2025年高考数学压轴训练二十四.docx

2025 年高考数学压轴训练 24
一．选择题（共 9 小题）
1 ．（2024•阜阳模拟）在二项式 的展开式中，下列说法正确的是 ( )
A ．常数项为 B ．各项的系数和为 64
C ．第 3 项的二项式系数最大 D ．奇数项二项式系数和为 —32
2 ．（2024•博白县模拟）文娱晚会中，学生的节目有 5 个，教师的节目有 2 个，如果教师的节目不排在第 一个，也不排在最后一个，并且不相邻，则排法种数为 ( )
A ．720 B ．1440 C ．2400 D ．2880
3 ．（2024•南京模拟）有 5 个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每 个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是 ( )
A ．300 B ．360 C ．390 D ．420
4 ．（2024•石家庄模拟）现将四名语文教师，三名心理教师，两名数学教师分配到三所不同学校，每个学 校三人，要求每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为 ( )
A ．216 B ．432 C ．864 D ．1080
5 ．（2024•西安二模）老师有 6 本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得 2 本，乙、丙每人至 少分得一本，则不同的分法有 ( )
A ．248 种 B ．168 种 C ．360 种 D ．210 种
6 ．（2024•安徽模拟）将 1 到 50 这 50 个正整数平均分成 A 、B 两组，每组各 25 个数，使得 A 组的中位数 比 B 组的中位数小 1 ，则共有 ( ) 种分法．
A ． C24(12) B ． C4(2)8(4)

C ． C4(2)8(4) . C24(12) D ． (C24(12) )2
7 ．（2024•贵州模拟）在 的展开式中，下列说法错误的是 ( )
A ．二项式系数之和为 64
B ．各项系数之和为
C ．二项式系数最大的项为 x
D ．常数项为
8 ．（2024•莆田模拟）用数字 0 ，1 ，2 ，3 ，5 组成没有重复数字的五位偶数，把这些偶数从小到大排列得 到一个数列{an } ，则 a25 = ( )

1
A ．32150 B ．25310 C ．32510 D ．25130
9 ．（2024•凉山州模拟）五名同学彝族新年期间去邛海湿地公园采风观景，在观鸟岛湿地门口五名同学排 成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有 ( )
A ．12 种 B ．24 种 C ．48 种 D ．96 种
二．多选题（共 6 小题）
10 ．（2024 • 长 沙 三 模 ） 瑞 士 数 学 家 Jakob Bernoulli 于 17 世 纪 提 出 如 下 不 等 式 ： x > -1 ， 有 请运用以上知识解决如下问题：若 0 < a < 1 ，0 < b < 1 ，a ≠ b ，则以下不等式正 确的是 ( )
A ． aa + bb > 1 B ． ab + ba > 1 C ． aa + bb > ab + ba D ． aa + bb < ab + ba
11 ．（2024•曲靖模拟）下列命题正确的是 ( )
A ． 展开式中 x6 的系数为 1
B ． 展开式的常数项等于 20
C ． 展开式的二项式系数之和为 64
D ． 展开式的系数之和为 64
12 ．（2024•九江三模） 已知二项式 则
A ．展开式中 x8y-2 的系数为 45

B ．展开式中二项式系数最大的项是第 5 项
C ．展开式中各项系数之和为 1
D ．展开式中系数最大的项是第 5 项或第 7 项
13 ．（2024•河南模拟）关于 的展开式，下列判断正确的是 ( )
A ．展开式共有 7 项
B ．展开式的各二项式系数的和为 128
C ．展开式中含 x5 的项的系数为 -49
7
D ．展开式的常数项为 72
14 ．（2024•福建模拟） 已知正整数 x ， n ，其中 x 的因数不包含 3 ，若 (x + 3)n 的展开式中有且只有 6 项能 被 9 整除，则 n 的取值可以是 ( )
A ．6 B ．7 C ． 8 D ．9

2
15 ．（2023•云南模拟） 已知 (1 - 2x)2023 = a0 + a1x + a2x2 + … + a2023x2023 ，则 ( )
A ．展开式中所有项的系数和为 -1
B ．展开式中二项系数最大项为第 1012 项

D ． a1 + 2a2 + 3a3 + … + 2023a2023 = 2023
三．填空题（共 6 小题）
16 ．（2024•黄浦区校级三模）用1 ~ 9 这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数 的奇数共有 个．
17 ．（2024•南开区模拟）在 的展开式中， x-1 的系数为 ．
18 ．（2024•越秀区校级一模）若 的展开式中含 x 的项的系数为 60 ，则 a2 + b 的最小值 为 ．
19 ．（2024•绍兴模拟） (x - 2y)5 展开式中 x4y 的系数为 ．
20 ．（2024•陕西模拟 的展开式中，不含字母 y 的项为 ．
21 ．（2024•阳江模拟） (a + x)(1 - x)2024 展开式中 x2024 的系数为 -2023 ，则 a 的值为 ．

四．解答题（共 4 小题）
22 ．（2024•浙江模拟）最近的一次数学竞赛共 6 道试题，每题答对得 7 分，答错（或不答）得 0 分．赛后 某参赛代表队获团体总分 161 分，且统计分数时发现：该队任两名选手至多答对两道相同的题目，没有三 名选手都答对两道相同的题目．试问该队选手至少有多少人？
23 ． （ 2024 • 顺 庆 区 校 级 模 拟 ） 已 知 数 列 {an } 的 首 项 为 1 ， 记 F(x, n) = a1Cn(0) (1 - x)n + a2 Cn(1)x(1 - x)n-1 + a3 Cn(2)x2 (1 - x)n-2 + … + an Cn(n)-1xn-1(1 - x)1 + an+1Cn(n)xn ．

（1）若数列{an } 是公比为 3 的等比数列，求 F (-1, 2020) 的值；

（2）若数列{an } 是公差为 2 的等差数列，

①求证： kC = nC--11 ；
②求证： F(x, 2020) 是关于x 的一次多项式．
24 ．（2024•黔南州二模）1799 年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一元 n 次多项式方程在复数域上至少有一根 (n开1) ．此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基 础作用．由此定理还可以推出以下重要结论： n 次复系数多项式方程在复数域内有且只有 n 个根（重根按

3
重数计算）．对于 n 次复系数多项式f(x) = xn + an—1xn—1 + … + a1x + a0 ，其中 an —1 ， an—2 ， … , a0 ∈ C ，若方 程 f(x) = 0 有 n 个复根x1 ， x2 ， … , xn ，则有如下的高阶韦达定理：

（1）在复数域内解方程x2 + 4 = 0 ；
（2）若三次方程x3 + ax2 + bx + c = 0 的三个根分别是 x1 = 1 — i ，x2 = 1 + i ，x3 = 2(i 为虚数单位），求 a ，b ， c 的值；
（3）在 n开4 的多项式 f(x) = xn + an—1xn—1 + … + a1x + a0 中，已知 an —1 = —1 ，a1 = —n2 a ，a0 = a ，a 为非零实 数，且方程 f(x) = 0 的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含 n 的式子表示）．
25 ．（2024•鼓楼区校级模拟）设 (2x +1)8 的第 n 项系数为 an ．

（1）求 an 的最大值．
（2）若[x] 表示 x 的整数部分 的值．

4
2025 年高考数学压轴训练 24
参考答案与试题解析
一．选择题（共 9 小题）
1 ．（2024•阜阳模拟）在二项式 的展开式中，下列说法正确的是 ( )
A ．常数项为 B ．各项的系数和为 64
C ．第 3 项的二项式系数最大 D ．奇数项二项式系数和为 —32
【答案】 A
【考点】二项式定理
【专题】转化思想；二项式定理；逻辑推理；数学运算；计算题；综合法
【分析】直接利用二项式的展开式，赋值法和组合数以及二项式系数的和判断 A 、 B 、 C 、 D 的结论． 解：根据 的展开式通项为
当 r = 2 时，常数项为 选项 A 正确；
令 x = 1 ，得各项的系数和为 选项 B 错误；
展开式共 7 项，二项式系数最大应为第 4 项，故选项 C 错误；
依题意奇数项二项式系数和为 选项D 错误．
故选： A ．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，赋值法，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
2 ．（2024•博白县模拟）文娱晚会中，学生的节目有 5 个，教师的节目有 2 个，如果教师的节目不排在第 一个，也不排在最后一个，并且不相邻，则排法种数为 ( )
A ．720 B ．1440 C ．2400 D ．2880
【答案】 B
【考点】部分元素不相邻的排列问题
【专题】定义法；对应思想；数学运算；排列组合
【分析】先将学生节目进行全排列，再根据题意将教师节目插入除首尾以为的 4 个空中，从而可解．
【解答】解：根据题意，先将学生节目进行全排列共有 A5(5) = 120 种排法，

又教师的节目不排在第一个，也不排在最后一个，并且不相邻，
则将教师的 2 个节目插入到中间4 个空中，
则共120× A4(2) = 1440 种方法．

5
故选： B ．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
3 ．（2024•南京模拟）有 5 个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每 个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是 ( )
A ．300 B ．360 C ．390 D ．420
【答案】 C
【考点】排列组合的综合应用
【专题】数学运算；综合法；整体思想；排列组合
【分析】 由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理及平均分组问题求解． 【解答】解：当 5 个人中有 3 个人被录用，
则不同的录用情况种数是 A5(3) = 60 ；

当 5 个人中有 4 个人被录用，
则不同的录用情况种数是 当 5 个人中全部被录用，
则不同的录用情况种数是

则不同的录用情况种数共有 60 + 180 + 150 = 390 ．
故选： C ．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理及平均分组问题，属中档 题．
4 ．（2024•石家庄模拟）现将四名语文教师，三名心理教师，两名数学教师分配到三所不同学校，每个学 校三人，要求每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为 ( )
A ．216 B ．432 C ．864 D ．1080
【答案】 B
【考点】排列组合的综合应用
【专题】定义法；对应思想；数学运算；排列组合
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合分组分配列式计算得解．
【解答】解：求不同的安排种数需要分成 3 步，把 3 名心理教师分配到三所学校，有 A3(3)种方法，

再把 4 名语文教师按 2 :1 : （ 1 分）成 3 组，并分配到三所学校，有 C4(2)A3(3)种方法，

6
最后把 2 名数学教师分配到只有 1 名语文教师的两所学校，有 A2(2)种方法，

由分步乘法计数原理得不同的安排种数为 A3(3) . C4(2)A3(3) . A2(2) = 432 ．

故选： B ．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
5 ．（2024•西安二模）老师有 6 本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得 2 本，乙、丙每人至 少分得一本，则不同的分法有 ( )
A ．248 种 B ．168 种 C ．360 种 D ．210 种 【答案】 D
【考点】人员及物品分配问题
【专题】整体思想；综合法；排列组合；数学运算
【分析】 由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理及分步乘法计数原理求解．
【解答】解：老师有 6 本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得 2 本，乙、丙每人至少分得一 本，
当甲分 2 本，乙分 1 本，丙分 3 本时，
不同的分法有 C6(2)C4(1) = 60 种；

当甲分 2 本，乙分 2 本，丙分 2 本时，
不同的分法有 C6(2)C4(2) = 90 种；

当甲分 2 本，乙分 3 本，丙分 1 本时，
则不同的分法有 C6(2)C4(3) = 60 种，

即不同的分法共有 60 + 90 + 60 = 210 种． 故选： D ．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理及分步乘法计数原理，属 中档题．
6 ．（2024•安徽模拟）将 1 到 50 这 50 个正整数平均分成 A 、B 两组，每组各 25 个数，使得 A 组的中位数 比 B 组的中位数小 1 ，则共有 ( ) 种分法．
A ． C24(12) B ． C4(2)8(4)

C ． C4(2)8(4) . C24(12) D ． (C24(12) )2

【答案】 D
【考点】简单组合问题；排列组合的综合应用

7
【专题】计算题；排列组合；数学运算；综合法；方程思想
【分析】根据题意，由中位数的定义分析可得甲组的中位数为 25 ，而此时乙组的中位数是 26 ， 【解答】解：根据题意，将 1 ，2 ，3 ， … , 50 这 50 个正整数分成甲、乙两组，每组各 25 个数， 使得甲组的中位数比乙组的中位数小 1，
由中位数的定义， 甲组的中位数为 25 ，而此时乙组的中位数是 26， 在小于 25 的 24 个数中选 12 个，分到 A 组，剩下 12 个分到 B 组，
在大于 25 的 24 个数中选 12 个，分到 A 组，剩下 12 个分到 B 组，
共有 (C24(12))2 种分组方法．

故选： D ．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及中位数的定义，属于中档题．
7 ．（2024•贵州模拟）在 的展开式中，下列说法错误的是 ( )
A ．二项式系数之和为 64
B ．各项系数之和为
C ．二项式系数最大的项为
D ．常数项为
【答案】 C
【考点】二项式定理
【专题】综合法；二项式定理；数学运算；转化思想；计算题
【分析】 由题意先求出 n 的值，利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，逐一判断各个选项是否 正确，从而得出结论．
解 的展开式中，二项式系数之和为 26 = 64 ，故 A 正确；
令 x = 1 ，可得各项系数之和为 故 B 正确；
根据二项式系数的性质，可得当 r =3 时，展开式中二项式系数最大，
即展开式的第 4 项的二项式系数最大 故 C 错误；

根据通项公式为 令 求得 r = 4 ，
可得展开式中常数项为 故D 正确．

8
故选： C ．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
8 ．（2024•莆田模拟）用数字 0 ，1 ，2 ，3 ，5 组成没有重复数字的五位偶数，把这些偶数从小到大排列得 到一个数列{an } ，则 a25 = ( )
A ．32150 B ．25310 C ．32510 D ．25130
【答案】 C
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题
【专题】综合法；排列组合；数学运算；转化思想；计算题 【分析】 由分类加法计数原理及排列数公式求解即可．
【解答】解：数字 1 在万位的偶数 (0 ，2 为个位）有 A2(1)A3(3) = 12 个；

数字 2 在万位的偶数 (0 为个位）有 A3(3) = 6 个；

数字 3 在万位，0 在千位的偶数 (2 为个位）有 A2(2) = 2 个；

此时共12 + 6 + 2 = 20 个偶数，
随后 5 个偶数从小到大为 31052 ，31502 ，31520 ，32150 ，32510 ，所以第 25 个数是 32510， 即 a25 = 32510 ．
故选： C ．
【点评】本题主要考查简单的计数问题，考查运算求解能力，属于中档题．
9 ．（2024•凉山州模拟）五名同学彝族新年期间去邛海湿地公园采风观景，在观鸟岛湿地门口五名同学排 成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有 ( )
A ．12 种 B ．24 种 C ．48 种 D ．96 种
【答案】 B
【考点】部分元素不相邻的排列问题
【专题】对应思想；综合法；排列组合；数学运算
【分析】甲和乙相邻利用捆绑法，丙和丁不相邻用插空法，即先捆甲和乙，再与丙和丁外的一人共“2 人 ” 排列，再插空排丙和丁．
【解答】解： 甲和乙相邻，捆绑在一起有 A2(2) = 2 种，

再与丙和丁外的 1 人排列有 A2(2) = 2 种，

再排丙和丁有 A3(2) = 6 种，

9
故共有 A2(2) . A2(2) . A3(2) = 2 × 2 × 6 = 24 种排法．

故选： B ．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查运算求解能力，属于中档题．
二．多选题（共 6 小题）
10 ．（2024 • 长 沙 三 模 ） 瑞 士 数 学 家 Jakob Bernoulli 于 17 世 纪 提 出 如 下 不 等 式 ： x > —1 ， 有 请运用以上知识解决如下问题：若 0 < a < 1 ，0 < b < 1 ，a ≠ b ，则以下不等式正 确的是 ( )
A ． aa + bb > 1 B ． ab + ba > 1 C ． aa + bb > ab + ba D ． aa + bb < ab + ba 【答案】 ABC
【考点】二项式定理
【专题】转化思想；构造法；定义法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算
【分析】选项 A 中，根据题意得出 ， 求和即可；
选项 B 中，根据题意得出 ， ，根据同向不等式相加，求解即可；
选项 C 、 D ，不等式 aa + bb > ab + ba ，可化为bb —ba > ab — aa ，构造函数 h(x) = xb — xa ，利用导数判断函 数的单调性，求解即可．
解：对于 A ，因为 所以 则
对于 B ，因为 同理 则 对于 C ，要证明 aa + bb > ab + ba ，也即证明bb —ba > ab — aa ，只要证明b●x < 1 时，h(x) = xb — xa 在区间[b ， 1) 上单调递减．
求导数，得 h 由 得 且 axb—1 > 0 ，
结合幂函数 y = xa—b 的性质得：当 时，h(x) ●0 ，h(x) 在区间 上单调递减，即 时 ， 函 数 h(x) 取 得 最 大 值 ， 从 而 只 需 证 明 变 换 得 因 为
故得证；
综上，若 0 < b < a < 1 ，不等式 aa + bb > ab + ba 成立，选项 C 正确， D 错误．
故选： ABC ．
【点评】本题考查了函数与不等式的应用问题，也考查了推理与运算能力，是难题．

10
11 ．（2024•曲靖模拟）下列命题正确的是 ( )
A ． 展开式中 x6 的系数为 1
B ． 展开式的常数项等于 20
C ． 展开式的二项式系数之和为 64
D ． 展开式的系数之和为 64 【答案】 ABC
【考点】二项式定理
【专题】数学运算；计算题；综合法；转化思想；二项式定理；逻辑推理
【分析】根据给定二项式，利用展开式的通项公式计算可判断选项 A ，B ；根据二项式系数之和为 2n 可判 断选项 C ；令 x = 1 ，可得所有项系数之和进而判断选项 D ．
【解答】解：对于选项 A ：由 展开式的通项为
令 6 - 2r = 6 ，解得 r = 0 ，所以含 x6 的项为T1 = (-1)0 C6(0)x6 = x6 ，此时系数为 1 ，故 A 正确；
对于选项 展开式的通项为
令 6 - 2r = 0 ，解得 r = 3 ，所以常数项为T4 = C6(3)x0 = 20 ，故 B 正确；
对于选项 可知 n = 6 ，所以二项式系数之和为 26 = 64 ，故 C 正确；
对于选项 D ：令 x = 1 ，可得所有项系数之和为 (1 -1)6 = 0 ，故D 错误．

故选： ABC ．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
12 ．（2024•九江三模） 已知二项式 则
A ．展开式中 x8y-2 的系数为 45

B ．展开式中二项式系数最大的项是第 5 项
C ．展开式中各项系数之和为 1
D ．展开式中系数最大的项是第 5 项或第 7 项 【答案】 AD
【考点】二项式定理
【专题】综合法；数学运算；二项式定理；整体思想
【分析】 由已知结合二项展开式式系数及系数的性质检验各选项即可判断．

11
解：因为 一r 一ry 一r ，
A ：令10 一 r = 8 ，即 r = 2 ，展开式中 x8y一2 的系数为 C120 = 45 ，正确；
B ：展开式共 11 项，故二项式系数最大的项为第6 项，错误；
C ：令 x = y = 1 ，则展开式各项系数和为 0 ，错误；
D ：当 r 为奇数时，系数为负，当 r 为偶数时，系数为正，
故展开式中， r = 4 或 r =6 系数最大项为第 5 或第 7 项，正确．
故选： AD ．
【点评】本题主要考查了二项展开式系数及展开式系数的性质的应用，属于中档题．
13 ．（2024•河南模拟）关于 的展开式，下列判断正确的是 ( )
A ．展开式共有 7 项
B ．展开式的各二项式系数的和为 128
C ．展开式中含 x5 的项的系数为 一49
7
D ．展开式的常数项为 72
【答案】 BD
【考点】二项式定理
【专题】数学运算；二项式定理；逻辑推理；转化思想；计算题；综合法
【分析】根据二项式展开式的性质判断 A ，二项式系数和为判断 B ，写出展开式的通项，即可判断 C ，令 x = 0 ，可得展开式中常数项，即可判断D ．
【解答】解：对于 A ，因为 n = 7 ，故展开式共有 7 + 1 = 8 项，故 A 错误； 对于 B ，展开式的各二项式系数的和为 27 = 128 ，故 B 正确；
对于 C ，展开式的通项公式为： Tr +1 = C7(r) (、)7一r (一x)r = C7(r) (一1)r ( ·)7一r x r , 0 ●r ●7, n ∈ N* ，

故含 x5 的项的系数为 一5 = 一147 ，故 C 错误；
对于 D ，令 x = 0 ，展开式的常数项为 故 D 正确．
故选： BD ．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，赋值法，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
14 ．（2024•福建模拟） 已知正整数 x ， n ，其中 x 的因数不包含 3 ，若 (x + 3)n 的展开式中有且只有 6 项能 被 9 整除，则 n 的取值可以是 ( )
A ．6 B ．7 C ． 8 D ．9

12
【答案】 AB
【考点】二项式定理
【专题】数学运算；二项式定理；计算题；转化思想；逻辑推理；综合法 【分析】利用二项式定理及其通项公式分类讨论计算即可．
【解答】解：易知 (x + 3)n 的展开式的第 k + 1 项为 Cxn-k3k (k .n) ， 即当 k开2 时必能被 9 整除，即至少有 n -1项可被 9 整除，
故转为研究当k = 0 ，1 时是否满足题意，
当 k = 0 时，该项为 Cn(0)xn = xn ，由于x 的因数不含 3 ，故无法被 9 整除；

当 k = 1时，该项为 Cn(1)xn-1 × 3 = 3nxn-1 ，
若 n 为 3 的倍数，则该项可被 9 整除；
若 k = 1时该项可被 9 整除，则共有 n 项可被 9 整除， 此时 n = 6 ，为 3 的倍数，成立，
若 k = 1时该项不可被 9 整除，则共有 n -1项可被 9 整除， 此时 n = 7 ，符合题意．
综上， n 可以为 6 或 7．
故选： AB ．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，整除问题的应用，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
15 ．（2023•云南模拟） 已知 (1- 2x)2023 = a0 + a1x + a2x2 + … + a2023x2023 ，则 ( )
A ．展开式中所有项的系数和为 -1
B ．展开式中二项系数最大项为第 1012 项

D ． a1 + 2a2 + 3a3 + … + 2023a2023 = 2023
【答案】 AC
【考点】二项式定理
【专题】函数思想；转化法；二项式定理；数学运算 【分析】 A ．令 x = 1进行求解．
B ．展开式中二次系数最大值的项有两项．
C ．令 x = 0 或 进行求解．
D ．先对等式两边对 x 求导数，然后令 x =1进行计算即可．

13
【解答】解：令 x = 1 ，得所有项系数和为 (1一 2)2023 = 一1 ，故 A 正确，
: n = 2023 ， : 展开式中有 2024 项，则展开式中二项系数最大项为第 1012 项或 1013 项，故 B 错误， 令 x = 0 得， a0 = 1 ，令 得
一a0 = 一1 ，故 C 正确，
等式两边对 x 求导数得 一2× 2023(1 一 2x)2022 = a1 + 2a2x + 3a3x2 +… + 2023a2023x2022 ， 令 x = 1 得 a1 + 2a2 + 3a3 + … + 2023a2023 = 一4046 ，故 D 错误．
故选： AC ．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，利用二项式系数的性质，利用赋值法以及求导数法进行计算是 解决本题的关键，是中档题．
三．填空题（共 6 小题）
16 ．（2024•黄浦区校级三模）用1 ~ 9 这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数
的奇数共有 840 个．
【考点】数字问题
【专题】整体思想；综合法；排列组合；数学运算
【分析】 由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理及分类加法计数原理求解．
【解答】解：用1 ~ 9 这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数可分为 2 类：
①当数位上数字为奇数且个数为 2 时，
则有 C5(2)C4(2)C2(1)A3(3) = 720 个；
②当数位上数字为奇数且个数为 4 时，
则有 A5(4) = 120 个，
则各个数位上数字和为偶数的奇数共有 720 + 120 = 840 个．
故答案为：840．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理及分类加法计数原理，属 中档题．
17 ．（2024•南开区模拟）在 的展开式中， x一1 的系数为 ．
【答案】 ．
【考点】二项式定理

14
【专题】综合法；数学运算；计算题；转化思想；二项式定理；逻辑推理 【分析】直接利用二项式的展开式和组合数的应用求出结果．
【解答】解：根据二项式的展开式
当 r = 2 时， x—1 的系数为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
18 ．（2024•越秀区校级一模）若 的展开式中含 x 的项的系数为 60 ，则 a2 + b 的最小值为
.

【答案】 ．
【考点】二项式定理
【专题】数学运算；转化思想；二项式定理；转化法
【分析】求出通项公式，利用项的系数得到方程，求出 a2b = 2 ，进而由基本不等式求出最小值． 【解答】解：二项展开式的通项为 令 3 — r = 1 得 r = 2 ，
: T3 = (—1)2 C6(2)a4b2x = 15a4b2x ，依题意得， 15a4b2 = 60(b > 0) ， : a2b = 2 ，
当且仅当 a2 = b ，即 时，等号成立．
: a2 + b 的最小值为 2·、 ． 故答案为： ．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，考查转化能力，属于中档题．
19 ．（2024•绍兴模拟） (x — 2y)5 展开式中 x4y 的系数为 —10 ． 【答案】 —10 ．
【考点】二项式定理
【专题】综合法；转化思想；计算题；二项式定理；数学运算；逻辑推理 【分析】根据二项式定理计算即可．
【解答】解：设 (x — 2y)5 的通项为Tr+1 = C5(r)x5—r (—2y)r → Tr+1 = C5(r) . (—2)r x5—ryr ，

当 r = 1时， T2 = C5(1) . (—2)1 x4y1 = —10x4y ．

15
故答案为： —10 ．
【点评】本题考查的知识要点：二项式的展开式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
20 ．（2024•陕西模拟 的展开式中，不含字母 y 的项为 60x2 ．
【答案】 60x2 ．
【考点】二项式定理
【专题】函数思想；综合法；数学运算；二项式定理
【分析】利用二项式定理，可得 的展开式中，不含字母 y 的项．
解 的展开式中，不含字母 y 的项为 故答案为： 60x2 ．
【点评】本题考查二项式定理，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于中档题．
21 ．（2024•阳江模拟） (a + x)(1— x)2024 展开式中 x2024 的系数为 —2023 ，则 a 的值为 1 ． 【答案】1．
【考点】二项式定理
【专题】数学运算；转化思想；二项式定理；转化法 【分析】根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
【解答】解： (1 — x)2024 展开式的通项公式为Tr+1 = C2(r)024 (—1)r xr ，

(a + x)(1— x)2024 展开式中 x2024 的系数为 —2023 ，

则 即 a — 2024 = —2023 ，解得 a = 1 ．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查二项式定理，考查转化能力，属于基础题．
四．解答题（共 4 小题）
22 ．（2024•浙江模拟）最近的一次数学竞赛共 6 道试题，每题答对得 7 分，答错（或不答）得 0 分．赛后 某参赛代表队获团体总分