2025年高考数学压轴训练七.docx

2025 年高考数学压轴训练 7
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024 • 雁 塔 区 校 级 模 拟 ） 已 知 函 数 f(x) = 2sin(①x + φ)(① > 0 ， ， 对 于 任 意 的 x ∈ R ， 都恒成立，且函数f(x) 在 (一 0) 上单调递增，则 ① 的值为 ( )
A ．3 B ．9 C ．3 或 9 D ．
2 ．（2024•威远县校级一模）设函数 若存在x1 , x2 ∈ 且 x1 ≠ x2 ，使得 f(x1 ) = f(x2 ) = 1 ，则 ① 的取值范围是 ( )
A ． [4 ， +∞) B ． (4 ， 6] C ． [6 ， +∞) D ． (6 ， 10]
3 ．（2024•江西一模） 已知 则 )
A ． 一 B ． 一 C ． D ．
4 ．（2024•南通模拟） 已知 一 tan β = 2 ，则 sinα sin β =
A ． B ． C ． D ．
5 ．（2024•邹城市校级三模） 已知 一 sin β = 一 则 cos
A ． B ． 一 C ． D ． 一
6．（2024•沙坪坝区校级模拟）已知函数 = Asin 的部分图像如图所示，
若 则 )

A ． 一 B ． C ． 一 D ．
7 ．（2024•济南校级模拟）已知函数 ，若 A ， B 是锐角ΔABC 的两个内角，则下列结论一定正 确的是 ( )
A ． f(sin A) > f(sin B) B ． f(cosA) > f(cos B)

1
C ． f(sin A) > f(cos B) D ． f(cosA) > f(sin B)
8 ．（2024•博白县模拟）已知点 都是 图象上的点，
点 A ，B 到x 轴的距离均为 1 ，把f(x) 的图象向左平移 6(兀) 个单位长度后，点 A ，B 分别平移到点 A’，B’，
且点 A’， B’关于原点对称，则 ① 的值不可能是 ( )
A ．3 B ．5 C ．10 D ．11
9 ．（2024•姜堰区校级模拟）设函数在 上至少有两个不同零点，则实 数 ① 的取值范围是 ( )
A ． B ．
C ． D ．
10 ．（2024•仪征市模拟）若 且 cosα sin β = ， ，则 cos(α — β) = ( )
A ． B ． C ． D ．
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•湖南模拟） 已知 下列结论正确的是 ( )
A ．若 f(x) 的最小正周期为 兀 ，则 ① = 2
B ．若 f(x) 的图象向左平移3(兀) 个单位长度后得到的图象关于 y 轴对称，则 ①min = 1
C ．若 f(x) 在[0 ， 2兀) 上恰有 4 个极值点，则 ① 的取值范围为
D ．存在 ① , 使得 f(x) 在上单调递减
12 ．（2024•九龙坡区模拟）已知函数 的图象关于直线对称，则下列 说法正确的是 ( )
兀
A ．
B ． 为偶函数
在 上单调递增
D ．若 | f(x1 ) — f(x2 ) |= 6 ，则 | x1 — x2 | 的最小值为 2(兀)
13．（2024•东阳市模拟）已知函数 f(x) = sin 2①x cosφ + cos 2①x sin 的部分图象如图所示， 则 ( )

2

A ．
B ． ① = 2
C ． 为偶函数
D ． f(x) 在区间 的最小值为
14．（2024•合肥模拟）已知 x1 ，x2 是函数 的两个零点，且| x1 — x2 | 的最小值是 则 ( )
在 上单调递增
B ． f(x) 的图象关于直线对称
C ． f(x) 的图象可由 g(x) = 2sin 2x 的图象向右平移个单位长度得到
在 上仅有 1 个零点
15 ．（2024•高州市模拟）已知函数 f(x) = sin(2x + φ)(0 < φ < π) ，对任意实数 x 都有 则下列 结论正确的是 ( )
A ． f(x) 的最小正周期为 π
B ．
C ．函数f(x) 的图象关于对称
D ． f(x) 在区间上有一个零点
三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024•芝罘区校级模拟）如图，圆 O 与x 轴的正半轴的交点为 A ，点 C 、B 在圆 O 上，且点 C 位于第
一象限，点 B 的坐标为 上AOC = α , 若| BC |= 1 ，则 的值为 ．

3

17 ．（2024 • 抚 顺 模 拟 ） 已 知 x1 ， x2 是 函 数 的 两 个 零 点 ， 且
若将函数 f(x) 的图象向左平移 3(兀) 个单位后得到的图象关于 y 轴对称，且函数 f(x) 在θ)
内恰有 2 个最值点，则实数θ 的取值范围为 ．
18 ．（2024•迎江区校级四模）已知函数 直线 与曲线 y = f(x) 的两 个交点 A ， B 如图所示．若 且 f 在区间 上单调递减，则 ① = ； φ = ．

19．（2024•资阳模拟）已知函数 若存在 x1 ，x2 ∈ [0 ，兀 ] ，使得 f(x1 )f(x2 ) = —4 ， 则 ① 的最小值为 ．
20．（2024•香河县校级模拟）已知函数 在区间 (0, 兀) 上恰有两个零点，则
① 的取值范围是 ．
四．解答题（共 5 小题）
在 ΔABC 中 ．
（1）求 a ；
（2）求 sin A ；
（3）求 cos(B — 2A) ．
22 ．（2024•青浦区二模）对于函数 ，其中 x ∈ R ．
（1）求函数 y = f(x) 的单调增区间；
（2）在锐角三角形 ABC 中，若 求 ΔABC 的面积．
23 ．（2024•抚州模拟） 已知函数 f(x) = Asin(①x + φ)(A > 0 ， ① > 0 ， 函数 f 和它的导函

4
数 f (x) 的图象如图所示．
（1）求函数 f(x) 的解析式；
已知 求 f 的值．

24 ．（2024•东城区模拟） 已知函数 的部分图象如图所示．
( Ⅰ ) 求 ① 的值；
( Ⅱ ) 从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x) 存在，并求函数 f(x) 在上的最大值和最小 值．
条件①：函数是奇函数；
条件②：将函数 f(x) 的图象向右平移兀 个单位长度后得到 y = sin ①x 的图象；
条件 ．

25 ．（2024•东城区校级三模） 已知函数 ．
若 ，求 x0 的值；
( Ⅱ ) 设 g(x) = f(x) . cos x ，求 g(x) 在区间上的最大值和最小值．

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2025 年高考数学压轴训练 7
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024 • 雁 塔 区 校 级 模 拟 ） 已 知 函 数 f(x) = 2sin(①x + φ)(① > 0 ， ， 对 于 任 意 的 x ∈ R ， 都恒成立，且函数f(x) 在 ，0) 上单调递增，则 ① 的值为 ( )
A ．3 B ．9 C ．3 或 9 D ．
【答案】 A
【考点】正弦函数的图象
【专题】转化思想；计算题；综合法；数学运算；三角函数的图象与性质
【分析】根据函数 f(x) 在 ， 0) 上单调递增得到 ① 的取值范围，结合已知两个恒等式可求解 ① 的值， 结合φ 取值进行验证，综合可得答案．
【解答】解：因为函数 f(x) 在 0) 上单调递增，
所以 解得T开5(兀) ，即 ①(2兀) 开5(兀) ，解得 0 < ① .10 ，
因为对于任意的 ，
所以 f(x) 的图象关于直线兀 对称， 则 兀
因为 ，
所以 f(x) 关于点 对称， 则 兀 ， k2 ∈ Z ，②
② — ①可得 兀 令 k = k2 —k1 ，则 ① = 6k — 3 ，
结合 0 < ① .10 ，可得 ① = 3 或 9，
当 ① = 3 时，代入①可得兀 ， k1 ∈ Z ，
又 所以 此时

6
在 上单调递增，符合题意，
当 ① = 9 时，代入①可得 φ = 一 兀 ， k1 ∈ Z ，
又 所以 此时f = 2sin
在 上不单调，不符合题意．
综上， ① = 3 ．
故选： A ．
【点评】本题主要考查正弦函数的 图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
2 ．（2024•威远县校级一模）设函数 若存在x1 , x2 ∈ 且 x1 ≠ x2 ，使得 f(x1 ) = f(x2 ) = 1 ，则 ① 的取值范围是 ( )
A ． [4 ， +∞) B ． (4 ， 6] C ． [6 ， +∞) D ． (6 ， 10]
【答案】 A
【考点】 由 y = Asin(①x + φ) 的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象 【专题】综合法；数学运算；函数思想；三角函数的图象与性质
【分析】依题意，可得 结合 0 ∈ 及 2siin 可列式 求得答案．
解
: 当x ∈ 时 又
又 2siin ，
: 若存在x1 , x2 ∈ 且 x1 ≠ x2 ，使得 f 则 一 一 ，
解得 ①开4 ．
故选： A ．
【点评】本题考查正弦函数的图象和性质的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
3 ．（2024•江西一模） 已知 则 )
A ． 一 B ． 一 C ． D ．

7
【答案】 A
【考点】两角和与差的三角函数；二倍角的三角函数
【专题】转化法；数学运算；三角函数的求值；转化思想
【分析】根据给定条件，利用辅助角公式，结合诱导公式及二倍角的余弦公式计算即得． 解： 由 得 一 即 ， 所以 一 2sin2 一 一 故选： A ．
【点评】本题考查了三角恒等变形，属于中档题．
4 ．（2024•南通模拟） 已知 一 tan β = 2 ，则 sinα sin β =
A ． B ． C ． D ．
【答案】 B
【考点】两角和与差的三角函数
【专题】综合法；数学运算；三角函数的求值；整体思想
【分析】 由已知结合同角基本关系及和差角公式进行化简即可求解． 解：因为 ，
所以 0 < α 一
因为 所以 ，

所以 ，

则 ．
故选： B ．
【点评】本题主要考查了同角基本关系，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
5 ．（2024•邹城市校级三模） 已知 一 sin β = 一 则 cos
A ． B ． 一 C ． D ． 一 【答案】 A
【考点】两角和与差的三角函数

8
【专题】方程思想；综合法；三角函数的求值；运算求解
【分析】将已知两个关系式分别平方后相加，可求得 再利用二倍角公式可求得答案． 解 ，
① 又 ，

① + ② , 得 ， ,

故选： A ．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数的综合应用，属于中档题．
6．（2024•沙坪坝区校级模拟）已知函数 的部分图像如图所示，
若 则 )

A ． B ． C ． D ． 【答案】 D
【考点】 由 y = Asin(①x + φ) 的部分图象确定其解析式
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；数学运算
【分析】由最值求出 A ，由五点作图及特殊点求出 ① , φ , 进而求出 f(x) ，然后结合诱导公式及二倍角公 式即可求解．
【解答】解： 由题意得 且 ，
所以兀 ， ，
因为 兀 ，

9
所以 ， 因为

故选： D ．
【点评】本题主要考查了部分函数的性质求解 y = Asin(①x + φ) 的解析式，还考查了二倍角公式及诱导公式 的应用，属于中档题．
7 ．（2024•济南校级模拟）已知函数 ，若 A ， B 是锐角ΔABC 的两个内角，则下列结论一定正 确的是 ( )
A ． f(sin A) > f(sin B) B ． f(cosA) > f(cos B)
C ． f(sin A) > f(cos B) D ． f(cosA) > f(sin B) 【答案】 D
【考点】余弦函数的单调性
【专题】导数的综合应用；函数思想；数学运算；综合法
【分析】依题意，得 在 上恒成立 → f(x) 在 (0, 2(兀)) 上单调递减，结合 A ， B
是锐角ΔABC 的两个内角，对四个选项逐一判断可得答案．
【解答】解： : A ， B 是锐角ΔABC 的两个内角，
兀
: A ， ， 又 ，
在 上恒成立在 上单调递减．

: f(cosA) > f(sin B) ， D 正确；
同理可得 f(cos B) > f(sin A) ， C 错误
而 sin A 与sin B ， cos A 与 cos B 的大小关系均不确定，
: f(sin A) 与 f(sin B) ， f(cos A) 与 f(cos B) 的大小关系也均不确定， A ， B 均错误． 故选： D ．

10
【点评】本题考查余弦函数的单调性及导数的应用，考查逻辑推理的核心素养，属于中档题．
8 ．（2024•博白县模拟）已知点 都是 图象上的点， 点 A ，B 到x 轴的距离均为 1 ，把f(x) 的图象向左平移个单位长度后，点 A ，B 分别平移到点 A’，B’， 且点 A’， B’关于原点对称，则 ① 的值不可能是 ( )
A ．3 B ．5 C ．10 D ．11
【答案】 C
【考点】函数 y = Asin(①x + φ) 的图象变换
【专题】综合法；函数思想；三角函数的图象与性质；数学运算
【分析】依题意，可求得 A(0, 1) ， B( ， 一1) 即 一 结合 可求得 利用 正弦函数的性质可列式求得答案．
解： 由 都是 图象上的点， 依题意，可得 A’ 因为点 A’， B’关于原点对称，
所以 x1 = 0 ，又点 A ， B 到 x 轴的距离均为 1， 故 ，
所以 一 又 0 < φ < ，所以 ，
即 ① = 6k 一 1 或 ① = 6k 一 3(k ∈ Z) ，
所以 ① 的值可能是 3 ，5 ，9 ，11 ， .... ．
故选： C ．
【点评】本题考查了三角函数的图象及变换，体现了数学探索学科素养，考查了化简运算能力，属于中档 题．
9 ．（2024•姜堰区校级模拟）设函数 = 2sin 一 1在 上至少有两个不同零点，则实 数 ① 的取值范围是 ( )
B ．

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C ． D ． 【答案】 A
【考点】正弦函数的图象
【专题】综合法；三角函数的图象与性质；计算题；转化思想；数学运算
先令 f = 0 得 sin 并得到 从小到大将 的正根写出，因为
, 所以 ①x 从而分情况，得到不等式，求出答案．
解：令 2sin 1 = 0 ，则 sin ， 因为 ① > 0 ，所以 ①x ，
令 解得 或
从小到大将 的正根写出如下：
, , , , , …… ,
因为 ，所以 ①x
当 即 时， 2①π 开 解得 ①开 ，此时无解，
当 即 时， 2①π 开 解得 ①开 ，此时无解，
当 即 时， 2①π 开 解得 ①开 ， 故 ，
当 即 时， 2①π 开 解得 ①开 ， 故
当 时， 2①π 此时 f(x) 在[π , 2π] 上至少有两个不同零点．
综上， ① 的取值范围是 ．
故选： A ．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
10 ．（2024•仪征市模拟）若 且 ， ，则 cos(α β) = ( )
A ． B ． C ． D ．

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【答案】 C
【考点】两角和与差的三角函数
【专题】数学运算；整体思想；综合法；三角函数的求值
【分析】利用切化弦可得 ，再由两角和差公式先求 sin(α 一 β) ，最后由同角基本关系式求解．
解：因为 则 则
而 一 则 一 一 β < 0 ， 所以 一sin2 故选： C ．
【点评】本题主要考查了和差角公式及同角基本关系的应用，属于中档题．
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•湖南模拟） 已知 一 下列结论正确的是 ( )
A ．若 f(x) 的最小正周期为 兀 ，则 ① = 2
B ．若 f(x) 的图象向左平移3(兀) 个单位长度后得到的图象关于 y 轴对称，则 ①min = 1
C ．若 f(x) 在[0 ， 2兀) 上恰有 4 个极值点，则 ① 的取值范围为
D ．存在 ① , 使得 f(x) 在上单调递减 【答案】 ABC
【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数 y = Asin(①x + φ) 的图象变换；三角函数的周期性 【专题】综合法；数学运算；整体思想；三角函数的图象与性质
【分析】先结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可判断． 解 一

对于 A ， 兀 ，又 ① > 0 ， : ① = 2 ，故 A 正确；
对于 B ，将 f(x) 的图象向左平移 3(兀) 个单位长度后得到
若所得图象关于 y 轴对称，则 兀 ，得 ① = 1+ 3k ， k ∈ Z ，所以 ①min = 1 ，故 B 正确；

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对于 C ，由 x ∈ , 得
若 f(x) 在[0 ， 2兀) 上恰有 4 个极值点，则 兀
解得 故 C 正确；
对于 D ，由 x ∈
结合正弦函数的性质可知， f(x) 在上不可能单调递减，故D 错误．
故选： ABC ．
【点评】本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
12 ．（2024•九龙坡区模拟）已知函数 = 3sin 的图象关于直线对称，则下列 说法正确的是 ( )
兀
A ．
B ． 为偶函数
在 上单调递增
D ．若 | f(x1 ) 一 f(x2 ) |= 6 ，则 | x1 一 x2 | 的最小值为 2(兀)
【答案】 BD
【考点】正弦函数的奇偶性和对称性；正弦函数的单调性
【专题】数学运算；三角函数的图象与性质；函数思想；综合法
【分析】利用正弦函数的对称性质可求得φ , 再对各个选项逐一判断即可． 解： : f = 3sin 的图象关于直线 对称，

: φ = 一 兀 ， A 错误；
= 3sin ，
是偶函数， B 正确；
→ 2x 一 在[4(兀) , 2(兀)]上不单调， C 错误；
= 3sin 的最小正周期 兀 ，

14
: 若| f(x1 ) 一 f(x2 ) |= 6 ，则 | x1 一 x2 | 的最小值为 正确．
故选： BD ．
【点评】本题考查正弦函数的对称性、单调性及周期性等性质的运用，属于中档题．
13．（2024•东阳市模拟）已知函数 的部分图象如图所示， 则 ( )

兀
A ．
B ． ① = 2
C ． 为偶函数
D ． f(x) 在区间 的最小值为 一 【答案】 ACD
【考点】 由 y = Asin(①x + φ) 的部分图象确定其解析式；三角函数中的恒等变换应用 【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算
【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出 可得 A 正确， B 错误；由诱导公式可 得 C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确．
【解答】解： 由题意得 f(x) = sin(2①x + φ) ， 由图象可得 → ,
又 所以兀 ，
由五点法可得 → ① = 1 ，
所以 ．
A ：由以上解析可得兀 ，故 A 正确；
B ：由以上解析可得 ① = 1 ，故 B 错误；
故 C 正确；

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→ 时
所以最小值为 — ，故 D 正确；
故选： ACD ．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
14．（2024•合肥模拟）已知 x1 ，x2 是函数 的两个零点，且| x1 — x2 | 的最小值是兀 则 ( )
在 上单调递增
B ． f(x) 的图象关于直线兀 对称
C ． f(x) 的图象可由 g(x) = 2sin 2x 的图象向右平移 6(兀) 个单位长度得到
在 上仅有 1 个零点 【答案】 ABD
【考点】函数 y = Asin(①x + φ) 的图象变换；正弦函数的图象
【专题】整体思想；数学运算；三角函数的图象与性质；综合法
【分析】 由已知结合周期公式先求出 ① , 即可求出函数解析式，然后结合正弦函数的单调性检验选项 A ， 结合对称性检验选项B ，结合三角函数图象的平移变换检验选项 C ；结合函数零点存在条件检验选项D 即 可判断．
【解答】解： 由 | x1 — x2 | 的最小值是 2(兀) 可知，函数 f(x) 的最小正周期 ，

对于 时 二
: f(x) 在[0, 3(兀)] 上单调递增，故 A 正确；
对于
: f(x) 的图象关于直线兀 对称，故 B 正确；
对于 故 C 错误；
对于 时 仅当 兀 ，即 = 0 ，故D 正确． 故选： ABD ．
【点评】本题主要考查了正弦函数的周期性，对称性，单调性的应用，还考查了函数图象的平移变换，属

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于中档题．
15 ．（2024•高州市模拟）已知函数 f(x) = sin(2x + φ)(0 < φ < 兀) ，对任意实数 x 都有 则下列 结论正确的是 ( )
A ． f(x) 的最小正周期为 兀
兀
B ．
C ．函数f(x) 的图象关于兀 对称
D ． f(x) 在区间上有一个零点 【答案】 ABD
【考点】三角函数的周期性；正弦函数的奇偶性和对称性；正弦函数的图象
【专题】数学运算；三角函数的图象与性质；整体思想；综合法 【分析】 由已知结合正弦函数的性质检验各选项即可判断．
解：选项 兀 故 A 正确；
选项 B ，易知 为最大值或最小值，
兀 是 f(x) 的一条对称轴的方程．
兀 兀 ， :0 < φ < 兀 ，
兀 ，故 B 正确；
选项 兀 不是最值，故 C 错误；
选项 时， 此区间上 f(x) 有 1 个零点．
故选： ABD ．
【点评】本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024•芝罘区校级模拟）如图，圆 O 与x 轴的正半轴的交点为 A ，点 C 、B 在圆 O 上，且点 C 位于第
一象限，点 B 的坐标为 上AOC = α , 若| BC |= 1 ，则 一 一 的值为．

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【考点】 G9 ：任意角的三角函数的定义
【专题】49：综合法；15：综合题；34：方程思想；56：三角函数的求值
【分析】根据三角函数的定义，结合三角函数的辅助角公式进行化简即可得到结论．
【解答】解： : 点B 的坐标为 设 上A0B = θ
即 ， ，
: 上AOC = α , 若 ， 则 ，

故答案为： ．
【点评】本题主要考查三角函数的化简和求值，利用三角函数的定义以及三角函数的辅助角公式是解决本 题的关键．
17 ．（2024 • 抚 顺 模 拟 ） 已 知 x1 ， x2 是 函 数 的 两 个 零 点 ， 且 若将函数 f(x) 的图象向左平移个单位后得到的图象关于 y 轴对称，且函数 f(x) 在 内恰有 2 个最值点，则实数θ 的取值范围为
.
【考点】函数 y = Asin(①x + φ) 的图象变换
【专题】数学运算；综合法；三角函数的图象与性质；整体思想
【分析】 由已知结合正弦函数的性质先求出 f(x) 的解析式，然后结合正弦函数的性质即可求解θ 的范围． 【解答】解： 由题意，函数 的两个零点，且 ，
则

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①x2 + φ = 2n兀 所以 兀 ， 即 ，
所以 ① = 2 ，
所以 = 2sin 一
又因为将函数 f(x) 的图象向左平移3(兀) 个单位后得到的图象关于 y 轴对称，
所以 为偶函数， 则 兀
又因为 ，
所以兀 ， = 2sin 一
当 时， 一 一 函数有且只有两个最值点， 所以 一 ，
解得 ．
故答案为 ．
【点评】本题主要考查了正弦函数的性质在函数解析式求解中的应用，还考查了正弦函数最值取得条件的 应用，属于中档题．
18 ．（2024•迎江区校级四模）已知函数 直线 与曲线 y = f(x) 的两 个交点 A ， B 如图所示．若 且 f 在区间 上单调递减，则 ① = 2 ； φ = ．

.
【考点】 由 y = Asin(①x + φ) 的部分图象确定其解析式
【专题】三角函数的图象与性质；数学运算；计算题；转化思想；综合法

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根据和 ，可构造方程求得 ① , 并确定为半个周期，根据正弦函数单 调性可构造方程组求得φ .
【解答】解：设 A(x1 ， y1 ) ， B(x2 ， y2 ) ，
由 得 兀 所以 ， 又 | AB |= x2 一 所以兀兀 ，解得： ① = 2 ，
此时 f(x) 的最小正周期 兀 ，
因为 一 在区间 上单调递减， 所以和 分别为 f(x) 单调递减区间的起点和终点， 当 时
所以 兀 所以兀
又 所以兀 ．
综上， ① = 2 ， φ = 一 ．
故答案为：2； 一 ．
【点评】本题主要考查由 y = Asin(①x + φ) 的部分图象确定其解析式，考查运算求解能力，属于中档题．
19．（2024•资阳模拟）已知函数 = sin ①x 一 若存在 x1 ，x2 ∈ [0 ，兀 ] ，使得 f(x1 )f(x2 ) = 一4 ，
则 ① 的最小值为 ．
【答案】 ．
【考点】两角和与差的三角函数
【专题】转化思想；数学运算；三角函数的求值；综合法
【分析】根据两角差的正弦公式得出 = 2sin 然后根据题意即可得出 ①兀 一 3(兀) 开32(兀) ，从而可得
出 ① 的最小值．
= sin ①x 一 因为存在 x1 ， x2 ∈ [0 ， 兀 ] ，使得 f(x1 )f(x2 ) = 一4 ，

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所以开 解得 ①开 ，即 ① 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了两角差的正弦公式，是中档题．
20．（2024•香河县校级模拟）已知函数 一 cos ①x 一1 在区间 (0, π ) 上恰有两个零点，则
① 的取值范围是 【答案】 ．
【考点】两角和与差的三角函数
【专题】综合法；三角函数的求值；数学运算；整体思想
【分析】先根据辅助角公式化简，然后结合 x 的范围及正弦函数的性质即可得解．
解 一 cos①x 一1 = 2sin
则 ， 由 x ∈(0, π ) ，

因为函数 f(x) 在区间 (0, π ) 上恰有两个零点， 所以 一
解得 ，
所以 ① 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了辅助角公式重点考查了正弦函数的性质，属中档题．
四．解答题（共 5 小题）
在 ΔABC 中 ．
（1）求 a ；
（2）求 sin A ；
（3）求 cos(B 一 2A) ．

21
【答案】（1）4； （2） （3） ．
【考点】正弦定理；两角和与差的三角函数；余弦定理
【专题】逻辑推理；数学运算；转化思想；函数的性质及应用；综合法 【分析】（1）设 a = 2k ，则 c = 3k ， k > 0 ，利用余弦定理能求出 a ；
（2） 由同角三角函数关系式，先求出sin B ．再由正弦定理求出sin A ．
（3）利用二倍角公式求出 sin 2A ，再由同角三角函数关系式求出 cos 2A ，利用两角差三角函数能求出
cos(B 一 2A) ．
解： 在 ΔABC 中 ， 设 a = 2k ，则 c = 3k ， k > 0 ，

解得 k = 2 ，
: a = 2k = 4 ；
由 得 一 由正弦定理得 即 ，
解得 ．
是锐角，且 ，

: cos(B 一 2A) = cos Bcos 2A + sin B sin 2A

【点评】本题考查余弦定理、正弦定理、二倍角公式、同角三角函数关系式、两角差三角函数等基础知识， 考查运算求解能力，是中档题．
22 ．（2024•青浦区二模）对于函数 ，其中 一 x ∈ R ．
（1）求函数 y = f(x) 的单调增区间；

22
（2）在锐角三角形 ABC 中，若 求 ΔABC 的面积．

（2） ．
【考点】正弦函数的单调性；三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的性质及其运算 【专题】转化法；转化思想；数学运算；三角函数的求值
【分析】（1）先对 f(x) 恒等变换，再结合正弦函数的性质，即可求解；
（2）根据已知条件，先求出 ，再结合平面向量的数量积运算，以及三角形的面积公式，即可求解． 解 一

故函数 f(x) 的单调增区间是
（2）
则 ， 在锐角三角形 ABC 中， 则 ，
故 即 所以 ，
又 A(-)- . A(-)- =| A(-)- | . 所以
故 ΔABC 的面积
【点评】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．
23 ．（2024•抚州模拟） 已知函数 f(x) = Asin(①x + φ)(A > 0 ， ① > 0 ， 一 函数 f 和它的导函 数 f (x) 的图象如图所示．
（1）求函数 f(x) 的解析式；
已知 求 f 的值．

23

【考点】 由 y = Asin(①x + φ) 的部分图象确定其解析式
【专题】数学运算；转化思想；三角函数的图象与性质；综合法
【分析】（1） 由图可得， A = 2 ， A① = 4 ， f(x) 的图象过点 可得兀 ， k ∈ Z ，进而可 得结论；
（2） 由（1）及题意得 结合二倍角公式 求解即可．
【解答】解：（1）函数 f(x) = Asin(①x + φ) ， f’(x) = A① sin(①x + φ) ， 由图可得， A = 2 ， A① = 4 ，
又 ① > 0 ，所以 ① = 2 ， f(x) = 2sin(2x + φ) ， 因为 f(x) 的图象过点 0) ，
所以 兀 ， k ∈ Z ，即 φ = 一 兀 ， k ∈ Z ， 因为 一 所以φ = 一 ，
所以 = 2sin
由 及 得 ，

【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查二倍角公式，属于中档题．
24 ．（2024•东城区模拟） 已知函数 的部分图象如图所示．
( Ⅰ ) 求 ① 的值；
( Ⅱ ) 从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x) 存在，并求函数 f(x) 在上的最大值和最小 值．
条件①：函数是奇函数；

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条件②：将函数 f(x) 的图象向右平移兀 个单位长度后得到 y = sin ①x 的图象；
条件 ．

【答案】( Ⅰ ) ① = 2 ．
( Ⅱ ) 最大值为 1 ，最小值为 ．
【考点】函数 y = As