经济数学套课件幻灯片教学教程电子讲义.ppt

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,经济数学,Economic mathematics,目 录,函数,1,极限与连续,2,导数与微分,3,导数的应用,4,积分学及其应用,5,随机变量及其数字特征,数学软件,Mathematica,应用,随机事件与概率,线性代数初步,8,9,目 录,7,6,第,1,章 函数,学习目标,理解函数的概念，熟练掌握函数定义域和值域的求法，了解分段函数的特点。,掌握函数的基本性质和表示方法。,熟练掌握六类基本初等函数的概念、表达式、图形和性质 了解复合函数、初等函数的概念和性质，掌握复合函数的分解方法。,了解常用经济函数的概念及相关运算，会建立简单的函数关系式。,1.1,函数的概念,1.1.1,函数的概念,引例,1,自由落体运动设物体下落的时间为,t,，下落距离为,s,，假定开始下落的时刻,t,0,，那么,s,与,t,之间的依赖关系由,给出，其中,g,为重力加速度在这个关系中，距离,s,随着时间,t,的变化而变化其特点是，当下落的时间,t,取定一个值时，对应的距离,s,的值也就确定了,引例,2,医师用药医师给儿童用药和成年人不一样，用药量可由儿童的体重来确定要计算,1,12,岁的儿童的体重可用经验公式,y,2x,7,，其中,x,代表年龄（岁），,y,代表体重（公斤），年龄确定了，相应的体重也就确定了,函数的定义,1.1,函数的概念,定义,1,设,x,，,y,是同一变化过程中的两个变量，若当,x,取其变化范围内任一值时，按照某种对应规则，总能唯一确定变量,y,的一个值与之对应，则称,y,是,x,的函数，记作,y,f,（,x,）,x,叫做自变量，,y,叫做因变量,X,的取值范围叫做,函数的定义域,，与,x,的值对应的,y,的值的集合叫做,函数的值域,当自变量,x,取数值,x,0,时，因变量,y,按照对应法则,f,所对应的数值，称为函数,y,f,（,x,）在点,x,0,处的函数值，记作,y,f,（,x,0,）。,1.1,函数的概念,例,1.1,设,f(x),2x,2,-3,，求,f,(,-1,），,f,（,x,0,）。,例,1.2,求函数,的定义域。,解,解,要使分式有意义，必须分母,x,2,+2x-30,，即,x-3,且,x1,，所以这个函数的定义域是,(,，,3,),(,3,，,1),(1,，,),。,求函数定义域时应遵守以下原则：,（,1,）代数式中分母不能为零；,（,2,）偶次根式内表达式非负；,（,3,）基本初等函数要满足各自的定义要求；,（,4,）对于表示实际问题的解析式，还应保证符合实际意义,1.1,函数的概念,1.1.2,函数的表示,常用的函数表示方法有,表格法、图像法、解析法,(1),将自变量的值与对应的函数值列成表格以表示函数的方法叫,表格法,，如三角函数表、对数表及许多的财务报表等,(2),用图像来表示自变量值与函数值的关系的方法叫,图像法,，它的特点是较直观,(3),用数学表达式表示自变量和因变量的对应关系的方法叫,解析法,，如,y,sinX,，,y,2x+1,等，它的特点是便于推理与演算,分段函数,引例,3,乘座火车时，铁路部门规定：随身携带物品不超过,20,千克免费，超过,20,千克部分，每千克收费,0.2,元，超过,50,千克部分，再加收,50,，应如何计算携带物品所交的费用,1.1,函数的概念,设物品的重量为,x,，应交费用为,y,，则有,解,对于分段函数，要注意以下几点：,（,1,）分段函数是由几个公式合起来表示一个函数，而不是几个函数。,（,2,）分段函数的定义域是各段定义域的并集。,（,3,）在处理问题时，对属于某一段的自变量就应用该段的表达式。,1.1,函数的概念,1.1.3,反函数,定义,如果已知,y,是,x,的函数，,y,f,（,x,），则由它所确定的以,y,为自变量，,x,为因变量的函数,x,（,y,）就是,y,f,（,x,）的反函数，而,y,f,（,x,）称为,直接函数,函数,y,f,（,x,）的定义域和值域分别是其反函数,y,f,1,（,x,）的值域和定义域,函数,y,f,（,x,）和它的反函数,y,f,1,（,x,）的图像关于直线,y,x,对称,单调函数存在反函数，且函数与其反函数单调性相同,例,1.3,求函数,y,x,2,，,x,0,，,）的反函数,解,因为函数,y,x,2,在区间,0,，,）上单调递增，所以存在反函数由,y,x,2,解得,x,y,，,y0,，于是,y,x,2,的反函数为,y,x,，,x,0,，,）求反函数的步骤是从,y,f,（,x,）中解出,x,，得到,x,f,1,（,y,），再将,x,和,y,互换即可,1.1,函数的概念,例,1.4,求,y,x,的反函数,解,由,y,x,得,互换字母,x,，,y,得所求反函数为,1.1.4,函数的性质,1.,函数的奇偶性,定义,设函数,y,f(x),的定义域,D,关于原点对称，即,xD,-xD,若,f(-x),f(x),，,xD,，则称,f,（,x,）为偶函数；,若,f(-x),-f(x),，,xD,，则称,f,（,x,）为奇函数,例如：,y,x,，,xR,，是偶函数，其图像如,图,1.1,所示；,y,x,，,xR,，是奇函数，其图像如,图,1-2,所示,1.1,函数的概念,图,1-1,图,1-2,偶函数的图像关于,y,轴对称，奇函数的图像关于原点对称,两个偶函数之和、差、积、商仍是偶函数，两个奇函数之和、差仍是奇函数，两个奇函数之积、商是偶函数，奇函数与偶函数之积、商是奇函数,1.1,函数的概念,例,1.5,判断下列函数的奇偶性,解,（）因为,所以,所以，,所以,即,即,是偶函数。,2.,函数的周期性,1.1,函数的概念,定义,3,给定函数,y,f,（,x,），,xD,，若存在常数,T,使得,xDx,TD,且,f,（,x,T,）,f,（,x,），,xD,，则称,f,（,x,）为周期函数，常数,T,称为周期满足条件的最小正数,T,称为,f,（,x,）的最小正周期,，通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期例,sinx,，,cosx,是周期为,的函数，,tanx,，,cotx,是周期为,的函数以,T,为周期的函数图像沿,x,轴方向左右平移,T,的整数倍，图像将重合,3.,函数的单调性,定义,4,若对于区间,I,内任意两点,x,，,x,，当,x,x,时，有,f,（,x,）,f,（,x,），则称,f,（,x,）在,I,上单调增加（如图,1-3,），区间,I,称为单调递增区间；若,f,（,x,）,f,（,x,），则称,f,（,x,）在,I,上单调减少（如,图,1-4,），区间,I,称为,单调递减区间,单调增加与单调减少分别称为递增与递减 单调递增区间或单调递减区间统称为,单调区间,。,1.1,函数的概念,图,1-3,图,1-4,.,函数的有界性,1.1,函数的概念,定义,若存在正数,M,，使得在区间,I,上,|f,（,x,）,|M,，则称,f,（,x,）在,I,上有界否则称为无界,例如,函数,y,cosX,在区间（,，,）内有,|cosX|,，所以函数,y,cos X,在（,，,）内是有界的,1.2,初等函数,1.2.1,基本初等函数,常函数：,y,c,（,c,为常数）。,幂函数：,y,x,（,为常数）。,指数函数：,y,a,x,（,a,，且,a,，,a,为常数）。,对数函数：,y,log,a,x,（,a,，且,a,，,a,为常数）。,三角函数：,y,sinx,，,y,cosx,，,y,tanx,，,y,cotx,。,以上函数的定义域、值域、图像和性质列表，见,P5,表,1.1,1.2.2,复合函数,定义,设,y,是,u,的函数,y,f,（,u,），,u,是,x,的函数,u,（,x,），如果,u,（,x,）的值域或其部分包含于,y,f,（,u,）定义域中，则,y,通过中间变量,u,构成,x,的函数，称为,x,的,复合函数,，记为,y,f,（,x,）,，其中,x,是自变量，,u,是中间变量,例,1.6,设,y,2,u,，,u,sin x,，则由这两个函数组成的复合函数为,y,2,sin x,复合函数也可以由两个以上的函数经过复合构成，例如，由函数,y,sin u,，,u,e,，,tan x,复合后可得复合函数,y,sin e,tan x,例,1.7,函数 是由哪些基本初等函数复合而成的？,解设,，则 是由函数,复合而成的复合函数。,1.2.3,初等函数,由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的，并且能用一个式子表示的函数，称为,初等函数,。,例如,，,等都是初等函数而,不满足有限次运算，,1.2,初等函数,不是一个解析式子表示，因此都不是初等函数。,例,1.8,设,，试分析它的结构。,解,函数,可分解为,1.2,初等函数,1.3,利息、贴现及常用经济函数,1.3.1,单利、复利与贴现,1.,单利计算公式,设初始本金为,P,元，银行年利率为,r,第一年末的利息为,P,r,，本利和为,第二年利息不计入本金，即本金为,P,，第二年末的利息仍为,P,r,，,本利和为,依此方法，第,n,年末的本利和,S,n,为,(1.1),2.,复利计算公式,设初始本金为,P,元，银行年利率为,r,第一年末的本利和为,第二年利息计入本金，第二年末的利息为,，本利和为,依此方法，第,n,年末的本利和,S,n,为,（,1.2,）,例,1.9,设有初始本金,2000,元，银行年储蓄利率为,试求：,（）按单利计算，年末的本利和是多少？,（）按复利计算，年末的本利和是多少？,解,（）本金,P,2000,元，年利率,r,0.04,，存期年，由单利计算公式（,1.1,）知,（）由复利计算公式（,1.2,）知,1.3,利息、贴现及常用经济函数,1.3,利息、贴现及常用经济函数,3.,贴现,债券或其他票据的持有人，为了在票据到期以前获得资金，从票面金额中扣除未到期期间的利息后，得到所余金额的现金，这就是贴现,假设未来,n,年复利年利率,r,不变，,n,年后到期价值,R,的票据现值为,P,，则由复利计算公式（,1.2,）可得,例如,，复利年利率为，年后到期价值是,1000,元的票据的现值为,1.3.2,需求函数与供给函数,1.,需求函数,一种商品的市场需求量与消费群体的人数、收入、习惯及该商品的价格等诸多因素有关，为简化问题的分析，我们只考虑商品价格对需求量的影响，而其他因素暂时保持某种状态不变，需求量犙可以看成价格犘的一元函数，称为,需求函数,，记作,1.3,利息、贴现及常用经济函数,一般地，价格犘越高，需求量犙要下降；价格犘越低，需求量犙要上升，所以需求函数为价格犘的单调减少函数,常见需求函数有以下几种类型：,（）线性需求函数,均为常数；,（）二次需求函数,均为常数；,（）指数需求函数,.,供给函数,在市场经济规律作用下，某种商品的市场供给量将依赖于该商品的价格高低，价格上涨将刺激该商品的供给量增多，供给量,S,可以看成是价格,P,的函数，称为供给函数，记作,1.3,利息、贴现及常用经济函数,.,市场均衡,由于需求函数,Q,是单调减少函数，供给函数,S,是单调增加函数，若把需求与供给曲线画在同一坐标系（如,图,1-5,），它们将相交于一点（,P,，,Q,），这里的,P,就是供、需平衡的价格，叫做,均衡价格,，,Q,就是,均衡数量,，此时我们称之为,市场均衡,例,1.10,某种商品的供给函数和需求函数分别是,求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量,解,按市场均衡条件,Q,S,，即,25P,10,200,5P,，则,P,，此时,Q,200,165,，即市场均衡价格为,7,，市场均衡数量为,165,1.3,利息、贴现及常用经济函数,1.3.3,成本、收入和利润函数,在生产和产品经营活动中，成本、收入和利润这些经济变量都与产品的产量或销售量,q,密切相关，它们都可以看成,q,的函数，分别称为,总成本函数,，记作,C,C,（,q,）；收入函数，记作,R,R,（,q,）；利润函数，记作,L,L,（,q,）,1.,总成本函数,总成本,C,由固定成本,C,和可变成本,C,两部分组成固定成本,C,0,如厂房、设备、企业管理费等与产量,q,无关可变成本,C,如原材料费、劳动者工资等随产量狇的变化而变化，即,C,C,（,q,），这样总成本,C,C,C,（,q,）,平均成本，记作 ，其中,C,（,q,）是总成本,.,1.3,利息、贴现及常用经济函数,2.,收入函数,收入,是指销售某种商品所获得的收入，又可分为,总收入,和,平均收入,设,P,为商品价格，,q,为商品的销售量，则有,总收入函数：,平均收入函数：,.,利润函数,生产一定数量的产品的总收入与总成本之差就是它的总利润，记作,其中,q,为产品数量,它的平均利润，记作,1.3,利息、贴现及常用经济函数,例,1.13,已知生产某种商品狇件时的总成本（单位：万元）为,该商品每件售价是万元，试求：,（）该商品的利润函数；,（）生产,10,件该商品时的总利润和平均利润；,（）生产,40,件该商品时的总利润,例,1.14,已知某种商品的成本函数为 ，销售单价定为,11,元件，试求该商品的盈亏平衡点，并说明随产量,q,变化时的盈亏情况,本章小结,一、本章主要内容及学习要点,1.,函数的概念,2.,函数的基本性质,3.,反函数和复合函数,4.,基本初等函数与初等函数,5.,经济函数,二、重点与难点,1.,重点,2.,难点,Thank You!,经济数学,Economic mathematics,第,2,章 极限与连续,学习目标,了解极限的描述性定义，左右极限的定义,握极限四则运算法则，熟练使用两个重要极限,了解无穷小的定义及性质，了解无穷小与无穷大的关系，会利用其求极限,理解并会利用无穷小的比较求极限方法,了解函数连续的定义，会判断函数在一点的连续性,了解闭区间上连续函数的性质，会求函数的间断点,2.1,极限,2.1.1,数列的极限,1.,极限的概念,图,2.1,2.1,极限,图,2.2,图,2.3,定义,设有数列,a,n,，当,n,无限增大时，,a,n,无限接近于某个确定的常数 ，那么 就称为数列,a,n,的极限，记作,此时，也称数列,a,n,收敛于 ，否则称数列没有极限，或称,数列发散,2.1,极限,2.,数列极限的性质,性质,若数列收敛，则其极限值必唯一,性质,若数列收敛，则它必有界,性质,单调有界数列必有极限,2.1.2,函数的极限,1.x,的情形,定义,如果当,x,无限增大时，函数,（,x,）无限地接近于某一个确定的常数 ，则称 为函数,（,x,）当,x,时的极限，记作,例,2.1,判断当,x,时，,的极限情况,解,如,图,2.4,为,的图像，可以看出，当,和,x,时，,图像无限接近于零，所以,即,x,2.1,极限,图,2.4,定理,当,x,时，函数,（,x,）的极限存在的充分必要条件是当,x,时和,x,时函数,（,x,）的极限都存在而且相等，即,2.xx,0,的情形,定义,设函数,(x),在,x0,的左右两侧有定义，如果当,x,无限接近,x0,时，函数值,(x),无限接近于某一确定的常数 ，则称 是函数,(x),当,xx,0,时的极限，记作,2.1,极限,定义,当,x,从,x,0,左侧（或右侧）无限接近于,x,0,时，函数,(x),无限地趋于某一确定的常数 ，则称 时，函数,(x),的左,(,右,),极限为 ，记作,例,2.2,求当,x,时，函数,（,x,）,x,的极限,解,如,图,2.5,所示，当,x,从的左右两侧接近于时，对应的函数值从数值两侧无限接近于，因此,图,2.5,图,2.6,2.1,极限,例,2.3,当,x1,时，函数,(x),的极限情况,解,如,图,2.6,所示，,x,无限接近于时，,(x),的函数值从数值,4,的两侧无限接近于,4,，即,例,2.4,设函数,解,如,图,2.7,所示，当,x,从的右侧接近于时，函数值,（,x,）接近于数值，即,当,x,从的左侧接近于时，,函数值,(x),接近于数值,-1,，,关于函数,(x),在一点处极限存在有如下定理,:,定理,2.1,极限,图,2.7,图,2.8,2.1,极限,例,2.5,设函数,问当,x,时，,(x),的极限是否存在？若存在是多少？,解,如,图,2.8,所示，当,x,从的左侧接近于时，有,；当,x,从的右侧接近于时，有,存在的定理知，函数,(x),在,x,时极限存在，,根据极限在一点处,2.1.3,函数极限的性质,性质,（唯一性）如果函数,(x),的极限存在，则极限值唯一,性质,（夹逼定理）设函数,(x),，,g(x),，,h(x),在,x,0,的左右两侧满足条件：,则,2.1,极限,2.1.4,函数极限的四则运算法则,定理,如果,则,例,2.6,求,解,例,2.7,求,解,2.1,极限,例,2.8,求,解,习题,2.1,见课本,P21,。,2.2,两个重要极限与无穷小、无穷大,2.2.1,两个重要极限,1.,重要极限,注意，第,重要极限形式为,形式，为了强调其形式，可形象记为,其中方框,代表同一变量。,例,2.9,解,2.2,两个重要极限与无穷小、无穷大,例,2.10,解,例,2.11,解,例,2.12,解,2.2,两个重要极限与无穷小、无穷大,例,2.13,解,2,重要极限,重要极限,的形式是,类型，为了强调其形式，我们也,可将它表示为,其中方框,表示同一变量,2.2,两个重要极限与无穷小、无穷大,例,2.14,解,例,2.15,解,例,2.16,解,2.2,两个重要极限与无穷小、无穷大,2.2.2,无穷小量（简称无穷小）,1,无穷小的定义,定义,以零为极限的变量称为无穷小量，简称无穷小，常用希腊字母,，,，,来表示无穷小关于无穷小一定要注意以下几点：,（）谈无穷小一定离不开自变量的变化趋势,（）不能把无穷小混同于一个非常小的数，但零是唯一可以作为无穷小的常数，因为,lim0,例,2.19,自变量狓在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小,（）因为,解,，所以,x,时,是无穷小,2.2,两个重要极限与无穷小、无穷大,（）因为,（）因为,（）因为,无穷小的性质,性质,有限个无穷小的代数和是无穷小,性质,有界函数与无穷小的乘积是无穷小,例,2.20,解,因为,是有界函数，所以,2.2,两个重要极限与无穷小、无穷大,推论,常数与无穷小的乘积是无穷小,性质,有限个无穷小的积是无穷小,2.2.3,无穷大量（简称无穷大）,定义,在自变量狓的某个变化过程中，若相应函数值的绝对值,|,（,x,）,|,无限增大，则称,（,x,）为该自变量变化过程中的无穷大量，简称无穷大，记作,（,x,）,例如，,是,x,时的无穷大，可记为,无穷大要注意以下几点,（）谈无穷大不能离开自变量的变化趋势,（）不能将无穷大与非常大的常数混为一谈,（）借用,（,x,）,，并不表示,（,x,）的极限存在，事实上,（,x,）的极限不存在,2.2,两个重要极限与无穷小、无穷大,2.2.4,无穷小与无穷大的关系,定理,在自变量的同一个变化过程中，无穷大的倒数是无穷小，除常数零外的无穷小的倒数是无穷大,例如,，当,x,时，,x,是无穷小，则当,x,时，为无穷大,又例如，当,x,时，,x,是无穷大，则当,x,时，,是无穷小,2.2.5,无穷小的比较,定义,设,和,是同一变化过程中的无穷小，即,lim=0,，,lim=0,2.2,两个重要极限与无穷小、无穷大,定理,设,、,、,、,是同一变化过程中的无穷小，且有,，,，若,（或无穷大），则,例,2.21,求下列极限：,2.2,两个重要极限与无穷小、无穷大,解,2.3,函数的连续性,2.3.1,函数连续的定义,定义,设,x,x,x,是自变量的增量，,y,（,x,）,（,x,）是函数的增量，函数,y,(x,）在,x,的左右两侧（含,x,点）有定义，当自变量的改变量,x,趋于零时，相应的函数改变量,y,也趋于零，即,则称,y,(x,）在点,x,处连续,函数,（,x,）在点,x,处连续必须满足以下个条件：,例,2.22,若,（,x,）,x,，证明,y,（,x,）在,x,处连续,证明,2.3,函数的连续性,而,，所以函数,在,x,处连续,例,2.23,设某城市出租车白天的收费（单位：元）,x,与路程（单位：）狓之间的关系为,讨论函数,(x),在,x,处是否连续,解,2.3,函数的连续性,故函数,(x),在,x,处连续,2.3.2,连续函数的运算,连续函数的四则运算,设函数,(x),g(x),在点,x,处连续，则有以下性质,性质,(x),g(x),在,x,处连续,性质,(x),g(x),在,x,处连续,性质,若,处连续,2.3,函数的连续性,复合函数的连续性,定理,设函数,u,g,（,x,）在,x,x,处连续，,y,(u),在,u,g(x,0,),处连续，则复合函数,y,g,（,x,）在,x,点处连续,例,2.24,解,例,2.25,解,2.3,函数的连续性,例,2.26,解,例,2.27,解,在求连续的复合函数极限时，极限符号与函数符号可交换次序，即,2.3,函数的连续性,2.3.3,闭区间上连续函数的性质,性质,（有界定理）若,(x),在,a,，,b,上连续，则,(x),在,a,，,b,上有界,性质,（最值定理）若,(x),在,a,，,b,上连续，则,(x),在,a,，,b,上必能取得最大值和最小值,性质,（介值定理）若,(x),在,a,，,b,上连续，且最大值和最小值分别为,M,和,m,，则对于介于,m,和,M,之间的任意实数,C,（,m,C,M,），必定存在点,（,a,，,b,），使得,（,）,C,2.3.4,函数的间断点,定义,如果函数,(x),在,x,0,处不连续，则称点,x,0,为,(x),的一个间断点,根据连续的定义，有下列三种情况之一的点,x,即为函数,(x),的间断点：,（）在点,x,0,处，,(x),无定义；,（）在点,x,0,处，,(x),的极限不存在；,（）在点,x,0,处有定义，且有极限，但,2.3,函数的连续性,例,2.28,解 因为,左、右极限存在但不相等,所以,x,为,(x),的跳跃间断点,例,2.29,的间断点,解,(x),在,x,处无定义，所以,x,是,(x),的间断点,而,所以,x,是,(x),的可去间断点,2.3,函数的连续性,例,讨论,处间断点的类别,解,因为,例,解,进一步可知，当,x,时，,在和之间振荡，,所以,x,是,的振荡间断点,本章小结,一、本章主要内容及学习要点,极限的概念,无穷小与无穷大的概念,连续的概念,函数的间断点及其类型的判定,极限的计算方法,求函数连续区间的方法,二、重点与难点,重点,难点,Thank You!,经济数学,Economic mathematics,第,3,章 导数与微分,学习目标,理解导数的概念，导数的几何意义，会求曲线的切线方程，了解可导与连续的关系,了解左右导数的概念，了解可导的充要条件,熟练掌握导数基本公式，四则运算法则，复合函数求导法则,会求二阶导数以及较简单函数的狀阶导数,了解微分概念，掌握求微分的方法,3.1,导数的概念,3.1.1,两个引例,变速直线运动的瞬时速度,设一物体做变速直线运动，其运动方程（路程,s,与时间,t,之间的函数关系）为,s,s,（,t,），求该物体在,t,时刻的瞬时速度,当时间由,t,变到,t,t,时，物体经过的路程为,从,t,到,t,t,这一段时间的平均速度,表示为,当,t,很小时，可以用 近似表示为物体在,t,时刻的瞬时速度，,t,越小，就越接近物体在,t,时刻的瞬时速度而,t,时刻的瞬时速度即为平均速度当,t,的极限，即,3.1,导数的概念,切线的斜率,图,.,3.1,导数的概念,设曲线,L,的方程为,y,f(x),求此曲线上点,M,处切线的斜率,k,（图,.,）,设,M,、,N,是曲线,L,上的任意两个定点，作直线,MN,，称,MN,为曲线,L,的割线，当点,N,沿曲线,L,趋于定点,M,时，割线,MN,趋于极限位置,MT,，称,MT,为曲线,L,在点,M,处的切线,下面求切线,MT,的斜率,k,设点,M,的坐标为（,x,，,f(x),），点,N,的坐标为（,x,x,，,f(x,0,x,），割线,MN,对,x,轴的倾角为,，切线,MT,对,x,轴的倾角为,，割线,MN,的斜率为,当,x,时，点,N,就沿曲线,L,趋于点,M,，此时割线,MN,就随之趋于它的,极限位置,MT,，所以当,x,时，若 的极限存在，则,定义此极限值为曲线,L,在点,M,处的切线,MT,的斜率,k,，即,3.1,导数的概念,3.1.2,导数的定义,定义,设函数,y,f(x),在点,x,及近旁有定义，当自变量,x,在,x,处取得增量,x,时，相应的函数,y,取得增量,y=f(x,0,x,）,-f(x,0,),；如果极限,则称函数,y,f(x),在点,x,0,处可导，并称这个极限值为函数,y,f(x),在点,x,处的导数，记作；,如果极限不存在，则称函数,y,f(x),在点,x,处不可导,定义,设函数,y,f(x),在,x,点及左侧（右侧）有定义，若极限,3.1,导数的概念,存在，则称此极限为函数,y,f(x),在点,x,处的左（右）导数，记作,也可写成另一种形式,定理,函数,y,f(x),在,x,点可导的充分必要条件是它在这一点处的左、右导数存在且相等,左右导数的定义及定理主要用于判断闭区间的左右端点的可导性及分段函数分界点处的可导性,3.1,导数的概念,例,3.1,解,因为,f(0)=,，所以有,3.1,导数的概念,3.1.3,利用定义求导数,根据导数的定义求导数，可归纳为以下三个步骤（俗称求导三步曲）,（）当自变量,x,在,x,处取得增量,x,时，求函数,y,相应的增量,（）求两个增量的比值,（）求当,x,时，,的极限，即,例,3.2,求常数函数,y,C,的导数,解,（）求增量：因为,y,C,不论,x,取什么值，,y,的值总等于,C,，所以,3.1,导数的概念,（）算比值：,（）取极限：,即常数函数的导数等于零,例,3.3,求函数,y,x,的导数，并求,解,3.1,导数的概念,例,3.4,求,f(x,）,x,n,（,n,为正整数）在,x,a,点的导数,解,若将,a,视为任一点，并用,x,取代,a,，即得,更一般地，,3.1,导数的概念,例,3.5,求函数,f,（,x,）,sin x,的导数,解,3.1,导数的概念,例,3.6,解,3.1,导数的概念,即,3.1.4,导数的几何意义,由引,例,及导数的定义可知，函数,y,f,（,x,）在,x,处的导数,f(x,）就是该曲线在,x,点处的切线斜率,k,，从而得到曲线,y,f,（,x,）在点,x,处的切线方程为,法线方程为,但要注意函数在某一点导数不存在不等于它对应的曲线在该点无切线，如曲线在某点的切线垂直于狓轴，而函数在这一点却不可导,例,3.7,求曲线,y,x,在点（，）处的切线和法线方程,解因为,y=,（,x,）,=,x,，由导数的几何意义知，曲线,y,x,在点（,1,，,1,）处的切线斜率为,所以，所求切线方程为,y,（,x,）即,y,x,3.1,导数的概念,法线方程为,3.1.5,导数的经济应用,某产品的总成本函数是 ，,q,是产品的产量，当产量由,q,0,变到,q,0,q,时，总成本相应的改变量为,则总成本的变化率为,当,q,时，极限,为,q,时的总成本的变化率，又称,边际成本。,是产量,同样收入函数,R,R,（,q,）的导数,R,R,（,q,）称为边际收入；利润函数,L,L,（,q,）的导数,L,L,（,q,）称为,边际利润,3.1,导数的概念,3.1.6,可导与连续的关系,定理,如果函数在点,x,处可导，则在该点处必连续,注意,：本定理的逆定理不成立，即连续未必可导,例如,，函数,因为,处连续，但,不可导，,即,y,|x|,在,x,处连续，但该函数在,x,处的左导数是,而右导数是,左右导数不相等，故函数在该点不可导，所以连续是可导的必要而非充分条件,所以,3.2,求导法则,3.2.1,函数的和、差、积、商求导法则,定理,若函数,u,（,x,）与,v,（,x,）在点,x,处可导，则,（）函数,u,（,x,）,v,（,x,）在点,x,处可导，且,（）函数,u,（,x,）,v,（,x,）在点,x,处可导，且,（）特别对任意常数,C,，有,（）若,v,（,x,）,，函数,在点,x,处可导，且,其中法则（）、（）可推广到有限个函数的情形，下面只给出法则（）的证明,3.2,求导法则,证,则,例,3.8,解,3.2,求导法则,例,3.9,解,例,3.10,解,3.2,求导法则,3.2.2,复合函数的求导法则,定理,如果,u,（,x,）在点,x,处可导，而,y,f,（,u,）在对应的点,u,（,x,）处可导，则复合函数,y,f,（,x,）在点,x,处可导，且有,若,y,f,（,u,），,u,（,v,），,v,g,（,x,），则复合函数,y,f,g,（,x,）的导数为,例,3.16,求下列函数的导数,解,（）函数,y=(1-2x),是由,y=u,，,u=1-2x,两个函数复合而成的,3.2,求导法则,（）函数,y,sin,x,是由函数,y,u,，,u,sin x,复合而成,所以,所以,3.2,求导法则,例,3.17,解,例,3.18,解,3.2,求导法则,3.2.4,基本初等函数的求导公式,现把基本初等函数求导公式归纳如下：,3.2,求导法则,3.2.6,高阶导数,连续两次以上对某个函数求导数，所得的结果称为这个函数的,高阶导数,定义,如果函数,y,f,（,x,）的导数,f,（,x,）在点,x,处可导，则称,f,（,x,）在点,x,处的导数为函数,y,f,（,x,）在点,x,处的二阶导数,类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，,（,n,）阶导数的导数叫做,n,阶导数，分别记作,y,，,y,(4),，,x,（,n,）,函数的二阶及二阶以上的导数统称为,函数的高阶导数,3.2,求导法则,例,3.26,解,例,3.27,解,例,3.28,解,3.3,函数的微分及应用,3.3.1,微分的概念,先分析一个具体问题一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由,x,变到,x,x,（如,图,3.2,），问此薄片的面积改变了多少？,图,3.2,3.2,求导法则,定义,设函数,y,f,（,x,）在点,x,及其近旁有定义，,x,x,仍在这个范围内，如果函数的增量。,可表示为,其中,A,是不依赖于,x,的常数，而,（,x,）是比,x,高阶的无穷小，那么称函数,y,f,（,x,）在点,x,处是可微的，而,Ax,叫做函数,y,f,（,x,）在点,x,处的微分，记作,dy,，即,定理,函数,y,f(x),在点,x,处可微的充要条件是,f,（,x,）在点,x,处可导，且有,dy,f,(x)x,关于定义及定理的几点说明：,（）由定义知,dx=x,，,dx,称为自变量的微分，从而,dy,f(x)dx,（）由 因此函数的导数,f(x,）,又称为函数的微商,3.2,求导法则,（）由定理知，一元函数的可导与可微是等价的，但它们是有区别的：导数是函数在一点处的变化率；而微分是函数在一点处由自变量增量所引起的函数增量的主要部分，由于它是,x,的线性函数，因此又称微分为线性主部，导数值只与,x,有关，而微分值与,x,和,x,都有关,（）定理告诉我们，求函数的微分,dy,只需求出函数导数,f(x),，然后再乘以,dx,即可,（）函数的微分,dy,与其增量,y,之间有关系,事实上,3.2,求导法则,例,3.30,求函数,y,x,在,x,1,，,x,0.03,时的改变量和微分,解,而,则,比较,y,与,dy,知，,y,dy,0.092727-0.09=0.002727,较小,3.3.2,微分的几何意义,图,3-3,3.2,求导法则,3.3.3,微分基本公式与运算法则,3.2,求导法则,1.,微分基本公式,2.,函数的和、差、积、商的微分运算法则,设,u,（,x,）、,v,（,x,）都是可微函数，则有,3.2,求导法则,3.,复合函数微分法则,设函数,y,f,（,u,）可微，根据微分的定义，函数,y,f,（,u,）的微分是,如果,u,不是自变量，而是狓的函数,u,（,x,）且可微，则复合函数,y,f,（,x,）的导数为,于是，复合函数,y,f,（,x,）的微分为,由于,所以,3.2,求导法则,例,3.31,解,例,3.32,解,例,3.32,解,3.2,求导法则,3.3.4,微分在近似计算中的应用,从微分的定义可知，,ydy,，（当,|x|,很小），即,例,3.35,某工厂每周生产,x,件产品所获得利润为,y,元，已知,当每周产量由,100,件增至,102,件时，试用微分求其利润增加的近似值,解,由题意，,x,100,，,x,dy,102-100,2,，,因为,3.2,求导法则,例,3.36,解,则,3.2,求导法则,在公式,（,3.2,）,中，令,x,0,+x,x,，且,x,0,0,，则公式（,3.2,）变为,利用公式,（,3.2,）,可以推得下面几个在工程上常用的近似计算公式,例,3.37,证明下列近似式,证：,（）令,f(x),ex,，则,f,（,x),ex,当,x,时，,f(,),1,，,f(,),1,，由,f(x)f(,)+f(,)x,得,ex1,x,（）令,f(x)=ln(1+x),，则 当,x,0,时，,f(0),0,，,f(0),1,，由,f(x)f(0),f(0)x,得,ln(1+x),x,本章小结,一、本章主要内容及学习要点,1.,导数的概念,2.,导数的计算,3.,微分,4.,可导（可微）与连续的关系,二、重点与难点,1.,重点,2.,难点,Thank You!,经济数学,Economic mathematics,第,4,章 导数的应用,学习目标,了解罗尔中值定理，理解拉格朗日中值定理及其推论,熟练掌握用洛必达法则求 型和 型未定式极限的方法,掌握函数单调性的判别法，会求单调区间,理解函数极限值的概念，了解极值点、驻点、不可导点之间的关系，掌握求极值的方法,掌握函数凸凹性的判别法，会求函数的拐点,了解函数最值的概念，会求闭区间上函数的最值，熟练掌握求平均成本函数、收入函数、利润函数等常见经济函数的最值方法,理解边际、弹性的概念及其经济意义，掌握求成本、收入和利润等经济函数边际的方法，掌握求弹性特别是需求弹性的方法,4.2,洛必达法则,4.2.1,型不定式，有如下定理,定理,(,洛必达法则,),设函数,f(x),，,g(x),在,x,0,的左右两侧可导，且满足：,4.2,洛必达法则,例,4.6,解,这是,型不定式，且满足洛必达法则条件，故有,例,4.7,解,例,4.8,解,4.2,洛必达法则,例,4.11,这是,类型，应用洛必达法则,解,例,4.12,解,例,4.13,解,原式,4.3,函数单调性的判别,利用拉格朗日中值定理，导出一个根据导数符号确定函数单调性的简便方法,图,4.2,从,图,4.2,可以看出：如果函数在某区间上单调增加,(,单调减少,),，则它的图形是随,x,的增大而上升,(,下降,),的曲线，如果所给曲线每一点处都存在非铅直的切线，则曲线上各点处的切线斜率非负,(,非正,),，即,f(x),(f(x),),4.3,函数单调性的判别,定理,设函数,y,f(x),在区间,a,，,b,上连续，在,(a,，,b),内可导,(,),如果在,(a,b),内,f(x),，则函数,f(x),在,a,b,上单调增加,(,),如果在,(a,b),内,f(x),，则函数,f(x),在,a,b,上单调减少,证,不妨设,x,1,x,2,则函数,f(x),在,x,1,x,2,应用拉格朗日中值定理，得,如果在,(a,，,b),内恒有,f(x),0,，必有,f(),，又因,x,-x,1,，则定有,f(x,2,)f(x,1,),所以函数,f(x),在,a,，,b,上单调增加,同理，如果在,(a,，,b),内,f(x),；当,x,x,时，,f(x),，那么,x,是,f(x),的极大值