2025年高考数学解密之直线与方程.docx

2025 年高考数学解密之直线与方程
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•盐湖区一模）直线 l1 : mx — y + 3m = 0 与直线l2 : x + my — 3 = 0 相交于点 P(x0 ，y0 ) ，则 的取 值范围是 ( )
A ． B ．
C ． D ．
2 ．（2024•永寿县校级模拟） 已知直线 l1 : 2x — ay + 1 = 0 ， l2 : (a —1)x — y + a = 0 ，则“ a = 2 ”是“ l1 / /l2 ” 的 ( )
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
3 ．（2024•贵州模拟） 已知直线 l 倾斜角的余弦值为 ，且经过点 (2, 1) ，则直线 l 的方程为 ( )
A ． 2x + y — 5 = 0 B ． 2x — y — 3 = 0 C ． x — 2y = 0 D ． x + 2y — 4 = 0
4 ．（2024•开福区校级模拟）“ ”是“直线 x + 2ay —1 = 0 与直线 (3a —1)x — ay —1 = 0 平行 ”的 ( )
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
5 ．（2024•重庆模拟）已知 a > 0 ，b > 0 ，两直线l1 : (a —1)x + y —1 = 0 ，l2 : x + 2by + 1 = 0 且 l1 丄 l2 ，则 的最小值为 ( )
A ．2 B ．4 C ． 8 D ．9
6 ．（2024•海南模拟） 已知直线 l : 2x + 3y —1 = 0 的倾斜角为 θ , 则 )
A ． B ． C ． D ．
7 ．（2024•江苏模拟）莱莫恩 (Lemoine) 定理指出：过 ΔABC 的三个顶点 A ， B ， C 作它的外接圆的切线， 分别和BC ， CA ， AB 所在直线交于点P ， Q ， R ，则 P ， Q ， R 三点在同一条直线上，这条直线被称 为三角形的Lemoine 线．在平面直角坐标系 xOy 中，若三角形的三个顶点坐标分别为 (0, 1) ，(2, 0) ，(0, —4) ， 则该三角形的 Lemoine 线的方程为 ( )
A ． 2x — 3y — 2 = 0 B ． 2x + 3y — 8 = 0 C ． 3x + 2y — 22 = 0 D ． 2x — 3y — 32 = 0
8 ．（2024•东湖区校级一模）设直线 l : x + y —1 = 0 ，一束光线从原点 O 出发沿射线 y = kx(x开0) 向直线l 射 出，经l 反射后与 x 轴交于点M ，再次经x 轴反射后与 y 轴交于点N ．若 则k 的值为 ( )

1
A ． B ． C ． D ．2
9．（2024•威宁县校级模拟）直线 l1 : (3a + 1)x + 2ay 一1 = 0 和直线l2 : ax 一 3y + 3 = 0 ，则“ 是“ l1 丄 l2 ” 的 ( )
A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
10 ．（2024•大通县二模）已知直线mx + 2y + m + 2 = 0 与直线 4x +(m + 2)y + 2m + 4 = 0 平行，则 m 的值为 ( )
A ．4 B ． 一4 C ．2 或 一4 D ． 一2 或 4
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•浙江一模） 已知正方形 ABCD 在平面直角坐标系 xOy 中，且 AC : 2x 一 y +1 = 0 ，则直线 AB 的 方程可能为 ( )
A ． x + 3y + 1 = 0 B ． x 一 3y + 1 = 0 C ． 3x + y +1 = 0 D ． 3x 一 y + 1 = 0
12．（2024•辽宁一模）设直线系M : x cosm θ + y sinn θ = 1（其中 θ , m ，n 均为参数，0 .θ .2π , m ，n ∈ {1， 2}) ，则下列命题中是真命题的是 ( )
A ．当 m = 1 ， n = 1 时，存在一个圆与直线系M 中所有直线都相切
B ．存在 m ， n ，使直线系M 中所有直线恒过定点，且不过第三象限
C ．当 m = n 时，坐标原点 O 到直线系M 中所有直线的距离最大值为 1 ，最小值为
D ．当 m = 2 ， n = 1时，若存在一点 A(a, 0) ，使其到直线系M 中所有直线的距离不小于 1 ，则 a .0
13 ．（2024•香河县校级模拟） 已知直线 l 经过点 (2, 3) ，且点 A(一3, 2) ， B(5, 一4) 到直线l 的距离相等，则直 线l 的方程可能为 ( )
A ． 4x 一 y 一 5 = 0 B ． 4x + y 一11 = 0 C ． 3x + 4y 一18 = 0 D ． 3x 一 4y + 6 = 0
14 ．（2024•回忆版）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线 C 的一部分，已知 C 过坐标原 点 O ，且 C 上的点满足横坐标大于 一2 ，到点 F (2, 0) 的距离与到定直线 x = a(a < 0) 的距离之积为 4 ，则 ( )

A ． a = 一2

2
B ．点 (2·、 ， 0) 在 C 上
C ． C 在第一象限的纵坐标的最大值为 1
D ．当点 (x0 ， y0 ) 在 C 上时，
15 ．（2024•辽宁模拟）对平面直角坐标系 xOy 中的两组点，如果存在一条直线 ax +by + c = 0 使这两组点分
别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线 ”．对于一条分类直线l ，记所有的点到l 的距离的最小值 为 dl ，约定： dl 越大，分类直线l 的分类效果越好．某学校高三（2）班的 7 位同学在 2020 年期间网购文 具的费用 x （单位：百元）和网购图书的费用y （单位：百元）的情况如图所示，现将 P1 ，P2 ，P3 和P4 为 第 Ⅰ组点．将 Q1 ， Q2 和 Q3 归为第Ⅱ点．在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为 L ．给出下列四个结论：

①直线 x = 2.5 比直线 3x 一 y 一 5 = 0 的分类效果好；
②分类直线L 的斜率为2；
③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为 300 元，则小明的这两项网购花销的费用所对应 的点与第Ⅱ组点位于L 的同侧；
④如果从第 1 组点中去掉点 P1 ，第Ⅱ组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是L ．
其中所有正确结论的序号是 ( )
A ．① B ．② C ．③ D ．④
三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024•九江二模）欧拉于 1765 年在他的著作《三角形的几何学》 中首次提出定理：三角形的重心、 垂心和外心共线 ，这条线称之为三角形的欧拉线 ． 已知 A(0, 2) ， B(4, 2) ， C(a, 一1) ，且 ΔABC 为圆 x2 + y2 + Ex + Fy = 0 内接三角形，则 ΔABC 的欧拉线方程为 ．
17 ．（2024•未央区校级模拟）经过点 (1, 3) ，且在 x 轴和 y 轴上的截距相等的直线方程是 ．
18 ．（2024•济南二模）过直线 x + y + 1 = 0 和 3x 一 y 一 3 = 0 的交点，倾斜角为 45o 的直线方程为 ．
19 ．（2024•铜川一模）2023 年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞

3
诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一 部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河 ”．诗中隐含 着一个有趣的数学问题一“将军饮马 ”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回 军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是 A(2, 4) ，军营所在位置为 B(6, 2) ， 河岸线所在直线的方程为 x + y 一 3 = 0 ，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营 ( “将军饮马 ” ) 的总 路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为 ．
20 ．（2024•江苏模拟）已知 A(一1, 0) ，B(一4, 0) ，| PB |= 2 | PA | ，若平面内满足到直线l : 3x + 4y + m = 0 的距 离为 1 的点 P 有且只有 3 个，则实数 m = ．
四．解答题（共 5 小题）
21 ．（2024•合肥模拟）在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一，对平面直角坐标系中两个点
和 记 称 为点 P 与点 B 之间的“ t 一 距 离 ”，其中max{p ， q}表示 P ， q 中较大者．
（1）计算点 P(1, 2) 和点 Q(2, 4) 之间的“ t 一 距离 ”；
（2）设 P0 (x0 ，y0 ) 是平面中一定点，r > 0 ．我们把平面上到点 P0 的“ t 一 距离 ”为 r 的所有点构成的集合 叫做以点 P0 为圆心， 以 r 为半径的“ t 一 圆 ”，求以原点 O 为圆心， 以 为半径的“ t 一 圆 ”的面积；
（3）证明：对任意点 P1 (x1 ， y1 ) ， P2 (x2 ， y2 ) ， P3 (x3 ， y3 ) ， | P1P3 |t .| P1P2 |t + | P2 P3 |t ．

22 ．（2024•兰州模拟）定义：如果在平面直角坐标系中，点 A ，B 的坐标分别为 (x1 ，y1 ) ， (x2 ， y2 ) ，那 么称 d (A, B) =| x1 一 x2 | + | y1 一 y2 | 为 A ， B 两点间的曼哈顿距离．

（1） 已知点 N1 ， N2 分别在直线 x 一 2y = 0 ， 2x 一 y = 0 上，点M (0, 2) 与点 N1 ， N2 的曼哈顿距离分别为 d(M , N1 ) ， d (M , N2 ) ，求 d(M , N1 ) 和 d (M , N2 ) 的最小值；
（2）已知点 N 是直线 x +k2y + 2k +1 = 0(k > 0) 上的动点，点M (0, 2) 与点 N 的曼哈顿距离 d (M , N) 的最小 值记为 f(k) ，求 f(k) 的最大值；
（3）已知点M (ek ， kek ) ，点 N(m ，n)(k ， m ， n ∈ R ， e 是自然对数的底），当k .1 时， d (M , N) 的最大 值为 f(m, n) ，求 f(m, n) 的最小值．
23 ．（2024•湖北模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，定义 A(x1 ， y1 ) ， B(x2 ， y2 ) 两点间的“直角距离 ”为

P(A, B) =| x1 一 x2 | + | y1 一 y2 | ．
( Ⅰ ) 填空：（直接写出结论）

4
①若 A(1, —1) ， B(2, 3) ，则 P(A ，B）＝_____；
②到坐标原点的“直角距离 ”等于 1 的动点的轨迹方程是_____；
③记到M (—1, 0) ，N(1, 0) 两点的“直角距离 ”之和为 4 的动点的轨迹为曲线 G ，则曲线 G 所围成的封闭图 形的面积的值为_____；
( Ⅱ ) 设点 A(1, 0) ，点B 是直线 上的动点，求 P(A, B) 的最小值及取得最小值时点B 的坐 标；
(Ⅲ) 对平面上给定的两个不同的点 A(x1 ， y1 ) ， B(x2 ， y2 ) ，是否存在点 C(x, y) ，同时满足下列两个条 件：
① P(A ， C) + P(C ， B) = P(A ， B) ；
② P(A ， C) = P(C ， B) ．
若存在，求出所有符合条件的点的集合；若不存在，请说明理由．
24 ．（2023•宝鸡三模） 已知点 P(x, y) 在曲线 x2 + y2 = 1上．
（1）求动点M (x + y, xy) 的轨迹 C 的参数方程，并化为直角坐标方程；
（2）过原点的直线l 与（1）中的曲线 C 交于 A ， B 两点，且 求直线l 的斜率．
25．（2023•固镇县三模）如图，在平行四边形 OABC 中，点 O 是原点，点 A 和点 C 的坐标分别是 (3, 0) 、(1, 3) ， 点D 是线段 AB 上的动点．
（1）求 AB 所在直线的一般式方程；
（2）当D 在线段 AB 上运动时，求线段 CD 的中点M 的轨迹方程．

5
2025 年高考数学解密之直线与方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•盐湖区一模）直线 l1 : mx — y + 3m = 0 与直线l2 : x + my — 3 = 0 相交于点 P(x0 ，y0 ) ，则 的取 值范围是 ( )
A ． B ．
C ． D ． 【答案】 B
【考点】直线的斜率
【专题】直线与圆；数学运算；转化思想；计算题；综合法
【分析】求出直线 l1 、 l2 所过定点的坐标，分析可知l1 丄 l2 ，即 PA 丄 PB ，然后求出点P 的轨迹方程，设 , 根据直线 kx — y — 5k = 0 与曲线 x2 + y2 = 9(x ≠ —3) 有公共点，利用直线与圆的位置关系列出关 于 k 的不等式，解之即可得到本题的答案．
【解答】解：直线 l1 的方程可化为 m(x + 3) — y = 0 ，可知直线l1 经过 x + 3 = 0 与 y = 0 的交点 A(—3, 0)
同理可得直线 l2 经过 x — 3 = 0 与y = 0 的交点 B(3, 0) ， 因为 m × 1 + (—1)× m = 0 ，所以l1 丄 l2 ，即 PA 丄 PB ，
因为 AP = (x0 + 3, y0 ) ， BP = (x0 — 3, y0 ) ，
---→ --

---→ --
所以 AP . BP = x0(2) — 9 + y0(2) = 0 ，整理 x0(2) + y0(2) = 9 ，
当 x0 = —3 ， y0 = 0 ，点 (—3, 0) 不在直线 l2 上，所以点P 的轨迹是曲线 x2 + y2 = 9(x ≠ —3) ， 设 ，可得 kx0 — y0 — 5k = 0 ，
由题意得直线 kx — y — 5k = 0 与曲线 x2 + y2 = 9(x ≠ —3) 有公共点，
曲线 x2 + y2 = 9 是圆心为原点，半径为 3 的圆，所以 解得 ，
当 x0 = —3 ， y0 = 0 时 当 x0 = 3 ， y0 = 0 时 所以 的取值范围是 ． 故选： B ．
【点评】本题主要考查直线的方程及其性质、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，属于中 档题．

6
2 ．（2024•永寿县校级模拟） 已知直线 l1 : 2x - ay + 1 = 0 ， l2 : (a -1)x - y + a = 0 ，则“ a = 2 ”是“ l1 / /l2 ” 的 ( )
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】 C
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；充分条件与必要条件 【专题】转化思想；综合法；数学运算；直线与圆
【分析】 a = 2 时可以推出两条直线平行，两条直线平行时，可得 a 的值，判断出“ a = 2 ”是“ l1 / /l2 ”的 充要条件．
【解答】解：a = 2 时，直线 l1 : 2x - 2y + 1 = 0 ，l2 : x - y + 2 = 0 ，可得两条直线的斜率相同，在y 轴的截距 不同，所以两条直线平行，
即此时“ a = 2 ”是“ l1 / /l2 ”的充分条件；
l1 / /l2 时，则 整理可得 ，解得 a = 2 ，此时 a = 2 ”是“ l1 / /l2 ”的必要条件， 综上所述：“a = 2 ”是“ l1 / /l2 ”的充要条件．
故选： C ．
【点评】本题考查充要条件的证法，属于基础题．
3 ．（2024•贵州模拟） 已知直线 l 倾斜角的余弦值为 ，且经过点 (2, 1) ，则直线 l 的方程为 ( )
A ． 2x + y - 5 = 0 B ． 2x - y - 3 = 0 C ． x - 2y = 0 D ． x + 2y - 4 = 0 【答案】 A
【考点】直线的点斜式方程
【专题】转化思想；逻辑推理；直线与圆；综合法；计算题；数学运算 【分析】首先求出直线的斜率，进一步利用点斜式求出直线的方程．
【解答】解：已知直线 l 倾斜角的余弦值为 即 故 ， 所以 ，
由于直线经过点 (2, 1) ，
故直线的方程为 y -1= -2(x - 2) ，整理得 2x + y - 5 = 0 ．
故选： A ．

7
【点评】本题考查的知识点：直线的方程的求法，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
4 ．（2024•开福区校级模拟） ”是“直线 x + 2ay -1 = 0 与直线 (3a -1)x - ay -1 = 0 平行 ”的 ( )
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】 A
【考点】充分条件与必要条件；直线的一般式方程与直线的平行关系 【专题】对应思想；综合法；简易逻辑
【分析】根据两直线平行时，两直线的方向向量共线，且在x 轴上的截距不相等，解方程求 a 的值，根据 集合的包含关系判断即可．
【解答】解： 由1. (-a) - 2a(3a -1) = 0 ，且1. (-1) - (3a -1) . (-1) ≠ 0 ， 解得 a = 0 或 ，
故 是直线 x + 2ay -1 = 0 与直线 (3a -1)x - ay -1 = 0 平行充分不必要条件， 故选： A ．
【点评】本题考查两直线平行的性质，考查充分必要条件，是一道基础题．
5 ．（2024•重庆模拟）已知 a > 0 ，b > 0 ，两直线l1 : (a -1)x + y -1 = 0 ，l2 : x + 2by + 1 = 0 且 l1 丄 l2 ，则 的最小值为 ( )
A ．2 B ．4 C ． 8 D ．9
【答案】 C
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；直线与圆；数据分析
【分析】 由题意利用两条直线垂直的性质，求得 a + 2b = 1 ，再利用基本不等式的，求得 的最小值． 【解答】解： : a > 0 ， b > 0 ，两直线 l1 : (a -1)x + y -1 = 0 ， l2 : x + 2by + 1 = 0 ，且 l1 丄 l2 ，
+ 2b = 0 ，即 当且仅当 时，等号成立．
则 的最小值为 8， 故选： C ．
【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，基本不等式的应用，属于基础题．
6 ．（2024•海南模拟） 已知直线 l : 2x + 3y -1 = 0 的倾斜角为 θ , 则 )
A ． B ． C ． D ．

8
【答案】 B
【考点】直线的倾斜角
【专题】综合法；三角函数的求值；转化思想；计算题；数学运算；直线与圆
【分析】根据题意先求得tanθ = 一 ，然后根据同角三角函数的基本关系式与诱导公式，算出所求式子的 值．
【解答】解：根据题意，直线 l : 2x + 3y 一1 = 0 的斜率k = tanθ = 一 ， ， 则 解得 或 （舍) ，
所以 = 一cos2 θ = 一 故选： B ．
【点评】本题主要考查直线的斜率与倾斜角、同角三角函数的基本关系与诱导公式等知识，属于中档题．
7 ．（2024•江苏模拟）莱莫恩 (Lemoine) 定理指出：过 ΔABC 的三个顶点 A ， B ， C 作它的外接圆的切线， 分别和BC ， CA ， AB 所在直线交于点P ， Q ， R ，则 P ， Q ， R 三点在同一条直线上，这条直线被称 为三角形的Lemoine 线．在平面直角坐标系 xOy 中，若三角形的三个顶点坐标分别为 (0, 1) ，(2, 0) ，(0, 一4) ， 则该三角形的 Lemoine 线的方程为 ( )
A ． 2x 一 3y 一 2 = 0 B ． 2x + 3y 一 8 = 0 C ． 3x + 2y 一 22 = 0 D ． 2x 一 3y 一 32 = 0 【答案】 B
【考点】待定系数法求直线方程
【专题】综合法；计算题；直线与圆；数学运算；转化思想
【分析】根据题意设 A(0, 1) ， B(2, 0) ， C(0, 一4) ，求出ΔABC 的外接圆方程，然后求出过 A 点的切线与直 线 BC 的交点P ，以及过 C 点的切线与直线 AB 的交点R ，根据直线方程的两点式，算出ΔABC 的Lemoine 线的方程．
【解答】解：设 A(0, 1) ， B(2, 0) ， C(0, 一4) ，
则 A(-)- = (2, 一1) ， B-- = (一2, 一4) ，可得 A(-)- . B-- = 2 × 一2 + (一1) × (一4) = 0 ，所以 上ABC = 90。．
因此， ΔABC 的外接圆是以 AC 为直径的圆，圆心为 AC 的中点 半径 ．
所以ΔABC 的外接圆方程为 ，

9

求得直线 与过 A 点的切线 y = 1 交于点 直线 与过 B 点的切线 y = -4 交于点 R(10, -4) ，
直线 PR 的方程为 即 2x + 3y - 8 = 0 ．
故选： B ．
【点评】本题主要考查三角形外接圆方程的求法、直线的方程及其应用、直线与圆的位置关系等知识，考 查了计算能力、图形的理解能力，属于中档题．
8 ．（2024•东湖区校级一模）设直线 l : x + y -1 = 0 ，一束光线从原点 O 出发沿射线 y = kx(x开0) 向直线l 射 出，经l 反射后与 x 轴交于点M ，再次经x 轴反射后与 y 轴交于点N ．若 则k 的值为 ( )
A ． B ． C ． D ．2
【答案】 B
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【专题】数学运算；计算题；转化思想；综合法；直线与圆
【分析】求出入射点P 的坐标关于 k 的表达式，根据 A 、 P 、 M 三点共线解出点M 的坐标关于 k 的表达 式，同理求出点N 的坐标关于 k 的表达式，然后利用两点间的距离公式列式解出 k 的值，即可得到本题的 答案．
【解答】解：根据题意得原点 O 关于直线 l : x + y -1 = 0 的对称点为 A(1, 1) ，

10

一束光线从原点 O 出发沿射线y = kx(x开0) 向直线l 射出，经l 反射后与 x 轴交于点M ， 根据 解得 可知入射点
由点 A 、 P 、 M 三点共线，解得M (1-k, 0) ． 设 P 关于 x 轴的对称点为 ，
光线再次经 x 轴反射后与 y 轴交于点 N ．则P, 、 M 、 N 三点共线，
设 N(0, b) ，则 解得 即 ，
所以 解得 不符合题意，舍去）．
故选： B ．
【点评】本题主要考查直线的方程及其应用、轴对称的性质、两条直线的交点求法等知识，考查了计算能 力、图形的理解能力，属于中档题．
9．（2024•威宁县校级模拟）直线 l1 : (3a + 1)x + 2ay -1 = 0 和直线l2 : ax - 3y + 3 = 0 ，则“ 是“ l1 丄 l2 ” 的 ( )
A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】 B
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【专题】综合法；数学运算；解题思想；直线与圆
【分析】 由题意先求出 l1 丄 l2 时的 a 的值，然后根据充分不必要条件的定义判断即可．
【解答】解： 由题设 l1 丄 l2 ，可得 a × (3a + 1)+ 2a × (-3) = 0 ，解得 a = 0 或 ．

11
所以 ”是“ l1 丄 l2 ”的充分不必要条件．
故选： B ．
【点评】本题考查了充要条件的判断，两直线的位置关系，是基础题．
10 ．（2024•大通县二模）已知直线mx + 2y + m + 2 = 0 与直线 4x +(m + 2)y + 2m + 4 = 0 平行，则 m 的值为 ( )
A ．4 B ． -4 C ．2 或 -4 D ． -2 或 4
【答案】 B
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【专题】直线与圆；转化思想；综合法；数学运算；计算题
【分析】根据两条直线平行建立关于 m 的方程，求出 m 的值并加以检验，即可得到本题的答案．
【解答】解：因为直线mx + 2y + m + 2 = 0 与直线 4x +(m + 2)y + 2m + 4 = 0 平行， 所以 m(m + 2) = 2 × 4 ，解得 m = 2 或 m = -4 ，
当 m = 2 时，直线 2x + 2y + 4 = 0 与直线 4x + 4y + 8 = 0 重合，不符合题意；
当 m = -4 时，直线 -4x + 2y - 2 = 0 与直线 4x - 2y - 4 = 0 平行．
故选： B ．
【点评】本题主要考查直线的方程、两条直线平行与方程的关系等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力， 属于基础题．
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•浙江一模） 已知正方形 ABCD 在平面直角坐标系 xOy 中，且 AC : 2x - y +1 = 0 ，则直线 AB 的 方程可能为 ( )
A ． x + 3y + 1 = 0 B ． x - 3y + 1 = 0 C ． 3x + y +1 = 0 D ． 3x - y + 1 = 0 【答案】 BC
【考点】直线的一般式方程与直线的性质
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算 【分析】直接利用直线的夹角公式求出结果．
【解答】解：直线 AC : 2x - y +1 = 0 ，整理得 y = 2x + 1 ，由于直线 AC 的斜率为 k = 2 ， 设直线 AB 的斜率 k1 ，
利用直线的夹角公式 解得 或 -3 ；
故满足条件的直线方程只有 BC ， AD 错误．
故选： BC ．

12
【点评】本题考查的知识点：直线的方程，夹角公式，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
12．（2024•辽宁一模）设直线系M : x cosm θ + y sinn θ = 1（其中 θ , m ，n 均为参数，0 .θ .2π , m ，n ∈ {1， 2}) ，则下列命题中是真命题的是 ( )
A ．当 m = 1 ， n = 1 时，存在一个圆与直线系M 中所有直线都相切
B ．存在 m ， n ，使直线系M 中所有直线恒过定点，且不过第三象限
C ．当 m = n 时，坐标原点 O 到直线系M 中所有直线的距离最大值为 1 ，最小值为
D ．当 m = 2 ， n = 1 时，若存在一点 A(a, 0) ，使其到直线系M 中所有直线的距离不小于 1 ，则 a .0 【答案】 ABD
【考点】点到直线的距离公式；恒过定点的直线
【专题】数学运算；综合法；直线与圆；转化思想；计算题；逻辑推理
【分析】直接利用点到直线的距离公式和直线的位置以及恒成立问题的应用判断 A 、 B 、 C 、 D 的结论． 【 解答 】 解 ： 对 于 A ， 当 m = 1 ， n = 1 时 ， 直 线 系 方程 为 x cosθ+ y sinθ = 1 ， 原 点 到 直 线 的距 离
此时圆 x2 + y2 = 1与直线系M 中所有直线都相切，故 A 正确；
对于 B ，当 m = n = 2 时，直线系方程为 x cos2 θ + y sin2 θ = 1，直线经过定点 (1, 1) ，当 θ ≠ 0 ，θ ≠ π , θ ≠ 2π 时，直线方程化为 ，显然不过第三象限，当θ = 0 或 π 或 2π , 直线 x = 1 ，也不过第三 象限，
所以直线不过第三象限，故 B 正确；
对 于 C ， 当 m = n = 1 时 ， 直 线 系 M 为 x cosθ+ y sinθ = 1 ， 原 点 到 直 线 系 M 中 所 有 直 线 的 距 离 当 m = n = 2 时 ， 则直线 系 M 为 x cos2 θ + y sin2 θ = 1 ， 则 原 点 到直线 的距 离
故 C 错误；
对于 D ，当 m = 2 ， n = 1 时，直线系M 为 x cos2 θ + y sinθ = 1 ，设 cos2 θ = m∈[0 ， 1] ， 故点 A(a, 0) ，则点 A 到直线系M 中所有直线的距离 设 g(m) = (a2 —1)m — 2a +1开0 ，
故 解得 .0 ，故 a .0 ，故D 正确 故选： ABD ．

13
【点评】本题考查的知识点：点到直线的距离公式的应用，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力， 属于中档题．
13 ．（2024•香河县校级模拟） 已知直线 l 经过点 (2, 3) ，且点 A(-3, 2) ， B(5, -4) 到直线l 的距离相等，则直 线l 的方程可能为 ( )
A ． 4x - y - 5 = 0 B ． 4x + y -11 = 0 C ． 3x + 4y -18 = 0 D ． 3x - 4y + 6 = 0 【答案】 AC
【考点】点到直线的距离公式
【专题】直线与圆；方程思想；数学运算；综合法
【分析】分别讨论直线 l 的斜率不存在和存在，结合点到直线的距离公式，解方程可得所求方程．
【解答】解：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为 x = 2 ，
A 到直线 l 的距离为 5 ， B 到直线l 的距离为 3 ，显然不满足题意；
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y - 3 = k (x - 2) ，即 kx -y + 3 - 2k = 0 ， 由已知得
所以 k = 4 或 ，
所以直线 l 的方程为 4x - y - 5 = 0 或 3x + 4y -18 = 0 ．
故选： AC ．
【点评】本题考查直线方程，以及点到直线的距离公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
14 ．（2024•回忆版）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线 C 的一部分，已知 C 过坐标原 点 O ，且 C 上的点满足横坐标大于 -2 ，到点 F (2, 0) 的距离与到定直线 x = a(a < 0) 的距离之积为 4 ，则 ( )

A ． a = -2
在 C 上
C ． C 在第一象限的纵坐标的最大值为 1
D ．当点 (x0 ， y0 ) 在 C 上时， 【答案】 ABD

14
【考点】点到直线的距离公式
【专题】综合法；转化思想；计算题；数学运算；直线与圆 【分析】结合题中新定义的曲线的性质对选项一一判断即可．
【解答】解：A 对，因为 O 在曲线上，所以 O 到x = a 的距离为 -a ，而 OF = 2 ，所以有 -a . 2 = 4 ，a = -2 ， 那么曲线的方程为
B 对，因为代入知满足方程；
C 错 ， 因 为 求 导得 那 么有 f （ 2 ） = 1 ，
于是在 x =2 的左侧必存在一小区间 (2