p） n
则n+1 n p q，然后类型1，累加求通项.
a p a 1
+ —
q,
ii.两边同除以qn+1 .目的是把所求数列构造成等差数列。
―n+1 = — - ―n
即：qn+1q qn
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