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微积分习题集带参考答案
综合练习题1（函数、极限与连续部分）
1. 填空题
(1)函数 f(x)
*的定义域是
.答案:
x 2 且x 3.
(2)函数 f (x)
lnX 2）淫x2的定义域是
..答案:
(2, 1) ( 1,2]

(3) 函数 f(x 2) x2 4x 7 ,则 f (x) .答案：f (x) x2 3
. 3 一 .
xsi『1x0„一一」
(4) 若函数f(x)xsinx 1'0在x 0处连续，则k .答案：k 1
(5)函数 f (x 1)
x2 2x,则 f (x)
.答案：f (x) x2 1

x2 2x 3一
⑹函数yr^的间断点是•答案：x 1
limxsin1 x x
sin4x (8)若1 ^二 x o sinkx
2.单项选择题
(7)
.答案：1
2 ,则k .答案：k
（1）设函数y
x
~2
ex
,
则该函数是（
).
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既奇又偶函数

答案：B
（2）下列函数中为奇函数是（）.

A. xsinx
B.
e xex
2―
C. 1n& <1 x2)
D. x x2

).
D. x 5 且 x 4

答案：C
x
(3) 函数y ——-1nx 5)的定义域为(
x 4
A. x 5 B. x 4 C. x 5 且 xO 答案：D
(4 )设 f (x 1) x2 1,则 f (x)()

A. x (x 1)
B. x2

C. x (x 2)
D. (x 2) X 1)
答案：C
(5)当 k
时，
函数f(x)
ek'2'
。处连续.
A. 0
B.
c. 2
D.
(6)当k
(
)时，函数f (x)
x2
k,
1, x 0
x 0
A. 0
B.1
c. 2
D.
1
答案：B

(7)函数
f(x)
x 3,
x2 3x 2的间断点是(
)
A. x 1, x
2

B.
x 3
C. x 1,x
2, x
3
D.
无间断点
答案：A
3.计算题

答案：D
在
,
x 0处连续.
(1)
x2 lim—
x 2
3x
x24
解:
x2 3x 2 lim x 2
x24
lim(x 2)x 1)
x 2 (x 2) x 2)
x 1 lim
x 2 x 2
(2)
lim
x 3
x29
x22x 3
解：
x29
lim —
X 3 x2 2x 3
lim(x 3)(x 3)x 3 (x 3) x 1)

lim Jx 3 x 1
(3)
x26x 8
lim
x 4 x2 5x 4
解：
x2 6x 8 lim
x 4 x2 5x 4
lim(x " 2)x 4 (x 4) x 1)
lim^-2x 4 x 1
综合练习题2 (导数与微分部分)

1.填空题
(1)曲线
f (x)
*x 1在1,2)点的切斜率是.
〜 1
答案：2
Li
(2)曲线
f (x)
ex在(0,1)点的切线方程是
答案：y
答案：f (x)
3x23x ln3

f (3) =27 ( 1 ln3)

(4)已知 f (x)
lnx，则 f
(x) =
答案：f (x)
1, f (x) = x
x2
(5)若 f(x)
xe x,则 f (0)
答案：f (x)
2e x xe x

f (0)
2

2.单项选择题

(1)若 f(x)
e x cosx，则
f((0)=(
A. 2
B. 1
C.

f (x)
已知
(3)
x3
-1
因 f (x)
(e
(e x) cosx
x
x cosx)
3x,则 f (3) =
).
D. -2
e x (cosx)
cosx e
sinx
(cosx
sinx)
所以f (0)
e o (cos0
sin0)
答案：C
(2)设
，则
).
A.
B.
C.
D.
答案：B
(3)设 y
f (x)是可微函数，则df(cos2x)
().
A. 2 f (cos2x)dx
B. f (cos2x) sin2xd2x

C. 2 f (cos2x) sin2xdx
D.
f (coS2x) sin2xd2x

答案：D
(4) 若 f(x) sinx a3,其中 a 是常数，则 f (x)().
cosx
A. cosx 3a2B. sinx 6a C.sinxd.
答案：C 3.计算题
1
(1) 设 y x2ex，求 y .
1 _ 1 1 1 , 解： y 2xex x2ex ( 一) ex (2x 1) x2
(2) 设 y sin4x cos3 x,求 y .
解：y 4 cos4x 3cos2 x ( sinx)
4cos4x 3sinxcos2 x
，、一—2,
(3) 设 y e、x1一，求 y .
x
解：y
(4) 设 y x加
B.
单调减少
C.先增后减
D.
先减后增
答案：D
(2 )满足方程
(x)
。的点一定是函数yf(x)的(
A.极值点 B.
最值点 C.驻点D.间断点
答案：C
(3)下列结论中
f (x)在x x0处连续，则一定在x0处可微.
()不正确.
A.
B.
C.
f (x)在x x0处不连续，则一定在x0处不可导.
可导函数的极值点一定发生在其驻点上.
D.函数的极值点一定发生在不可导点上.
答案： B
(4)下列函数在指定区间
上单调增加的是(
).
A. sinx
B. ex
C. x2
D.

答案：B
容积为108m 3的长方体开容器，怎样做法用
3. 应用题(以几何应用为主)
(1) 欲做一个底为正方形
料最省？
解：设底边的边长为xm,高为hm,容器的表面积为ym2。怎样做法所用
由已知
材料最省即容器如何设计可使表面积最小。
x2h 108,h
所以
X2
x2
108
4xh x2 4x ——
x2
432
X2
432
令 y 2x —
x2
因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一
108
是最小值点。故当x 6m , h - 3m时用料最省.
解得唯一驻点x 6。
所以x 6是函数的极小值点也
62

(2) 用钢板焊接一个容积为4m 3底为正方形的开水箱，已知钢板的费用 为10元/ m2,焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费用最低？最低总 费用是多少？
4
解：设水箱的底边长为x m，高为h m，表面积为S m2，且有h 一
x2
所以
S (x)
x2
4xh
x2
16

S (x)

16

x

2x

x2

令
S (x)
0,
得x
2.

因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以当X 2 m , h 1 m时水 箱的表面积最小.
此时的费用为 S (2) 10 40 160 (元)
(3) 欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开容器，怎样做法 用料最省？
解：设底边的边长为xm，高为hm，所用材料(容器的表面积)为ym2。
由已知
32 x2h 32, h ——

x2

所以
32
128
y x2 4xh x2 4x 一 x2

x2
x
令y 2x
些0,解得唯一驻点x 4。
x2

因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以x 4是函数的极小值点也
32、一，一，
是最小值点。故当x 4m , h 一 2m时用料最省.
42
请结合作业和复习指导中的题目进行复习。
综合练习题4(一元函数积分部分)
1. 填空题
(1) 若f(x)的一个原函数为lnx2，则f(x) .
〜 2
答案：一
x
(2) 若 f (x)dx sin2x c,^ij f(x).
答案：2cos2x
(3) 若 cosxdx
答案：sinx c
(4) de x2 .
答案：e x2 c
(5 )(siix) dx .
答案：sinx c
(6) 若 f (x)dx F (x) c,则 f (2x 3)dx .
答案：1F (2x 3) c Li
(7) 若 f (x)dx F (x) c,则 xf 1 x2)dx .
答案：1F 1 x2) c Li
(8) 1 (sinxcos2x x x)dx
〜21
答案：3
(9) _! eln&2 1)dx.
dx i
答案：0
(10) 0e2xdx=.
1
答案：2
Li
2.单项选择题
(1)下列等式成立的是(
).

A. d f (x)dx f (x)
B.
f (x)dx f(x)
C.f (x)dx f(x)
dx
答案：c
D.
df(x) f(x)
(2)以下等式成立的是(
)

A.Inxdxd d-)
x
B. sinxdx
d (cosx)
c.坐 dvT
D. 3xdx
d3x
•、,‘x
答案:D
(3) xf (x)dx ()

ln3
A. xf (x) f (x) c
B. xf (x) c

c. *
(x) c
D. (x 1) f (x) c

答案：A
(4 )下列定积分中积分值为0的是().
A.
B.
1 ex e x
1dx
12
C.
(x3 cosx)dx
D.
(x2sinx)dx
答案:
(5)设f (x)是连续的奇函数，则定积分
a f (x)dx ()
-a
A. 0 B. 0 f (x)dx C. a
-a
答案：A
(6)下列无穷积分收敛的是(
).
f (x)dx
D. 2 0 f (x)dx
A.sinxdx
0
B.
_Ldx
标
C. |dx
答案：D
3.计算题
D.
(1)
(2x 1)iodx
e 2xdx
解：
(2x 1)10dx
-(2x 2
1)i0d (2x
1)
—(2x 1)11 22
. 1 sin-
(2 ) 一 dx
x2
1

si『111
解： dxsln4— cos—
x2x xx
e ‘x <- 一 < .—一 一
(3) ^^dx 2 e-xd\. x2e x
tx
(4) ln2ex (4 ex)2dx

c
c
0
ln2
(4
解：ln2ex (4ex)2dx
0
ex)2d(4
ex)
e1 5 Inx⑸edx
1x
)3
0
ln21 (216 125)
3
303

解:
e1 5 lnx, edx
1x
e 1 5 lnx)d 1 5 lnx) — 1
10
5 lnx)2
e 17
上 (36 1)-
102
1

1xexdx
0
解:
1xexdx
0
xe
1exdx
0
e ex
(7)
2 xsinxdx
0
解:
2 xsinxdx
0
xcosx
2 cosxdx
0
sinx 2 1
0

综合练习题5 （积分应用部分）
1.填空题
⑴已知曲线y
f（x）在任意点x处切线的斜率为^^，且曲线过（4,5），则该曲线的

方程是
答案:
y 2< x 1
⑵由定积分的几何意义知
a 2 x2dx =
0
答案:
a2
4
⑶微分方程y y,y（0）
1的特解为
答案:
⑷微分方程y 3y 。的通解为
答案：y
ce 3x
⑸微分方程（y）3 4xy（4） y7 sinx的阶数为
答案:
2.单项选择题
⑴在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为
A. y = x2 + 3
B. y = x2 + 4
).

c. y x2 2
d. y x2 1

答案：A
⑵下列微分方程中
）是线性微分方程.
A. yx2 lny
B.
y y xy2
ex
C. y xy
ey
D.
y sinx
y ex
y lnx

答案：D
⑶微分方程y
0的通解为（
).
A. y Cx
b. y x C
c. y C
D.

答案：C
⑷下列微分方程中为可分离变量方程的是()
dy A,— dx
x y ；
dy
B,— xy y； dx
dy
C,—
xy sinx；
dy
D, — x (y x)
dx

dx
答案：B

微积分试题及答案 第二章导数与微分 一、填空题
f(3 h) f(3)
1、 已知 f (3) 2,则 lm=
h o 2h
f (x)
2、f(0)存在，有 f(0) 0,则 l讪一。
3、y x x arctan，则 y I =。
lx 1
4、f(x)二阶可导，y fl sinx),则)(； y(。
5、 曲线y ex在点 处切线与连接曲线上两点(0,1),1,e)的弦平行。
6、y ln[arctah(x)],则 dy=。
7、
dy
y sm x4，则—= dx
dy
'dx2

8、若 f (t)limt1 !)2tx，则 f (t)=。
xx
9、 曲线yx2 1于点处的切线斜率为2。
dy
则公
10、设 yxex，则 y (0)。
11、设函数y y(x)由方程ex y cos xy) 0确定，
x 1 t2d 2 y
12、设y cost则时
二、单项选择
1
1、设曲线y —和y 乂2在它们交点处两切线的夹角为，则tan =()。
x
(A)1B)1;(C)2 ；(D)3。
3、函数 f (x) etaM，且 f (—) e，则 k ()。
(A)1;(B)1;(C)2;(D)2。
f 1 x) f 1)
4、已知f (x)为可导的偶函数，且lim 2,则曲线y f (x)在(1,2)处
x 02x
切线的方程是。
(A) y 4x 6； (B) y 4x 2； (C) y x 3； (D) y x 1。

f 2 (x
5、设f(x)可导，则lim
x) f 2 (x)

(A)0 ；(B)2 f(x)；(C)2 f (x)；(D) 2 f(x) f (x)。
6、函数f (x)有任意阶导数且f (x)[f(x)]2,则f (n) (x)=
(A) n[f (x)k 1； (B) n![f (x)k 1； (C) (n 1)[f(x)k 1； (D) (n 1)![f(x)]2。 f (x 2 x) f (x )
若 f(x) x2，则 lim-
x 0
(A) 2x0；(B) x0；
设函数f (x)在点七处存在
()
(A)必要非充分条件；
(C)充分必要条件；
设 f(x) x (x 1) x
7、
8、
9、
(x
x
(C) 4x ； 0 (x )和 f (x ),

(D) 4x。
则f (x ) f (x )是导数f (x )存在的 0
2)
99 ；
f ( x2)
2xf
(A ) 99；(B)
10、若fU)可导，且y
(A) xf ( x2)dx ； (B)
11、设函数f (x)连续，且f'(0)
(B) 充分非必要条件；
(D)既非充分又非必要条件。
99)则 f (0)
(C) 99!；
，则有dy (
(x2)dx ； (C)
0，则存在
)
(D)99!。
)
(x2)dx； ( d) 2xf (
使得
2 f
0, f(x)在(
x
x2)dx。
(C)对任意的x
(0,)有 f (x)
f (0) ； (D)对任意的
12、设 f(x)
x2
. 1 sin-
x
x
0在x 0处可导，则(

ax b
x 0
(A) a 1,b
0
；
(B)
a 0,b为任意常数；
(C) a 0,b
三、计算解答
0
；
(C )
a 1,b为任意常数。
1、计算下列各题

e"
求dy ；
(A) f (x)在(0,)内单调增加；
(B)
()
,0)内单调减少;
(,0)有 f(x)
f(0)。
(1)
x
(2) y
r，求却
(3)
arctaiy
d2y dx2
(4) y sinxcosx，求 y(50)；
(5)
(6)
(7)
J
1 x f(x) x (x f (x) (x a) (x),
求y ；
1) x 2)
(x
(x)在 x
25)，求 f (0)；
a处有连续的一阶导数，求f (a)、f d
(a)；
(8)设f (x)在x 1处有连续的一阶导数，且f 1) 2,求lim： f(co&'x 1)。
2、
, 、 b 1 sinx) a
试确定常数a,b之值，使函数f(x)1
eax 1
x 1 dx
2x0
处处可导。
x 0
证明曲线x2 y2 a与xy b ( a,b为常数)在交点处切线相互垂直。
一气球从距离观察员5米处离地匀速铅直上升，其速率为140米/分，当此气球上升到 5米空中时，问观察员视角的倾角增加率为多少。
5、若函数f (x)对任意实数x ,x有f(x x ) f(x ) f(x )，且f (0) 1，证明
121212
f (x) f(x)。
6、求曲线y x3 3x2 5上过点(1, 3)处的切线方程和法线方程。
3、
4、

一、填空题
1、
2、
f (0)
3、
lnx
4、
5、
6、
7、
8、
9、
第二章
f(3 h) f(3) lim
h 0
f(x) lim—— x 0 x
y
f 1 sinx) cosx
y f 1 sinx)
(ln( 1) ,e 1)
y(ex)
dx
10、
11、
12、
导数与微分习题解答
2h
f(x) lim
0
f(3 h)f(3)
lim一
h 0
f(0)
(2)
!f (3) 2
(0)
x
In
x
1
sinx) cos2 x
Inx
f 1 sinx) sinx
cosx , y f 1 sinx) cos2 xe 1Clne
弦的斜率k
ex e 1 x
arctariL( x) 1 1 x)2]
dy d [arctan ( x)]
arctan1( x)
dx
arctan1( x) [1 1 x)2]
dy dx
4x3 sin2x4
2x2 sin2x4
1),当 x
arctad( x)
ln(e
sinx) sinx
1)时，y e
d 1 x) x)2
2 sinx4 cosx4
4x3
4x3 sin2x4
dy
dx2
dy2xdx
2x2 sin2x4
e2t 2te2t
1,2)
ex y
f(t)
te2t
y
y (0) ysinxy)

limt1 —)2tx
xx
2 x ,由 2 x02
x2 1在点1,2)处的切线斜率为2
exxex, y ex exxex
e02
eo
(t)
e2t
2te2t
1,
y0
12
ex y xsinxy)
方程两边对x求导得
ex y 1
y') sinxy)(y
xy')
解得
sint tcost
4t3
ex y ysinxy)
ex y xsinxy) °
,/ ,,，、…、…dy 由参数式求导公式得
dx
再对x求导，由复合函数求导法得
竺W')
dx2dx x
、选择题
(y ')/——x——tx'
t
1 tcost sint 1
2
t2
2t
y'
1
xt'
sint
sint tcost4t3

1、
选(D)
由y x交点为侦，k(-)ii 1，"" y x2
3、
4、
5、
6、
tan
| tan (
2
)1占
11
选(C)
选(A)
f (x)
eta世 x
—1| 3
kk1 2
k ta压 1 x sec2 x
1
2
i • f( 1 x) f( 1)
lim
x 0
f 1)
f 1 x)
由 lim—
x 02x
1 x) f( 1)( 1) ()
2
f ( 1)(
切线方程为：y 2 4 (x 1)即y
4x
2x
2)
Li
6
2 f ( 1) 4
选(D) limx) f2 (x)[f2 (x)]2f(x) f (x)
x 0x
选(B) f (x) {[f (x)]2}2 f (x) f (x)2 f3 (x)
f (x) [2 f 3 (x)]2 3 f 2 (x) f (x) 2 3 f 4 (x)
设 f (n) (x)n! f n 1 (x)，则 f (n 1) (x)
f (n) (x)n! f n 1 (x)
(n 1)!fn (x) f (x)(n 1)!fn 2 (x)
7、选(C)
limf(x0 2 x) f(x0)
x 0x
lim2 林02 x)林。)2f
x 0
(x )
0
又 f (x)(x2)2x,2 f (x ) 4x

8、选(C) f (x)在x处可导的充分必要条件是f (x)在x点的左导数f (x )和右
0
导数f (x )都存在且相等。 0
9、选(D)
f (x)(x1) x2)(x99)x(x 2) (x 99)x (x 1) x 3) (x99)
x(x 1) & 2)(x 98)
f (0)(01) 02)(099)( 1)99 99!99!
另解：由定义，f (0) lim—^°)lim(x 1) x 2)(x 99)
x 0 x 0x 0
f ( x2) ( x2)2 f ( x2)
(x2)dx
0,
99 99!
10、
11、
选(B)
99! [f( dy
x2)]
2xf
由导数定义知
f (x)f (0)
f' (0) lim
x 0 x
-,、f(x) f (0)-
再由极限的保号性知0,当x (,)时0 ,
x
从而当 x ( ,0) x (0,))时，f (x)
12、由函数f (x)在x 0处可导，知函数在x
f (0) 0( 0)，因此C成立，应选C。
0处连续
lim f (x)limx2si£ 0, lim f (x)
x 0x 0xx 0
lim (ax b) b，所以 b 0
x 0

f (x)f (0)
又 f (0) lim
x 0 x 0
所以& 0。应选C。
三、计算解答
1、计算下列各题
dy esin2td (sin1)esin2t
x
d2y
dx2
(1)
(2)
dy 3t2 dx "T t
3t3
(3)
两边对x求导:
2y 3 y
(4) y
sinxcosx
设 y(n)
lim
0
9t2
-
t
2y 3 (y 2
isin2x 2
cos2x sin2x —)
2
2n 1 sin2x
则 y(n 1)
2n cos 2x
(7)
y(50)
249 sin2x
. 1
x2 su
x 0, f (0)
x
2sin1cos1 (x
9t3
1)
limf(x) f(0) ax 0 x 0
a，
—)dx x2
1 : 2
—si『e x2
sin2tdx
x
1)
y3 y2
2cos 2x -y)
2n sin2x (n
249 sin2x
:lny
x[lnx ln1
x)]
1 y
lnx
ln1 x)
1
y

-)x [lnx
ln1
x) 1
二

1 x
f(x)

lim(x
1) x
x

x 0

(x)
(x a)
(x)
f((a)

两边求导:
]
2) x
(5)两边取对数
50 —)
2
(0) lim
x 0
f (x)
1 x
y ：
1 x
(6)利用定义：
2 sin2x
1)—)
2
3)(x
25) 25!
(a)
(x a)(x)
1 - f (x) f (a)1.(x)
f (a) lim lim
x a x ax a
lim[_(^(^(x) ](a)(a) 2 (a)
x a x a
[注：因(x)在x a处是否二阶可导不知，故只能用定义求。
d
(8) lim —
x 1 dx
(a)
lim f
x 1
2、易知当x
f (cos;x 1) lim [f (cos^’x 1) ( sin^x x 1
(cosx 1) lim jiRX]1 f ( ( 2)
0时，f (x)均可导，要使f (x)在x 0处可导
1)
]
—^] 2
x 0
eax
lim
x 0
a b
b 2
1. 1 sinx)
lim
:0
eax 1
lim 一
0
ax
lim 一 a
x 0 x

3、
证明：设交点坐标为
I*
)，则
4、
对 x2 y2
曲线x2
又由x y
曲线xy
又 k1k2
x2 0
a两边求导：2x 2y
y2
y2 a在(x0,y0)处切线斜率%
b y b y 上
x x2
b在(x ,y )处切线斜率k

y
0
两切线相互垂直。
—) x2
0
x0y
设t分钟后气球上升了 x米
tan
两边对t求导：sec2
1
5
dx
dt
上
5
140
5
7
25
x2
0
x
—0-
y
0

d dt
5、
证明：f (x)
limf(x h) f(x)
h 0 h
limf(x) f(h) f(x
h 0 h
0)

7
—COS2
25
当x 5 m时， 彳
,, d 7 17—,、
当x 5 m时，——-赤(弧度/分)dt 25 2 50
lim f (x)
h 0
f (h) f(0)
h
f (x) f (h)f (x) f (0)
lim
h 0h
f(x) f (0) f (x)
6、解：由于y 3x2 6x,于是所求切线斜率为 k 3x2 6x |3,
从而所求切线方程为y 33(x 1)，即3x y 6 0
11
又法线斜率为k —
2 k 3
所以所求法线方程为y 3 ^(x 1)，即3y x 8 0