5-1微分方程基本概念PPT课件.ppt

第五章 微分方程基础,学习目标,：,1.,了解微分方程的基本概念、微分方程的类型和微分方程解的结构,.,2.,会解简单一阶微分方程：可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程,.,3.,会解特殊的二阶常系数线性微分方程和利用微分方程可以解决简单自然科学、工程技术等问题,.,1,微分方程的基本概念,2,一阶微分方程,3,可降阶的一些高阶微分方程,4,几种 微分方程的模型,John Bernoulli(1667-1748),一、微分方程举例,第一节,微分方程的基本概念,二、常微分方程的基本概念,一、微分方程举例,实例,1,某银行帐户以当年余额的,3%,的年利率连续每年盈利利息,.,假设最初存入的数额为1,万元，并且这之后没有其他数额存入和取出，求帐户中余额所满足的方程,.,在自然科学、社会科学和工程技术等诸多领域中，,所遇到的实际问题的规律，大多可以用函数及其,导数或微分的关系式来表达，这种关系式就是微分方程,.,解：,设,为时刻,时的余额，并且这以后没有存入,和取出，那么余额的变化率就等于利息，即,余额的增长率,=,当时余额,3%,所以，有,方程,是为解应用题所列出的一个,微分方程,将方程写成,两边积分，得,如果设任意常数,为任意常数,就得到：,因为最初存入的是,1,万元，所以,即,将此条件代入,可解得,于是帐户中的余额所满足的方程为：,实例,2,设曲线过点,(,1,1,),，且其上任意点,P,(,x,y,),的切线在,y,轴上截距是切点纵坐标的三倍，求此曲线方程,.,解,设所求的曲线方程为,y,=,y,(,x,),，,P,(,x,y,),为其上任意点，,其中,(,X,Y,),是切线上动点,(,x,y,),是曲线上任意固定的点,.,x,y,O,P,(,x,y,),L,令,X,=0,，得切线在,y,轴上的截距为,Y,=,y,-,xy,，,y,-,xy,=3,y,，,这是一个,微分方程,（这里暂不求解）,由题意，得,实例,3,控制系统元部件：,(,如图所示）,输入电压,与输出电压,之间的微分方程：,整理可得方程：,假定,R,、,L,、,C,都是常数，上面方程是一个含有二阶导数,的,微分方程,定义,1,凡含有未知函数导数,(,或微分,),的方程,，,二、常微分方程的基本概念,称为,微分方程,，,有时,简称为方程,，未知函数是一元函数的微分方程,称做常微分方程,，,未知函数是多元函数的微分方程,称做偏微分方程,.,本教材仅讨论常微分方程，并简称为微分方程,.,(,1,),y,=,kx,k,为常数；,例如，下列方程都是微分方程,(,其中,y,v,q,均为未知函数,).,(,2,),(,y,-,2,xy,)d,x,+,x,2,d,y,=0,；,(,3,),mv,(,t,),=,mg,-,kv,(,t,),；,微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，,称为,微分方程的阶,.例如，方程,(,1,),-,(,3,),为一阶微分方程，,通常，,n,阶微分方程的一般形式为,F,(,x,y,y,y,(,n,),)=0,，,其中,x,是自变量，,y,是未知函数，,F,(,x,y,y,y,(,n,),),是已知函数，,而且一定含有,y,(,n,),.,(,4,),(,5,),方程,(,4,),-,(,5,),为二阶微分方程,.,如果方程,F,(,x,y,y,y,(,n,),)=0,的左端为,y,y,y,(,n,),的一次有理整式，则称之为,为,n,阶线性微分方程,。否则称为,非线性方程,。,例如：,是二阶非线性微分方程。,(,y,-,2,xy,)d,x,+,x,2,d,y,0,是一阶线性微分方程；,说出以下微分方程,的,阶,，并回答方程是否线性的,：,一般形式,正规形式,定义,2,任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解,.,微分方程的解：,若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同,，,且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的,通解,(,或一般解,),.,当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的,特解,.,例如方程,y,=2,x,的解,y,=,x,2,+,C,中含有一个任意常数且与该方程的阶数相同，,因此，这个解是方程的通解；,如果求满足条件,y,(0)=0,的解，代入通解,y,=,x,2,+,C,中，,得,C,=0,那么,y,=,x,2,就是方程,y,=2,x,的特解,.,实例,1,中，,是通解，,是特解,.,二阶微分方程的初始条件是,即,y,(,x,0,)=,y,0,与,y,(,x,0,)=,y,0,，,一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为,初值问题,.,求解某初值问题，就是求方程的特解,.,用来确定通解中的任意常数的附加条件一般称为初始条件,.,通常一阶微分方程的初始条件是,常记为,补充例,1,验证函数,y,=3e,x,x,e,x,是方程,y,+,2,y,+,y,=0,的解,.,解,求,y,=3e,x,x,e,x,的导数，,y,=-,4e,x,+,x,e,-,x,y,=5e,x,-,x,e,-,x,将,y,，,y,及,y,代入原方程的左边，,(5e,x,-,x,e,-,x,),+,2(,-,4e,x,+,x,e,-,x,),+,3e,x,x,e,x,=0,，,即函数,y,=3e,x,x,e,x,满足原方程，,得,有,所以该函数是所给二阶微分方程的解,.,得,C,=,2,，故所求特解为,y,=2,x,2,.,补充例,2,验证方程 的通解,为,y,=,Cx,2,(,C,为任意常数,),，,并求满足初始条件,y,|,x,=1,=,2,的特解,.,解,由,y,=,Cx,2,得,y,=2,Cx,将,y,及,y,代入原方程的左、右两边，,左边有,y,=2,Cx,，,所以函数,y,=,Cx,2,满足原方程,.,又因为该函数含有一个任意常数，,所以,y,=,Cx,2,是一阶微分方程,将初始条件,y,|,x,=1,=,2,代入通解，,补充例,3,已知直角坐标系中的一条曲线通过点,(,1,2,),，且在该曲线上任一点,P,(,x,y,),处的切线斜率等于该点的纵坐标的平方，求此曲线的方程,.,解,设所求曲线的方程为,y=y,(,x,),，,根据导数的几何意义及本题所给出的条件，,y,=,y,2,，,即,积分得,又由于已知曲线过点,(1,2),，代入上式，得,所以，求此曲线的方程为,得,书上例,1,例,3,请同学们阅读,.,作 业,P139,习题,5-1,选,