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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,线性代数,主要内容有：,n,阶行列式的定义和性质；,行列式按行（列）展开的方法；,行列式的计算；,用克拉默（,Cramer,）法则求解一类非齐次线性方程组,及由此得到的方程个数与未知量个数相等的齐次,线性方程组有非零解的必要条件。,第1章行列式,2阶行列式用于解二元一次联立方程组,1.1,n,阶,行列式,的定义和性质,利用消元法可得：,1.1.1,二、三阶行列式,记作,例,1.1,求解二元线性方程组,三元一次联立方程组,若,其解为,其中,D,j,(,j,=1,2,3),是三阶行列式,D,1,=,D,2,=,D,3,=,3阶行列式,可以用下列方法记住（称为沙路法）,其中,M,11,=,M,12,=,M,13,=,D=,=,(1.4),D,=,a,11,M,11,a,12,M,12,+,a,13,M,13,=,a,11,A,11,+,a,12,A,12,+,a,13,A,13,.,例,1.2,计算三阶行列式,解,对,n,(,n,3),阶行列式,不能用上图所示的沙路法来定义,定义,1.1,由,n,2,个数,a,ij,(,i,j,=1,2,n,),组成的,n,阶行列式,是一个算式.,其中：,a,ij,称为行列式的第,i,行，第,j,列的元素;,当,n,=1,时，,D,a,11,当,n,2,时,1.1.,2,n,阶行列式的定义（递归法）,D,=,M,1,j,称为,a,1,j,的余子式，,M,ij,是划去,D,的第,i,行第,j,列后的,n,1,阶行列式,A,1,j,=(-1),1+,j,M,1,j,称为,a,1,j,的代数余子式,M,1,j,称为,a,1,j,的余子式，,A,1,j,=(-1),1+,j,M,1,j,称为,a,1,j,的代数余子式,.,n,阶行列式是由,n,2,个元素,a,ij,(,i,j,=1,2,n,),构成的,n,次,齐次多项式（称为展开式），二阶行列式的展开式含,2,！项，三阶行列式的展开式含,3,！项，,n,阶行列式的,展开式含,n,！项，其中每项都是不同行，不同列的,n,个,元素的乘积，全部的,n,！项中带正号的项和带负号的,项各占一半。,例1,.3,n,阶,对角行列式，上、下三角行式,例,1.4,计算,D,n,=,D,n,=,(,1),n,1,a,1,D,n-,1,=,按定义再递推之,=,(,1),n,1,a,1,(,1),n,2,a,2,D,n-2,=(,1),n(n,1)/,2,a,1,a,2,a,n,1,a,n,1.2,n,阶行列式的性质,行列式,对行和列有相同的,性质,(下面主要用行讲),。,性质1,行列式,D,的行与列依次互换，则行列式的值不变.,性质2 行列式对任一行(或列)按下式展开，其值相等，即,性质3（线性性质）,推论：,若行列式有一行元素全为零，则行列式的值=0.（,k,=0）,性质4,若行列式有两行元素相同，则行列式的值=0,用归纳法证明：,n,=2,成立。设命题对,n,-1,阶行列式,成立，对第,i,j,行相同的,n,阶行列式,D,，,对第,k,（,k,i,j,）,行展开,得,推论：,若行列式有两行元素成比例，则行列式的值=0。,性质5,将行列式的某一行乘以常数加到另一行,(对行列式作倍加行变换),则行列式的值不变。,性质6,若行列式两,行对换，行列式的值反号，即,证：,将左边第,j,行加到第,i,行；再将第,i,行乘(,1)加到第,j,行.于是，,将上式第,j,行加到第,i,行,再提出第,j,行的公因子(,1)，即得,左边=右边.,性质7,行列式某一行元素与另一行相应元素,的代数余子式的乘积之和等于零，即,证明,：,把行列式,D,的第,i,行换成第,j,行,=0,是克罗内克(,Kronecker),符号。,两式,可合写为：,同理，对列展开，有,计算方法：利用定义或性质。,上、下三角行列式均等于其主对角元素的乘积。,例,1.5,1.3,n,阶行列式的计算,解法,1,解法,2,因为第,1,行只有,2,个非,0,元素，所以对第,1,行,展开，再计算两个,3,阶行列式（,3,阶行列式可以化为,上三角行列式或用沙路法计算），得,例,1.6,计算,4,阶行列式,.,第,4,列化为只有一个非,0,元素，再对第,4,列展开得,第,1,列乘,2,、,(1),分别加到第,2,、,3,列，对第,1,行展开，得,例,1.7,计算,n,阶行列式,解,对第,n,列（或第,n,行）展开,定义：,(,i,j,=1,2,n,),，则称其为,反对称行列式，其中,例,1.8,证明,:,奇数阶（,n,为奇数）反对称行列式的值为,0.,证,设,利用,D,=,D,T,再每行提出一个公因子（,1,），,n,是奇数，由,D=,D,得,D=,0.,例,1.9,证明,把左端行列式的第2,3列加到第一列，提出公因子2。,证,法一:,将第2,3列加到第一列,，,提出第2,3列的公因数(,1),再作两次列对换,把第一列乘(,1)加到第2,3列。,法二:,用性质3，将左式表示成2,3,个行列式之和(,n,阶可以表示成2,n,个)，,=右式,对换2次,拆成8个，其中有6个行列式各有两列相等而等于零,例,1.10,计算,n,阶行列式,D,n,的每行元素之和均为,a,+(,n,1),b,，,把各列加到第一列，,提出公因子,a+(n,1,)b,，,将第一行乘(,1),加到其余各行，,化为上三角行列式,解,例,1.11,计算,n,阶行列式,把第,2,，,3,，,，,n,列的元素都加到第,1,列，,再对第,1,列展开，最后利用下三角行列式的结果，得到,例,1.12,证明,n,阶范德蒙(,Vandermonde),行列式。,(,i,j,时，,x,i,x,j,),证明,用数学归纳法。,n,=2,成立.,假设对,n-,1,阶命题成立.,从第,n,行起,依次,将前一行乘(,x,1,),加到后一行,对第1列展开,提出公因子,是,x,2,x,n,的,n,1,阶,范德蒙行列式，由,归纳假设得,例,1.13,A,B,C,A,B,k,k,m,m,证明：,证明：,对,k,归纳.,k,=1,对第一行展开,假设,A,为,k,1,阶时命题成立。,对,k,阶,A,的第一行展开。,归纳假设,将,A,和,C,所在的每一列依次与其前面的,m,列逐列对换(共对换,k,m,次)。,使之化为,主对角线的形式,.,例,1.13,可以简记为,例,1.14,计算,n,阶行列式,解,第,2,行与第,n,行互换，,第,2,列与第,n,列互换。,例,1.15,计算,n,阶三对角行列式,解,按,D,n,的第,1,行展开，,M,12,再对第,1,列展开得,反复利用递推公式,D,n,=,D,n,1,+,n,D,n,1,=,D,n,2,+,n,1,D,n,2,=,D,n,3,+,n,2,D,2,=,D,1,+,2,2,n-2,+),D,1,=,+,n-,1,D,1,=,n,1,+,n,1,1.,4,克拉默(,Cramer),法则,若所有的常数项均为零，称为,齐次线性方程组,，,否则称为,非齐次线性方程组,。当,m,=,n,时，称为,n,元线性,方程组,。满足方程的有序数组是方程组的一个,解,。,方程组的解的全体称为它的,解集合,。,两个方程组有相同的解集合，就称它们为,同解方程组,。,其中 称为方程组的,系数,，,称为,常数项,。,下标,i,，,j,表示它是第,i,个方程，第,j,个未知量,x,j,的系数,定理,1.1,：设线性齐次方程组,其系数行列式,方程组有唯一解,0时，,j,=1,2,n,其中,证,：,其中,A,kj,是,D,中,a,kj,的代数余子式,(1)验证,满足方程组,i,=1,2,n,交换两个和号的顺序,=,b,i,(i,=1,2,n),(2)证解唯一,(2)证解唯一.,设（,c,1,c,2,c,n,）,是满足方程组的解。,A,1,j,+),A,2,j,A,nj,若齐次线性方程组,其逆否命题是：,若方程组有非零，,则,D,=0,。,的系数行列式,D,0,则,x,1,=x,2,=x,n,=,0,.,即解唯一。,定理,1.2,例,1.16,求一个二次多项式,f,(,x,),，使得,f,(1)=0,f,(2)=3,f,(3)=28.,解,设所求多项式为,f,(,x,)=,ax,2,+,bx+c.,则,以,a,b,c,为未知量的非齐次线性方程组，其系数行列式,有唯一解，计算,故,f,(,x,)=2,x,2,3,x+,1,.,*例,1.17,证明,：,平面上三条不同的直线,交于一点的充分必要条件是,a,+,b+c=,0,.,证,必要性。设所给三条直线,交于点（,x,0,y,0,）,则,（,x,0,y,0,，,1,）是方程组,的一个非零解,所以，,a,+,b+c=,0.,充分性，设,a,+,b+c=,0,，得到,方程组存在非零解，即三条直线交于一点。,*例,1.18,求四个平面,a,i,x+b,i,y,+c,i,z+d,i,=0 (i=,1,2,3,4,),相交于一点(,x,0,y,0,z,0,),的充分必要条件。,解,将平面方程写成,a,i,x+b,i,y,+c,i,z+d,i,t=0,其中,t=,1,四平面交于一点，即4元,(,x,y,z,，,t,),的线性方程组,有非零解,(,x,0,y,0,z,0,1),其充分必要条件是：,系数行列式,第一列乘(,1,)分别,加到第 2,3,4列,*例,1.19,解：,再将第2列加到第4列.,本章主要内容有：,n,阶行列式的定义和性质；,行列式按行（列）展开的方法；,行列式的计算；,用克拉默（,Cramer,）法则求解一类非齐次线性方程组,及由此得到的方程个数与未知量个数相等的齐次,线性方程组有非零解的必要条件。,第2章矩 阵,2.1,高斯消元法,求解,n,个未知元,m,个方程的线性方程组（,m,n,）,一般用代入消元法或加减消元法，化为容易,求解的同解方程组.,由高斯消元法引出矩阵概念,特殊矩阵及其基本性质,.,重点是矩阵的运算：加法，数量乘法，,乘法，转置及其运算性质，还有可逆矩阵的逆矩阵和,矩阵的初等变换，最后是分块矩阵及其运算。,+,（消去,x,2,）,得,x,3,=2 ,例1,用加减消元法解三元一次方程组,x,1,2x,2,5x,3,2 ,2x,1,3x,2,4x,3,11 ,4x,1,7x,2,17x,3,7 ,解,:(,2),+;4,+（消去,x,1,）,得,7,x,2,14,x,3,7 ,x,2,3x,3,1 ,将,x,3,=,2,代入,得,x,2,=,5,将它们代入,得,x,1,=,2。,所以原方程组的解为,x,1,=,2，,x,2,=,5，,x,3,=,2。,(阶梯形,),方程组，,与原方程组是,同解方程组。,x,1,2x,2,5x,3,2 ,7,x,2,14,x,3,7 ,x,3,=2 ,方程组的系数排成的数表：,定义2.1,数,域,F,中的,m,n,个数,a,ij,(i=,1,m;j=,1,n）,排成,m,行,n,列的数表，称为数域,F,上的一个,m,n,矩阵。,简记为,(,a,ij,),m,n,，,其中,a,ij,叫做矩阵第,i,行，第,j,列的元素。,a,ij,都是零的矩阵称为零矩阵。记作,0,。当,m=n,时，称为方阵（或,n,阶矩阵）。,a,11,a,22,a,nn,叫做方阵的主对角元，,n,个未知元,m,个方程的,线性方程组,(,A,b,)=,A,称为方程组的系数矩阵，,（,A,b,）,称为增广矩阵。,例2,.2,求解线性方程组,c,:,第行乘常数,c,，,+,k,第行乘,k,加到第行,第行与第行对换,。,对增广矩阵（,A,b,）,作：,(,A,b,),=,-,+,(,2),+,(,3),+,(,1),+,(,2),-,+,(,2),(,1/3),-,+,-,+(,2),-,代入（*）可解出全部解：,x,1,=,1,+k,1,7k,2,x,2,=k,1,x,3,=2,4k,2,x,4,=,1,+3k,2,x,5,=k,2,(,k,1,k,2,为任意常数),(行简化阶梯形矩阵,),对应的同解方程组（*）,三个方程，五个未知数，,任取,x,2,=k,1,x,5,=k,2,x,=(x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,),T,=,(,1,+k,1,7,k,2,k,1,2,4,k,2,1,+,3,k,2,k,2,),T,。,当方程组中常数项,b,1,=b,2,=,=b,m,=0,时，,称为,齐次,线性方程组,，否则叫,非齐次,线性方程组。,=(k,1,7,k,2,k,1,4,k,2,3,k,2,k,2,),（,k,1,k,2,为,任意常数）,。,把例2的右边改为零得到的齐次线性方程组的行,简化阶梯,形矩阵和同解方程组为：,x,=(x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,),T,其中(,k,1,k,2,为,任意常数,)。,和,其全部解为：,方程组的解也可以写成向量形式(称为,解向量,),组无解(称为不相容方程组)；有解的方程组称为相容方程组。,x,1,x,2,x,3,1 ,x,1,2,x,2,5,x,3,3,2,x,1,3,x,2,4,x,3,7,例,2.3,判断下列线性方程组是否有解？,解：,+,(1),+,(1),+,(2),+,(1),最后一行表示的方程是0,x,1,0,x,2,+0,x,3,3,显然无解，故原方程,高斯消元法在消元过程中，会揭示出多余方程和矛盾方程。,三种,初等行变换,:,倍乘变换,:,以非零常数,c,乘某一行（或某一个方程）,倍加变换,:,将某一行乘以常数,k,加到另一行,对换变换,将某两行对换位置,.,矩阵,A,经过初等行变换化为矩阵,B,，记作,A,B.,阶梯形矩阵,是：,矩阵,A,的前,r,行为非零，其余行全为零，且第,i,行,（,i=,1,2,，,r,）的第一个非零元所在的列为,j,i,满足,j,1,j,2,j,r,行简化阶梯阵,是：,阶梯形矩阵,A,中，每一个非零行的第一个非零元,均为,1,，其所在列的其余元素都等于零,.,一般线性方程组的增广矩阵经消元变换可化为阶梯形矩阵。为便于讨论，不妨设化为行简化阶梯形矩阵,：,其中,c,ii,=,1,(i=,1,r)。,在有解的情况下,：,(1)当,r=n,时，有唯一解：,x,1,=d,1,x,2,=d,2,x,n,=d,n,;,(2),当,r n,时，有无穷多个解,.,方程组(*)有解的,充要条件是,d,r+1,=,0。,其余的,x,r+,1,x,r+,2,x,n,取作,自由未知量,。,代入(*)式所对应的方程组即可求得全部解,x,=,(,x,1,x,2,x,n.,),。,齐次线性方程组总是有解的.,r=n,时，只有零解，即,x,1,=,=x,n,=0;,当,r,n,时，有无穷多解，,求解的方法同上。,(*),式中每行第一个非零元,c,ii,(,i,=1,r,),所在列,对应的未知量,x,1,x,2,x,r,设,为,基本未知量;,令,x,r+,1,=k,1,x,r+,2,=k,2,x,n,=k,n-r,为任意常数,例,2.4,求齐次线性方程组,的一般解。,解,：,A,=,自由未知量分别取,x,2,=,k,1,，,x,5,=,k,2,代入同解方程组得到,x,1,=,k,1,7,k,2,x,3,=-4,k,2,x,4,=3,k,2,一般解为,线性方程组的解的基本问题是：有解的条件（对于齐次,方程组则是有非零解的条件）以及解的结构。,如果齐次线性方程组中,mj,时,a,ij,=0(,in,时,A,n,s,x,=0,必有非零解,。,推论,1.,任意,s,个,n,维向量，当,sn,时都线性相关。,推论,2 ,n,中任意,n,+1,个向量必线性相关，或在,n,中线 性无关的向量组最多只能含,n,个向量,。,推论,3,若,n,维向量,1,2,s,线性无关，给,i,(,i,=1,2,s,),添加,m,个分量后所得,n+m,维向量,(,记作,1,*,2,*,s,*,),也线性无关。,证 记,(,在方程组,AX=,0,的,n,个方程下面再添加,m,个方程就得到方程组,BX=,0,。,假设,BX=,0,有非零解，那么这组非零解必满足前,n,个方程，即是,AX=,0,的非零解，得出矛盾。,),1,2,s,线性无关,AX=,0,只有零解,BX=,0,只有零解,1,*,2,*,s,*,线性无关,.,这个命题的逆否命题是：若,1,*,2,*,s,*,是线性相关的，,将,i,*,(,i,=1,2,s,),的最后,m,个分量删去后所得的向量组,1,2,s,也线性相关。,例,3.3,问,a,取何值时，,1,=(1,3,6,2),T,2,=(2,1,2,1),T,3,=(1,1,a,2),T,线性无关？,解 设,x,1,1,+x,2,2,+x,3,3,0,（,1,）,定理3.,4,若向量组,1,2,，,r,线性无关,而,向量组 ,1,2,，,r,线性相关,则,可由,1,2,，,r,线性表示，且表示法唯一。.,证 由于向量组,1,2,，,r,线性相关，所以存在不全,为零的数,1,2,r,使得,+,1,1,+,2,2,+,r,r,=0,其中,必不等于零(如果,=0,则由,1,2,，,r,线性无关,又得,1,2,r,全为零，与题设矛盾),于是,即,可由,1,2,r,线性表示，,于是，(,b,1,c,1,),1,+,(,b,2,c,2,),2,+,(,b,r,c,r,),r,=0,则,n,中任一个向量,可由,1,2,n,线性表示，,且表示法 唯一。,这是因为,n,中任何,n+,1,个向量都线性相关。,再证表示法唯一：设有两种表示法：,=,b,1,1,+b,2,2,+b,r,r,=c,1,1,+c,2,2,+c,r,r,而,1,2,r,线性无关，所以,b,i,=c,i,(,i=,1,2,r,),故,由,1,2,r,表示是唯一的。,推论 如果,1,2,n,是,n,中线性无关的,n,个向量,例,3.4,已知,1,=(1,1,0),2,=(1,2,0),3,=(1,0,3),，,4,=(2,3,6),，问,（,1,）,1,2,3,是否线性相关？,（,2,）,4,可否用,1,2,3,线性表示？如能表示，给出表示式。,解（,1,）将,1,2,3,设为列向量，作矩阵,A,=,1,T,2,T,3,T,=,由于,|,A,|=9,0,，,AX=0,只有零解，所以,1,2,3,是线性无关,。,（,2,）由定理,3.4,推论得,4,可用,1,2,3,线性表示且表示法唯一。设,x,1,1,+x,2,2,+x,3,3,=,4,即,x,1,(1,1,0)+,x,2,(1,2,0)+,x,3,(1,0,3)=(2,3,6),，,于是得,得到,:,4,=,1,2,+,2,3,.,例,3.5,已知,n,中向量组,1,=(,a,11,0,0,0),T,2,=(,a,12,a,22,0,0),T,s,=(,a,1,s,a,2,s,a,ss,0,0),T,，,其中,a,jj,0(,j,=1,2,s).,证明：,1,2,s,线性无关。,证法,1,设,x,1,1,+x,2,2,+x,s,s,=,0,，,即,先解最下面的一个方程，得,x,s,=0,代入它上面的方程，得,x,s,1,=0,，如此继续求解，即得,x,s,=,x,s,1,=,x,1,=0,。,所以，,1,2,s,线性无关。,证法,2,按所给条件添加上,s,+1,=(a,1,s,a,2,s,a,s+,1,s+,1,0,0),T,，,n,=(,a,1,n,a,2,n,a,nn,),T,其中,a,jj,0,(j,=1,2,n),方程组,x,1,1,+x,2,2,+x,n,n,=,0,，,即,AX=,0,的系数矩阵,的行列式,|,A,|=,a,11,a,22,a,nn,0,。所以，,AX=,0,只有零解，,得知,1,2,s,n,线性无关。,由定理,4.2,的等价命题,（线性无关向量组的任一部分向量组也线性无关），,即得,1,2,s,也线性无关。,例,3.6,已知,问：,解：,是否线性无关？,(1),思考：由定理3.,3,，推论,3,：若向量组,1,2,r,线性无关,对每一个,i,各增加,m,个分量得到的向量组,1,2,r,也线性无关。其逆否命题是什么？,（,2,）同理，由行列式,得式（,1,）只有零解，所以，,1,，,2,，,3,线性无关。,3.2 向量组的秩和极大线性无关组,3.2.1,等价向量组,定义3.,5,若向量组,1,2,k,中每个向量均可由向量组,1,2,s,线性表示，则称,1,2,k,可由向量组,1,2,s,线性表示。如果它们可以互相线性表示，则称它们,等价,，记作,1,2,s,1,2,k,。,例如，向量组,e,1,(1,0,0),e,2,(0,1,0),e,3,(0,0,1),与,1,(1,1,1),2,(1,1,0),3,(1,0,0),是等价向量组。,又例如,1,(1,1),2,(0,1),和向量组,1,(1,0),2,(0,0),不是等价向量组。,向量组的等价具有以下三条性质：,(1),自反性；,(2),对称性,:,若向量组,(1),向量组,(2),，,则向量组,(2),向量组,(1),;,(3),传递性,:,若向量组,(1),向量组,(2),且向量组,(2),向量组,(3),，则,向量组,(1),向量组,(3),定理3.,5,设向量,组,1,2,t,可由另一向量组,1,2,s,线性表示。如果,t,s,则,1,2,t,线性相关。,证:设,j,=1,t,再设,x,1,1,+,x,2,2,+,+,x,t,t,=0,(交换和号顺序),令,i,(,i,=1,2,s,),中,的系数全为零,即,（,i,=1,s,）,上式是,t,个未知量,s,个方程的齐次线性方程组，由于,t,s,所以方程组有非零解，即有不全为零的数,x,1,x,2,x,t,使,(3.6),成立，故,1,2,，,t,线性相关,.,推论,(1),(,定理,3.5,的逆否命题),:,若,1,2,t,可由,1,2,s,线性表示，且,1,2,t,线性无关,则,t,s,.,推论,2,两个线性无关的等价的向量组，一定包含相同个数的向量。,证 设向量组,1,2,，,t,与向量组,1,2,s,等价，因为,1,2,，,t,线性无关，由推论,1,得,t,s,.,同理，,s,t,，所以，,t,=,s,，即两个向量组包含相同个数的向量。,3,中的几何意义：当,s=,2,时，由,1,2,线性表示的向量,1,2,，,t,(,t,2),显然都在,1,2,所张成的平面上，,所以这些向量都是共面的，即,1,2,，,t,线性相关。,3.2.2,向量组的极大线性无关组,定义,3.6,向量组,1,2,s,中若存在,r,个线性无关的向量,且任意,r,+1,个向量都可以由它们,线性表示，则称,为向量组,1,2,s,的一个极大线性无关组。,例如，,1,(1,0);,2,(0,1);,3,(1,2);,4,(2,1).,其中任意两个向量都是线性无关的，所以任意两个向量都是,1,2,3,4,的一个极大线性无关组。,定理,3.6,向量组的任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价；向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的，它们所含的向量个数相等。,证 不妨设,1,2,r,（,r,s,）,是,1,2,s,一个极大线性无关,组,.,显然，,前者,可以被,后者,线性表示，因为,i,=,0,1,+0,i,-1,+1,i,+0,i,+1,+0,s,（,i,=1,r,）,.,又因为,j,，,1,2,r,（,j,=,r,+1,s,）线性相关，由定理,3.4,可知,j,（,j,=,r,+1,s,）可以被,1,2,r,线性表示，所以,1,2,s,可以被,1,2,r,线性表示，即,1,2,r,与,1,2,s,等价。,根据等价关系的自反性和传递性，可知任意两个,极大线性无关组都是等价的。再由定理,3.5,的推论,2,知,它们所含的向量个数相等。,定义3.,7,向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为,这个向量组的秩,，,记 作,秩,1,2,s,r,或,r,1,2,s,r,，,例如，,1,(1,0);,2,(0,1);,3,(1,2);,4,(2,1).,秩,1,2,3,4,2,其中任意两个,i,j,(,i,j,=1.2.3.4,且,i,j,),都线性无关，,任意三个,都是,线性相关的。,(1),若,1,2,s,线性无关的充要条件是,r,1,2,s,=,s,。,3.2.3,向量组的秩,若,1,0,，,r,1,=,1,。,r,0,=,0,。,几个结论,（,2,）等价的向量组有相等的秩，,即,1,2,r,1,2,p,，,则,r,1,2,r,r,1,2,p,。,逆命题不成立,。例如，,1,(1,0，0);,2,(0,1,0);,3,(0,0,1);,秩,1,2,=秩,1,3,2.,但,1,2,和,1,3,不是等价向量组.,(3),若秩,1,2,s,r,则,1,2,s,中任意,r,+1,个向量都是线性相关的。,因为任意,r,+1,个向量都可经线性无关的,r,个向量线性表示。,(5),若秩,1,2,s,r,则,1,2,s,中任意,r,个线性无关的向量都是,1,2,s,的一个极大线性无关组。,（,4,）设,r,1,2,，,t,=,m,r,1,2,s,=,p,若,1,2,，,t,可以由,1,2,s,线性表示，则,m,p,。,这是因为,1,2,，,t,的极大线性无关组可以用,1,2,s,的极大线性无关组线性表示，由定理,3.5,推论,1,得,m,p,。,A,的,n,个列(,m,个行)向量组成的向量组的秩称为,A,的列秩(行秩,)。,矩阵,A,=(,a,ij,),m,n,的每一列(行)称为,A,的一个列(行)向量。,显然，,A,的列秩,n,；,A,的行秩,m,.,3.3.1,矩阵的秩,3.3 矩阵的秩 相抵标准形,定义,3.8,设,求,A,的行秩和列秩。,例,3.7,设阶梯形矩阵,解 把,A,按行、列分别分块为,由,x,1,1,+x,2,2,+x,3,3,0,，,即,得,x,1,=x,2,=x,3,0,，所以，三个行向量,1,2,3,线性无关,，,而,4,=,0,，,1,2,3,，,4,线性相关，因此,A,的行秩,=,3,。,三个列向量,1,3,4,线性无关，,由于,1,2,(,成比例,),线性相关,且任意4个列向量线性相关,（据定理,3.3,推论,2,，任意,4,个,3,维向量都线性相关），可知,1,2,3,4,5,线性相关（定理,3.2,）,，所以,A,的列秩=3。,在阶梯形矩阵中，非零行的行数=,A,的行秩=,A,的列秩。,方程,y,1,1,+y,3,3,+y,4,4,=0,，即,得,y,4,=,y,3,=,y,1,=0.,(3)将,A,的第,i,行乘常数,c,加到第,j,行得到,B,，,则,B,的行向量组,1,j,m,为,j,=c,i,+,j,;,k,=,k,(k,j),。,相应地,也有,j,=,j,c,i,;,k,=,k,(,k,j,),。,因此,A,与,B,的行向量组可以,互相线性表示（等价）。所以,A,与,B,的行秩相等。,定理,3.7,对矩阵,A,做初等行变换化为,B,，则,B,的行秩等于,A,的行秩。,证：只须证明,作一次倍乘，倍加和,对换,行变换，,A,的行秩不变。,设,m,n,矩阵,A,的,m,个行向量为,1,2,m,，,(,1),将,A,的第,i,j,行对换得到,B,则,B,与,A,的行向量组相同（只,是排列顺序不同），故,A,B,的行秩相等。,(,2),将,A,的第,i,行乘非零常数,c,得到,B,则,B,的行向量组为,1,i,-1,c,i,i+,1,m,，,它,与,A,的行向量组等价,。,因此,A,与,B,的行秩相等。,所以，初等行变换不改变矩阵的行秩。同理，初等列变换不改变矩阵的列秩。,定理3.,8,对矩阵,A,作初等行变换化为,B,则,A,与,B,的任何对应的列向量组有相同的线性相关性。即,有相同的线性相关性。,B,=,P,k,P,2,P,1,A,其中,P,k,P,2,P,1,为若干初等矩阵的乘积，记,P=P,k,P,2,P,1,(,P,可逆),则,PA,=,B,且,P,j,=,j,j=,1,2,s,齐次线性方程组,A,1,x,=0,与,B,1,x,=0 (,即,PA,1,x,=0）,为同解方程组。,所以，,A,1,与,B,1,的列向量组,有相同的线性相关性。,就是用若干初等矩阵,左乘,A,，即,证：对,A,做行变换化为,B,，,则向量组,1,i,1,i,2,i,r,s),这个定理给出了求,向量组,的秩,及其极大线性无关组,的一个简单而有效的方法。,推论,：对,矩阵,A,作初等行变换，不改变,A,的列秩。,初等行变换不改变矩阵的行秩和列秩,。,由定理,3.7,和,定理3.,8,的推论得,3.3.2,求向量组的秩和极大线性无关组,例,3.8,求向量组,1,2,5,的秩及其一个极大线性无关组,并将其余向量用极大线性无关组线性表示。其中,1,=(1,1,0,0),2,=(,1,2,1,1),3,=(0,1,1,1),，,4,=(,1,3,2,1),5,=(,2,6,4,1)(,i,为行向量,),。,解：对,A,=,1,T,2,T,3,T,4,T,5,T,(,将,i,竖排)作初等行变换，将其化为阶梯形矩阵,U,，,即,记阶梯形矩阵,U,=,1,2,3,4,5,.,U,中每个非零行第一个非零元所在的第1,2,4列,线性无关，,所以，,1,2,4,是,U,的一个极大线性无关组，从而，,1,T,2,T,4,T,是,A,的列向量组的一个极大线性无关组。即,1,2,4,是,1,，,2,，,3,，,4,，,5,的一个极大线性无关组。,(1)设,x,1,1,+,x,2,2,+,x,4,4,=,3,，,此非齐次方程组的增广矩阵,1,，,2,，,4,3,，用高斯消元法（初等行变换）,化为,U,中的前,4,列），,所以,，,3,1,+,2,。,3,5,可以用,1,2,4,线性表示，作法如下：,其同解方程组为,(2),再设方程组,x,1,1,+x,2,2,+x,4,4,=,5,，,从,U,中第,1,，,2,，,4,，,5,列可以得同解方程组,经初等行变换，化为简化的阶梯形矩阵，即,3,5,用,1,2,4,线性表示的另一个作法如下：,由第,4,列,(1,1,0,0),T,得到,由第,5,列,(1,2,1,0),T,得到,求向量组,1,2,s,的极大线性无关组的一个方法：,将,1,2,s,按列排成（不管给出的向量是行向量还是列,向量，都按列排）矩阵,A,.,用初等行变换化,A,为阶梯形矩阵,U,则,A,与,U,对应的列向量组有相同的线性相关性。如果,U,有,r,个,非零行，选,U,中每个非零行第一个非零元所在列的向量，就是,U,的列向量组的一个极大线性无关组。得到,A,的列向量组的一个,极大线性无关组，且秩,(,1,2,s,)=,r,。,再将这,r,列向量排在左边，,1,2,s,中的其余向量排在右边,得到矩阵,B,，,用初等行变换化,B,为简化阶梯形矩阵,U,1,从,U,1,得到,其余向量用,1,2,s,的极大线性无关组线性表示的表示式。,定理3.,9,初等变换不改变矩阵的行秩和列秩。,定理3.,10,矩阵,A,的行秩=,A,的列秩。,证：对,A,作初等行变换，将其化为阶梯形矩阵,U,，,则,A,的行秩=,U,的行秩=,U,的列秩=,A,的列秩.,定义3.,9,A,的行秩=,A,的列秩,统称为,A,的秩，记作秩(,A,)，,或,r,(,A,).,对,n,阶矩阵,A,，,r,(,A,)=,n,时称为满秩矩阵。,定理3.,11,n,阶矩阵,A,，,r,(,A,)=,n,的充要条件是,A,为非奇异矩阵（即,A,0,）。,证：若,r,(,A,)=,n,，,则,对,A,作初等行变换，将其化为阶梯,形矩阵,U,，,则,U,有,n,个非零行，可以继续化为单位矩阵,I,即,存在可逆矩阵,P,使得,PA=I,.,所以，,P,A,=,P,A,=1,故,A,0.,若,A,0，则,A,x,=0,只有零解,x,=,A,1,0,=,0,A,的,n,个列向量线性无关，故,r,(,A,)=,n,.,矩阵,A,若存在,r,阶非零子式且所有,r,+1,阶子式都等于零。则矩阵,A,的非零子式的最高阶数为,r,(,因为由行列式的展开可知更高阶的子式也都等于零），,并称,r,为,A,的行列式的秩。,定义3.,10,矩阵,A,=(,a,ij,),m,n,的任意,k,行,(,i,1,i,2,i,k,行)和任意,k,列(,j,1,j,2,j,k,列)的交点上的,k,2,个元素排成的行列式,称为矩阵,A,的一个,k,阶子行列式(,k,阶子式)。,等于零的,k,阶子式,称为,k,阶零 子式,否则叫非零子式。,当,j,t,=i,t,(t,=1,2,k,),时，称为,A,的,k,阶主子式。,2.矩阵的行列式的秩,=,矩阵的秩,定理3.1,2,秩(,A,)=,r,的充要条件是,A,的非零子式的最高阶数为,r,。,证,必要性,。,设秩(,A,)=,r,不妨设,A,的前,r,行线性无关。记,充分性,。不妨设,A,的左上角,r,阶子式,|,A,r,|,0,，,则,A,r,可逆,A,r,的,r,个行向量线性无关,添分量成为,A,1,的行向量组也线性无关.而,A,中任何,r,+1,行线性相关（否则，由必要性的证明可知,A,中存在,r,+1,阶非零子式）,。,A,的任意,r,+1,个行向量线性相关，所以,A,的任意,r,+1,阶子式都等于零(*)。由(*)和(*)得,A,的行列式的秩为,r,.,A,1,=,A,r,B,其中,A,r,是,r,阶方阵,r(,A,1,)=,r,不妨再设,A,1,的前,r,列向量线性无关,即,r,(,A,r,)=,r,故|,A,r,|,0,.,即 存在一个,r,阶子式不等零（*），,故矩阵,A,的行秩=秩(,A,)=,r,.,注意下列结论：,(1),初等变换不改变矩阵的秩，,(2),矩阵的秩,=,矩阵行秩,=,矩阵列秩,=,矩阵非零子式的最高阶数。,(3),等价的向量组有相等的秩。,若,A,为,n,阶方阵，则下列命题等价,:,(1),A,0,；,(2),A,可逆（称,A,为非奇异或非退化矩阵）；,(3)r(,A,)=,n,(,称,A,为满秩矩阵,);,(4),A,的,n,个列,(,行,),向量线性无关；,(5),齐次线性方程组,AX,=0,只有零解；,(6),对任意,n,元向量,b,非齐次线性方程组,AX,=,b,有唯一解,X,=,A,1,b,.,(1),用定义,求,A,非零子式的最高阶数。,(2),用初等行变换将,A,化为阶梯形矩阵，,A,的秩等于阶梯形矩阵的非零行的行数（阶梯形矩阵中容易看出存在一个,r,阶子式不等零，,任意的,r,+1,阶子式都等于零）。,求矩阵,A,的秩的方法,(,第,2,种为最常用的方法,),：,3.3.3,矩阵的秩的若干性质,(1)对任意的,A,mn,，,都有:,秩(,A,),min,m,n,;,(2)r(,A,T,)=r(,A,),；,（,3,）秩(,A+B,),秩(,A,)+,秩(,B,).,(4),秩(,AB,),min,秩(,A,),秩(,B,)；,(,5),设,A,为,m,n,矩阵，,P,和,Q,分别是,m,和,n,阶可逆矩阵,则,秩(,A,)=,秩(,P,A,)=,秩(,A,Q,)=,秩(,P,A,Q,),证,(3),：,设,A,mn,=,1,2,n,B,m,n,=,1,2,n,秩(,A,)=,p,秩(,B,)=,q,，,1,n,和,1,n,的极大线性无关组,分别为,1,p,和,1,q,，则,A,+,B=,1,+,1,2