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微积分习题集带参考答案综合练习题1（函数、极限与连续部分）1. 填空题(1)函数 f(x)*的定义域是.答案:x 2 且x 3.(2)函数 f (x)lnX 2）淫x2的定义域是.答案:(2, 1)( 1,2(3) 函数 f(x 2) x2 4x 7 ,则 f (x) .答案：f (x) x2 3. 3 一 .xsi1x0一一(4) 若函数f(x)xsinx 10在x 0处连续，则k .答案：k 1(5)函数 f (x 1)x22x,则 f (x).答案：f (x) x2 1x2 2x 3一函数yr的间断点是答案：x 1limxsin1 xxsin4x (8)若1 二 x o sinkx2.单项选择题(7).答案：12 ,则k .答案：k（1）设函数yx2ex,则该函数是（).A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）.A. xsinxB.e xex2C. 1n& 1 x2)D. x x2).D. x 5 且 x 4答案：Cx(3) 函数y -1nx 5)的定义域为(x 4A. x 5 B. x 4 C. x 5 且 xO 答案：D(4 )设 f (x 1) x2 1,则 f (x)()A. x (x 1)B. x2C. x (x 2)D. (x 2) X 1)答案：C(5)当 k时，函数f(x)ek2。处连续.A. 0B.c. 2D.(6)当k()时，函数f (x)x2k,1, x 0x 0A. 0B.1c. 2D.1答案：B(7)函数f(x)x 3,x2 3x 2的间断点是()A. x 1, x2B.x 3C. x 1,x2, x3D.无间断点答案：A3.计算题答案：D在,x 0处连续.(1)x2 limx 23xx24解:x2 3x 2 lim x 2x24lim(x 2)x 1)x 2 (x 2) x 2)x 1 limx 2 x 2(2)limx 3x29x22x 3解：x29lim X 3 x2 2x 3lim(x 3)(x 3)x 3 (x 3) x 1)lim Jx 3 x 1(3)x26x 8limx 4 x2 5x 4解：x2 6x 8 limx 4 x2 5x 4lim(x 2)x 4 (x 4) x 1)lim-2x 4 x 1综合练习题2 (导数与微分部分)1.填空题(1)曲线f (x)*x 1在1,2)点的切斜率是. 1答案：2Li(2)曲线f (x)ex在(0,1)点的切线方程是答案：y答案：f (x)3x23x ln3f (3) =27 ( 1 ln3)(4)已知 f (x)lnx，则 f(x) =答案：f (x)1, f (x) = xx2(5)若 f(x)xe x,则 f (0)答案：f (x)2e x xe xf (0)22.单项选择题(1)若 f(x)e x cosx，则f(0)=(A. 2B. 1C.f (x)已知(3)x3-1因 f (x)(e(e x) cosxxx cosx)3x,则 f (3) =).D. -2e x (cosx)cosx esinx(cosxsinx)所以f (0)e o (cos0sin0)答案：C(2)设，则).A.B.C.D.答案：B(3)设 yf (x)是可微函数，则df(cos2x)().A. 2 f (cos2x)dxB. f (cos2x) sin2xd2xC. 2 f (cos2x) sin2xdxD.f (coS2x) sin2xd2x答案：D(4) 若 f(x) sinx a3,其中 a 是常数，则 f (x)).cosxA. cosx 3a2B. sinx 6a C.sinxd.答案：C 3.计算题1(1) 设 y x2ex，求 y .1 _ 1 1 1 , 解： y 2xex x2ex ( 一) ex (2x 1) x2(2) 设 y sin4x cos3 x,求 y .解：y 4 cos4x 3cos2 x ( sinx)4cos4x 3sinxcos2 x，、一2,(3) 设 y e、x1一，求 y .x解：y(4) 设 y xx Incosx, 求 y .J3 1解：y 5x2(sinx)cosx3 1x2 tanx2综合练习题3(导数应用部分)1.填空题(1) 函数的单调增加区间是答案1,)(2) 函数f (x) ax2 1在区间(0,)内单调增加，则a应满足.答案：a 02. 单项选择题(1)函数y (x 1)2在区间(2,2)是(A.单调增加B.单调减少C.先增后减D.先减后增答案：D(2 )满足方程(x)。的点一定是函数yf(x)的(A.极值点 B.最值点 C.驻点D.间断点答案：C(3)下列结论中f (x)在x x0处连续，则一定在x0处可微.()不正确.A.B.C.f (x)在x x0处不连续，则一定在x0处不可导.可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D.函数的极值点一定发生在不可导点上.答案： B(4)下列函数在指定区间上单调增加的是().A. sinxB. exC. x2D.答案：B容积为108m 3的长方体开容器，怎样做法用3. 应用题(以几何应用为主)(1) 欲做一个底为正方形料最省？解：设底边的边长为xm,高为hm,容器的表面积为ym2。怎样做法所用由已知材料最省即容器如何设计可使表面积最小。x2h 108,h所以X2x21084xh x2 4x x2432X2432令 y 2x x2因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一108是最小值点。故当x 6m , h -3m时用料最省.解得唯一驻点x 6。所以x 6是函数的极小值点也62(2) 用钢板焊接一个容积为4m 3底为正方形的开水箱，已知钢板的费用 为10元/ m2,焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费用最低？最低总 费用是多少？4解：设水箱的底边长为x m，高为h m，表面积为S m2，且有h 一x2所以S (x)x24xhx216S (x)16x2xx2令S (x)0,得x2.因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以当X 2 m , h 1 m时水 箱的表面积最小.此时的费用为 S (2) 10 40 160 (元)(3) 欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开容器，怎样做法 用料最省？解：设底边的边长为xm，高为hm，所用材料(容器的表面积)为ym2。由已知32 x2h 32, h x2所以32128y x2 4xh x2 4x 一 x2x2x令y 2x些0,解得唯一驻点x 4。x2因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以x 4是函数的极小值点也 32、一，一，是最小值点。故当x 4m , h 一 2m时用料最省.42请结合作业和复习指导中的题目进行复习。综合练习题4(一元函数积分部分)1. 填空题(1) 若f(x)的一个原函数为lnx2，则f(x) . 2答案：一x(2) 若 f (x)dx sin2x c,ij f(x).答案：2cos2x(3) 若 cosxdx 答案：sinx c(4) de x2 .答案：e x2 c(5 )(siix) dx .答案：sinx c(6) 若 f (x)dx F (x) c,则 f (2x 3)dx .答案：1F (2x 3) c Li(7) 若 f (x)dx F (x) c,则 xf 1 x2)dx .答案：1F 1 x2) c Li(8) 1 (sinxcos2x x x)dx 21答案：3(9) _! eln&2 1)dx.dx i答案：0(10) 0e2xdx=.1答案：2Li2.单项选择题(1)下列等式成立的是().A. d f (x)dx f (x)B.f (x)dx f(x)C.f (x)dx f(x)dx答案：cD.df(x) f(x)(2)以下等式成立的是()A.Inxdxd d-)xB. sinxdxd (cosx)c.坐 dvTD. 3xdxd3x、,x答案:D(3) xf (x)dx ()ln3A. xf (x) f (x) cB. xf (x) cc. *(x) cD. (x 1) f (x) c答案：A(4 )下列定积分中积分值为0的是().A.B.1 ex e x1dx12C.(x3 cosx)dxD.(x2sinx)dx答案:(5)设f (x)是连续的奇函数，则定积分a f (x)dx ()-aA. 0 B. 0 f (x)dx C. a-a答案：A(6)下列无穷积分收敛的是().f (x)dxD. 2 0 f (x)dxA.sinxdx0B._Ldx标C. |dx答案：D3.计算题D.(1)(2x 1)iodxe 2xdx解：(2x 1)10dx-(2x 21)i0d (2x1)(2x 1)11 22. 1 sin-(2 ) 一 dxx21si111解： dxsln4 cosx2x xxe x - 一 .一 一(3) dx 2 e-xd. x2e xtx(4) ln2ex (4 ex)2dxcc0ln2(4解：ln2ex (4ex)2dx0ex)2d(4ex)e1 5 Inxedx1x)30ln21 (216 125)3303解:e1 5 lnx, edx1xe 1 5 lnx)d 1 5 lnx) 1105 lnx)2e 17上 (36 1)-10211xexdx0解:1xexdx0xe1exdx0e ex(7)2 xsinxdx0解:2 xsinxdx0xcosx2 cosxdx0sinx 2 10综合练习题5 （积分应用部分）1.填空题已知曲线yf（x）在任意点x处切线的斜率为，且曲线过（4,5），则该曲线的方程是答案:y 2 x 1由定积分的几何意义知a 2 x2dx =0答案:a24微分方程yy,y（0）1的特解为答案:微分方程y 3y 。的通解为答案：yce 3x微分方程（y）3 4xy（4） y7 sinx的阶数为答案:2.单项选择题在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为A. y = x2 + 3B. y = x2 + 4).c. y x2 2d. y x2 1答案：A下列微分方程中）是线性微分方程.A. yx2lnyB.y y xy2exC. y xyeyD.y sinxy exy lnx答案：D微分方程y0的通解为（).A. y Cxb. y x Cc. y CD.答案：C下列微分方程中为可分离变量方程的是()dy A, dxx y ；dyB, xy y； dxdyC,xy sinx；dyD, x (y x)dxdx答案：B微积分试题及答案 第二章导数与微分 一、填空题f(3 h) f(3)1、 已知 f (3) 2,则 lm=h o 2hf (x)2、f(0)存在，有 f(0) 0,则 l讪一。3、y x x arctan，则 y I =。lx 1 4、f(x)二阶可导，y fl sinx),则)(； y(。5、 曲线y ex在点 处切线与连接曲线上两点(0,1),1,e)的弦平行。6、y lnarctah(x),则 dy=。7、dyy sm x4，则= dx dydx28、若 f (t)limt1 !)2tx，则 f (t)=。xx9、 曲线yx2 1于点处的切线斜率为2。dy则公10、设 yxex，则 y (0)。11、设函数y y(x)由方程ex y cos xy) 0确定，x 1 t2d 2 y12、设y cost则时二、单项选择11、设曲线y 和y 乂2在它们交点处两切线的夹角为，则tan =()。x(A)1；(B)1;(C)2 ；(D)33、函数 f (x) etaM，且 f () e，则 k ()。(A)1;(B)1;(C)2;(D)2。f 1 x) f 1)4、已知f (x)为可导的偶函数，且lim 2,则曲线y f (x)在(1,2)处x 02x切线的方程是。(A) y 4x 6； (B) y 4x 2； (C) y x 3； (D) y x 1。f 2 (x5、设f(x)可导，则limx) f 2 (x)(A)0 ；(B)2 f(x)；(C)2 f (x)；(D) 2 f(x) f (x)。6、函数f (x)有任意阶导数，且f (x)f(x)2,则f (n) (x)=(A) nf (x)k 1； (B) n!f (x)k 1； (C) (n 1)f(x)k 1； (D) (n 1)!f(x)2。 f (x 2 x) f (x )若 f(x) x2，则 lim-x 0(A) 2x0；(B) x0；设函数f (x)在点七处存在()(A)必要非充分条件；(C)充分必要条件；设 f(x) x (x 1) x7、8、9、(xx(C) 4x ； 0 (x )和 f (x ),(D) 4x。则f (x ) f (x )是导数f (x )存在的 02)99 ；f ( x2)2xf(A ) 99；(B)10、若fU)可导，且y(A) xf ( x2)dx ； (B)11、设函数f (x)连续，且f(0)(B) 充分非必要条件；(D)既非充分又非必要条件。99)则 f (0)(C) 99!；，则有dy (x2)dx ； (C)0，则存在)(D)99!。)(x2)dx； ( d) 2xf (使得2 f0, f(x)在(xx2)dx。(C)对任意的x(0,)有 f (x)f (0) ； (D)对任意的12、设 f(x)x2. 1 sin-xx0在x 0处可导，则(ax bx 0(A) a 1,b0；(B)a 0,b为任意常数；(C) a 0,b三、计算解答0；(C )a 1,b为任意常数。1、计算下列各题e求dy ；(A) f (x)在(0,)内单调增加；(B)(),0)内单调减少;(,0)有 f(x)f(0)。(1)x(2) yr，求却(3)arctaiyd2y dx2(4) y sinxcosx，求 y(50)；(5)(6)(7)J1 x f(x) x (x f (x) (x a) (x),求y ；1) x 2)(x(x)在 x25)，求 f (0)；a处有连续的一阶导数，求f (a)、f d(a)；(8)设f (x)在x 1处有连续的一阶导数，且f 1) 2,求lim： f(co&x 1)。2、, 、 b 1 sinx) a试确定常数a,b之值，使函数f(x)1eax 1x 1 dx2x0处处可导。x 0证明曲线x2 y2 a与xy b ( a,b为常数)在交点处切线相互垂直。一气球从距离观察员5米处离地匀速铅直上升，其速率为140米/分，当此气球上升到 5米空中时，问观察员视角的倾角增加率为多少。5、若函数f (x)对任意实数x ,x有f(x x ) f(x ) f(x )，且f (0) 1，证明121212f (x) f(x)。6、求曲线y x3 3x2 5上过点(1, 3)处的切线方程和法线方程。3、4、一、填空题1、2、f (0)3、lnx4、5、6、7、8、9、第二章f(3 h) f(3) limh 0f(x) lim x 0 xyf 1 sinx) cosxy f 1 sinx)(ln( 1) ,e 1)y(ex)dx10、11、12、导数与微分习题解答2hf(x) lim0f(3 h)f(3)lim一h 0f(0)(2)!f (3) 2(0)xInx1sinx) cos2 xInxf 1 sinx) sinxcosx , y f 1 sinx) cos2 xe 1Clne弦的斜率kex e 1 xarctariL( x) 1 1 x)2dy d arctan ( x)arctan1( x)dxarctan1( x) 1 1 x)2dy dx4x3 sin2x42x2 sin2x41),当 xarctad( x)ln(esinx) sinx1)时，y ed 1 x) x)22 sinx4 cosx44x34x3 sin2x4dydx2dy2xdx2x2 sin2x4e2t 2te2t1,2)ex yf(t)te2tyy (0) ysinxy)limt1 )2txxx2 x ,由 2 x02x2 1在点1,2)处的切线斜率为2exxex, y ex exxexe02eo(t)e2t2te2t1,y012ex y xsinxy)方程两边对x求导得ex y 1y) sinxy)(yxy)解得sint tcost4t3ex y ysinxy)ex y xsinxy) ,/ ,，、dy 由参数式求导公式得dx再对x求导，由复合函数求导法得竺W)dx2dx x、选择题(y )/xtxt1 tcost sint 12t22ty1xtsintsint tcost4t31、选(D)由y x交点为侦，k(-)ii 1， y x23、4、5、6、tan| tan (2)1占11选(C)选(A)f (x)eta世 x1| 3kk1 2k ta压 1 x sec2 x12i f( 1 x) f( 1)limx 0f 1)f 1 x)由 limx 02x1 x) f( 1)( 1) ()2f ( 1)(切线方程为：y 2 4 (x 1)即y4x2x2)Li62 f ( 1) 4选(D) limx) f2 (x)f2 (x)2f(x) f (x)x 0x选(B) f (x) f (x)22 f (x) f (x)2 f3 (x)f (x) 2 f 3 (x)2 3 f 2 (x) f (x) 2 3 f 4 (x)设 f (n) (x)n! f n 1 (x)，则 f (n 1) (x)f (n) (x)n! f n 1 (x)(n 1)!fn (x) f (x)(n 1)!fn 2 (x)7、选(C)limf(x0 2 x) f(x0)x 0xlim2 林02 x)林。)2fx 0(x )0又 f (x)(x2)2x,2 f (x ) 4x8、选(C) f (x)在x处可导的充分必要条件是f (x)在x点的左导数f (x )和右0导数f (x )都存在且相等。 09、选(D)f (x)(x1) x2)(x99)x(x 2) (x 99)x (x 1) x 3) (x99)x(x 1) & 2)(x 98)f (0)(01) 02)(099)( 1)99 99!99!另解：由定义，f (0) lim)lim(x 1) x 2)(x 99)x 0 x 0x 0f ( x2) ( x2)2 f ( x2)(x2)dx0,99 99!10、11、选(B)99! f( dyx2)2xf由导数定义知f (x)f (0)f (0) limx 0 x-,、f(x) f (0)-再由极限的保号性知0,当x (,)时0 ,x从而当 x ( ,0) x (0,)时，f (x)12、由函数f (x)在x 0处可导，知函数在xf (0) 0( 0)，因此C成立，应选C。0处连续lim f (x)limx2si 0, lim f (x)x 0x 0xx 0lim (ax b) b，所以 b 0x 0f (x)f (0)又 f (0) limx 0 x 0所以& 0。应选C。三、计算解答1、计算下列各题dy esin2td (sin1)esin2txd2ydx2(1)(2)dy 3t2 dx T t3t3(3)两边对x求导:2y 3 y(4) ysinxcosx设 y(n)lim09t2-t2y 3 (y 2isin2x 2cos2x sin2x )22n 1 sin2x则 y(n 1)2n cos 2x(7)y(50)249 sin2x. 1x2 sux 0, f (0)x2sin1cos1 (x9t31)limf(x) f(0) ax 0 x 0a，)dx x21 : 2sie x2sin2tdxx1)y3 y22cos 2x -y)2n sin2x (n249 sin2x:lnyxlnx ln1x)1 ylnxln1 x)1y-)x lnxln1x) 1二1 xf(x)lim(x1) xxx 0(x)(x a)(x)f(a)两边求导:2) x(5)两边取对数50 )2(0) limx 0f (x)1 xy ：1 x(6)利用定义：2 sin2x1)23)(x25) 25!(a)(x a)(x)1 - f (x) f (a)1.(x)f (a) lim limx a x ax alim_(x) (a)(a) 2 (a)x a x a注：因(x)在x a处是否二阶可导不知，故只能用定义求。d(8) lim x 1 dx(a)lim fx 12、易知当xf (cos;x 1) lim f (cosx 1) ( sinx x 1(cosx 1) lim jiRX1 f ( ( 2)0时，f (x)均可导，要使f (x)在x 0处可导1) 2x 1f (0) f (0)且f (x)在x 0处连续。即 lim f (x)x 0lim f (x)f (0)x 0lim f (x) bx 0 lim f (x)x 0(0)f (x)(0) limx 0eaxlimx 0a bb 21.1 sinx)lim:0eax 1lim 一0axlim 一 ax 0 x3、证明：设交点坐标为I*)，则4、对 x2y2曲线x2又由x y曲线xy又k1k2x2 0a两边求导：2x 2yy2y2 a在(x0,y0)处切线斜率%b y by 上xx2b在(x ,y )处切线斜率ky0两切线相互垂直。) x20x0y设t分钟后气球上升了 x米tan两边对t求导：sec215dxdt上51405725x20x0-y0d dt5、证明：f (x)limf(x h)f(x)h 0hlimf(x) f(h) f(xh 0h0)7COS225当x 5 m时， 彳, d 7 17,、当x 5 m时，-赤(弧度/分)dt 25 2 50lim f (x)h 0f (h) f(0)hf (x) f (h)f (x) f (0)limh 0hf(x) f (0) f (x)6、解：由于y 3x2 6x,于是所求切线斜率为 k 3x2 6x |3,从而所求切线方程为y 33(x 1)，即3x y 6 011又法线斜率为k 2 k 3所以所求法线方程为y 3 (x 1)，即3y x 8 0