2025年高考数学压轴训练二十四.docx

2025 年高考数学压轴训练 24一选择题（共 9 小题）1 （2024阜阳模拟）在二项式 的展开式中，下列说法正确的是 ( )A 常数项为 B 各项的系数和为 64C 第 3 项的二项式系数最大 D 奇数项二项式系数和为 322 （2024博白县模拟）文娱晚会中，学生的节目有 5 个，教师的节目有 2 个，如果教师的节目不排在第 一个，也不排在最后一个，并且不相邻，则排法种数为 ( )A 720 B 1440 C 2400 D 28803 （2024南京模拟）有 5 个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每 个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是 ( )A 300 B 360 C 390 D 4204 （2024石家庄模拟）现将四名语文教师，三名心理教师，两名数学教师分配到三所不同学校，每个学 校三人，要求每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为 ( )A 216 B 432 C 864 D 10805 （2024西安二模）老师有 6 本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得 2 本，乙、丙每人至 少分得一本，则不同的分法有 ( )A 248 种 B 168 种 C 360 种 D 210 种6 （2024安徽模拟）将 1 到 50 这 50 个正整数平均分成 A 、B 两组，每组各 25 个数，使得 A 组的中位数 比 B 组的中位数小 1 ，则共有 ( ) 种分法A C24(12) B C4(2)8(4)C C4(2)8(4) . C24(12) D (C24(12) )27 （2024贵州模拟）在 的展开式中，下列说法错误的是 ( )A 二项式系数之和为 64B 各项系数之和为C 二项式系数最大的项为 xD 常数项为8 （2024莆田模拟）用数字 0 ，1 ，2 ，3 ，5 组成没有重复数字的五位偶数，把这些偶数从小到大排列得 到一个数列an ，则 a25 = ( )1A 32150 B 25310 C 32510 D 251309 （2024凉山州模拟）五名同学彝族新年期间去邛海湿地公园采风观景，在观鸟岛湿地门口五名同学排 成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有 ( )A 12 种 B 24 种 C 48 种 D 96 种二多选题（共 6 小题）10 （2024 长 沙 三 模 ） 瑞 士 数 学 家 Jakob Bernoulli 于 17 世 纪 提 出 如 下 不 等 式 ： x -1 ， 有 请运用以上知识解决如下问题：若 0 a 1 ，0 b 1 B ab + ba 1 C aa + bb ab + ba D aa + bb 1 ， 有 请运用以上知识解决如下问题：若 0 a 1 ，0 b 1 B ab + ba 1 C aa + bb ab + ba D aa bb ab + ba ，可化为bb ba ab aa ，构造函数 h(x) = xb xa ，利用导数判断函 数的单调性，求解即可 解：对于 A ，因为 所以 则 对于 B ，因为 同理 则 对于 C ，要证明 aa + bb ab + ba ，也即证明bb ba ab aa ，只要证明bx 0 ，结合幂函数 y = xab 的性质得：当 时，h(x) 0 ，h(x) 在区间 上单调递减，即 时 ， 函 数 h(x) 取 得 最 大 值 ， 从 而 只 需 证 明 变 换 得 因 为 故得证；综上，若 0 b a ab + ba 成立，选项 C 正确， D 错误故选： ABC 【点评】本题考查了函数与不等式的应用问题，也考查了推理与运算能力，是难题1011 （2024曲靖模拟）下列命题正确的是 ( )A 展开式中 x6 的系数为 1B 展开式的常数项等于 20C 展开式的二项式系数之和为 64D 展开式的系数之和为 64 【答案】 ABC【考点】二项式定理【专题】数学运算；计算题；综合法；转化思想；二项式定理；逻辑推理【分析】根据给定二项式，利用展开式的通项公式计算可判断选项 A ，B ；根据二项式系数之和为 2n 可判 断选项 C ；令 x = 1 ，可得所有项系数之和进而判断选项 D 【解答】解：对于选项 A ：由 展开式的通项为 令 6 - 2r = 6 ，解得 r = 0 ，所以含 x6 的项为T1 = (-1)0 C6(0)x6 = x6 ，此时系数为 1 ，故 A 正确；对于选项 展开式的通项为 令 6 - 2r = 0 ，解得 r = 3 ，所以常数项为T4 = C6(3)x0 = 20 ，故 B 正确；对于选项 可知 n = 6 ，所以二项式系数之和为 26 = 64 ，故 C 正确；对于选项 D ：令 x = 1 ，可得所有项系数之和为 (1 -1)6 = 0 ，故D 错误故选： ABC 【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题12 （2024九江三模） 已知二项式 则 A 展开式中 x8y-2 的系数为 45B 展开式中二项式系数最大的项是第 5 项C 展开式中各项系数之和为 1D 展开式中系数最大的项是第 5 项或第 7 项 【答案】 AD【考点】二项式定理【专题】综合法；数学运算；二项式定理；整体思想【分析】 由已知结合二项展开式式系数及系数的性质检验各选项即可判断11 解：因为 一r 一ry 一r ，A ：令10 一 r = 8 ，即 r = 2 ，展开式中 x8y一2 的系数为 C120 = 45 ，正确；B ：展开式共 11 项，故二项式系数最大的项为第6 项，错误；C ：令 x = y = 1 ，则展开式各项系数和为 0 ，错误；D ：当 r 为奇数时，系数为负，当 r 为偶数时系数为正，故展开式中， r = 4 或 r =6 系数最大项为第 5 或第 7 项，正确故选： AD 【点评】本题主要考查了二项展开式系数及展开式系数的性质的应用，属于中档题13 （2024河南模拟）关于 的展开式，下列判断正确的是 ( )A 展开式共有 7 项B 展开式的各二项式系数的和为 128C 展开式中含 x5 的项的系数为 一497D 展开式的常数项为 72【答案】 BD【考点】二项式定理【专题】数学运算；二项式定理；逻辑推理；转化思想；计算题；综合法【分析】根据二项式展开式的性质判断 A ，二项式系数和为判断 B ，写出展开式的通项，即可判断 C ，令 x = 0 ，可得展开式中常数项，即可判断D 【解答】解：对于 A ，因为 n = 7 ，故展开式共有 7 + 1 = 8 项，故 A 错误； 对于 B ，展开式的各二项式系数的和为 27 = 128 ，故 B 正确；对于 C ，展开式的通项公式为： Tr +1 = C7(r) (、)7一r (一x)r = C7(r) (一1)r ( )7一r x r , 0 r 7, n N* ，故含 x5 的项的系数为 一5 = 一147 ，故 C 错误；对于 D ，令 x = 0 ，展开式的常数项为 故 D 正确故选： BD 【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，赋值法，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题14 （2024福建模拟） 已知正整数 x ， n ，其中 x 的因数不包含 3 ，若 (x + 3)n 的展开式中有且只有 6 项能 被 9 整除，则 n 的取值可以是 ( )A 6 B 7 C 8 D 912【答案】 AB【考点】二项式定理【专题】数学运算；二项式定理；计算题；转化思想；逻辑推理；综合法 【分析】利用二项式定理及其通项公式分类讨论计算即可【解答】解：易知 (x + 3)n 的展开式的第 k + 1 项为 Cxn-k3k (k .n) ， 即当 k开2 时必能被 9 整除，即至少有 n -1项可被 9 整除，故转为研究当k = 0 ，1 时是否满足题意，当 k = 0 时，该项为 Cn(0)xn = xn ，由于x 的因数不含 3 ，故无法被 9 整除；当 k = 1时，该项为 Cn(1)xn-1 3 = 3nxn-1 ，若 n 为 3 的倍数，则该项可被 9 整除；若 k = 1时该项可被 9 整除，则共有 n 项可被 9 整除， 此时 n = 6 ，为 3 的倍数，成立，若 k = 1时该项不可被 9 整除，则共有 n -1项可被 9 整除， 此时 n = 7 ，符合题意综上， n 可以为 6 或 7故选： AB 【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，整除问题的应用，主要考查学生的运算能力，属于中档题15 （2023云南模拟） 已知 (1- 2x)2023 = a0 a1x + a2x2 + + a2023x2023 ，则 ( )A 展开式中所有项的系数和为 -1B 展开式中二项系数最大项为第 1012 项D a1 + 2a2 + 3a3 + + 2023a2023 = 2023【答案】 AC【考点】二项式定理【专题】函数思想；转化法；二项式定理；数学运算 【分析】 A 令 x = 1进行求解B 展开式中二次系数最大值的项有两项C 令 x = 0 或 进行求解D 先对等式两边对 x 求导数，然后令 x =1进行计算即可13【解答】解：令 x = 1 ，得所有项系数和为 (1一 2)2023 = 一1 ，故 A 正确，: n = 2023 ， : 展开式中有 2024 项，则展开式中二项系数最大项为第 1012 项或 1013 项，故 B 错误， 令 x = 0 得， a0 = 1 ，令 得 一a0 = 一1 ，故 C 正确，等式两边对 x 求导数得 一2 2023(1 一 2x)2022 = a1 + 2a2x + 3a3x2 + + 2023a2023x2022 ， 令 x = 1 得 a1 + 2a2 + 3a3 + + 2023a2023 = 一4046 ，故 D 错误故选： AC 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，利用二项式系数的性质，利用赋值法以及求导数法进行计算是 解决本题的关键，是中档题三填空题（共 6 小题）16 （2024黄浦区校级三模）用1 9 这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数共有 840 个【考点】数字问题【专题】整体思想；综合法；排列组合；数学运算【分析】 由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理及分类加法计数原理求解【解答】解：用1 9 这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数可分为 2 类：当数位上数字为奇数且个数为 2 时，则有 C5(2)C4(2)C2(1)A3(3) = 720 个；当数位上数字为奇数且个数为 4 时，则有 A5(4) = 120 个，则各个数位上数字和为偶数的奇数共有 720 + 120 = 840 个故答案为：840【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理及分类加法计数原理，属 中档题17 （2024南开区模拟）在 的展开式中， x一1 的系数为 【答案】 【考点】二项式定理14【专题】综合法；数学运算；计算题；转化思想；二项式定理；逻辑推理 【分析】直接利用二项式的展开式和组合数的应用求出结果【解答】解：根据二项式的展开式 当 r = 2 时， x1 的系数为 故答案为： 【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题18 （2024越秀区校级一模）若 的展开式中含 x 的项的系数为 60 ，则 a2 + b 的最小值为 .答案】 【考点】二项式定理【专题】数学运算；转化思想；二项式定理；转化法【分析】求出通项公式，利用项的系数得到方程，求出 a2b = 2 ，进而由基本不等式求出最小值 【解答】解：二项展开式的通项为 令 3 r = 1 得 r = 2 ，: T3 = (1)2 C6(2)a4b2x = 15a4b2x ，依题意得， 15a4b2 = 60(b 0) ， : a2b = 2 ， 当且仅当 a2 = b ，即 时，等号成立: a2 + b 的最小值为 2、 故答案为： 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，考查转化能力，属于中档题19 （2024绍兴模拟） (x 2y)5 展开式中 x4y 的系数为 10 【答案】 10 【考点】二项式定理【专题】综合法；转化思想；计算题；二项式定理；数学运算；逻辑推理 【分析】根据二项式定理计算即可【解答】解：设 (x 2y)5 的通项为Tr+1 = C5(r)x5r (2y)r Tr+1 = C5(r) . (2)r x5ryr ，当 r = 1时， T2 = C5(1) . (2)1 x4y1 = 10x4y 15故答案为： 10 【点评】本题考查的知识要点：二项式的展开式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题20 （2024陕西模拟 的展开式中，不含字母 y 的项为 60x2 【答案】 60x2 【考点】二项式定理【专题】函数思想；综合法；数学运算；二项式定理【分析】利用二项式定理，可得 的展开式中，不含字母 y 的项 解 的展开式中，不含字母 y 的项为 故答案为： 60x2 【点评】本题考查二项式定理，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于中档题21 （2024阳江模拟） (a + x)(1 x)2024 展开式中 x2024 的系数为 2023 ，则 a 的值为 1 【答案】1【考点】二项式定理【专题】数学运算；转化思想；二项式定理；转化法 【分析】根据已知条件，结合二项式定理，即可求解【解答】解： (1 x)2024 展开式的通项公式为Tr+1 = C2(r)024 (1)r xr ，(a + x)(1 x)2024 展开式中 x2024 的系数为 2023 ，则 即 a 2024 = 2023 ，解得 a = 1 故答案为：1【点评】本题主要考查二项式定理，考查转化能力，属于基础题四解答题（共 4 小题）22 （2024浙江模拟）最近的一次数学竞赛共 6 道试题，每题答对得 7 分，答错（或不答）得 0 分赛后 某参赛代表队获团体总分