答：我们可在等产量曲线上-找出一点-使其斜率为零-亦即.doc

答：我们可在等产量曲线上，找出一点，使其斜率为零，亦即（全面版）资料
答：（1）我们可在等产量曲线Q1上，找出一点D，使其斜率为零，亦即MRTSLK为零：
因为
所以 MPL=0
由此可知在点D时，其资本K=K1，而配合资本K1所使用的劳动L1会使产量TPL最大（因为MPL=0）；而若沿K1D线由点D向右移，此时劳动L的投入增加了，但总产量却下降了，亦即此时MPL<0；即由点D向右移动便进入了劳动生产的第三阶段，以此类推，我们可在不同的等产量曲线上，找出其斜率为零（即MRTSLK=0）的点出来，再将这些点连接，则我们可得出一条曲线OT，在脊线OT右移的L与K的组合为处于劳动生产的第Ⅲ阶段。
（2）同理，我们可在等产量曲线Q1上找出一点B，而点B的斜率为，亦即MRTS等于，即：
由于
所以
由此可知在点B时，其劳动L=L2，而配合劳动L2所用的资本K2会使产量TPK最大（因为此时MPK=0）；而若我们沿着L2B线由点B向上移动，此时资本投入增加了，但总产量却下降了，亦即此时MPK<0；因此，可在不同的等产量曲线上，找出其斜率为的点，再将这些点连接，亦可得到一条OS的等斜线；而凡处于等斜线OS上方的L与K组合，皆为资本生产的第Ⅲ阶段。

图4—6 等产量曲线与生产的三个阶段曲线图

两种面包产品的产量配比问题
姓名：陈明富 学号：20071060005 学院：信息 专业：计科
摘要：通过MATLAB来对两种面包产品的产量配比问题
进行求解

实验内容：
田园食品公司生产的面包很出名。他们生产两种面包：一种是叫“唐师”的白面包，
另一种是叫“宋赐”的大黑面包。每个唐师面包的利润是0.05 元，宋赐面包是0.08 元，两
种面包的月生产成本是固定的4000 元，不管生产多少面包，该公司的面包生产厂分为两个部，分别是烤制和调配。
烤制部有10 座大烤炉，每座烤炉的容量是每天出140 台，每台可容纳10个唐师面包或5个更大的宋赐面包。可以在一台上同时放两种面包，只需注意宋赐面包所占的空间是唐师面包的两倍。
调配部每天可以调配最多8000个唐师面包和5000个宋赐面包。有两个自动调配器分
别用于两种面包的调配而不至于发生冲突。
田园公司决定找出这两种面包产品的最佳产量比，即确定两种面包的日产量，使得在
公司面包厂的现有生产条件下利润最高。
问题分析：
设决策变量分别为：
x————唐师面包的日产量；
x————宋赐面包的日产量；
根据题意，烤制部有10 座大烤炉，每座烤炉的容量是每天出140 台，则共有台数1400 （台）。
又每台可容纳10个唐师面包或5个更大的宋赐面包，则最多每天唐师和宋赐共占有
（台）
则第一个约束条件：≤1400
根据调配部调配唐师和宋赐面包的限制可知，有约束条件：
x ≤8000, x ≤5000
目标函数是利润最大。
Max Profit=0.05 x+0.08x-4000/30
整理成标准的线性规划模型：
Max Profit=0.05 x+0.08x-4000/30
s.t. ≤1400
0 ≤x1 ≤8000, 0 ≤x2 ≤5000
使用MATLAB 软件求解该线性规划模型。程序如下：

c=[-0.05;-0.08];
A=[0.1,0.2];
b=[1400];
xlb=zeros(2,1);
xub=[8000;5000];
x0=[0;0];
x=lp(c,A,b,xlb,xub,x0)
profit=-c.*-4000/30

计算结果：
x = 8000 3000 （最优解）
profit = 506.6667 （目标函数值）
参见以下图形：

体会：
1）问题的解决首先是对问题的认识，才能建立起符合实际问题的数学模型；
2）我已经懂得了怎样建立规划模型的基本步骤。

历年粮食产量：

历年人均粮食产量：

可见，中国粮食生产可以分为以下阶段：
1949—1958年：百废待兴，一五计划，兴修水利，粮食产量几乎翻番。到1958年，人均接近300千克，几乎可以解决粮食问题了。
1959—1961年：受到大跃进的严重干扰，再加上连年严重自然灾害，粮食产量倒退回1950年的水平，人均只有1949年的水平。再加上还要拿粮食偿还苏联的外债，导致大面积饥荒。
1962—1977年：继续大力兴修水利，培育良种，发展化肥工业。粮食产量受到政治运动影响，时有起伏。但总体增幅依然可观，人均从229千克增长到近300千克。
1978—1984年：兴建化肥厂，大力推广良种(比如杂交水稻)，大幅提高粮食收购价格，另外包干到户也解放了一部分生产力。
1985—1996年：粮食产量依然时有起伏，总体增幅可观。到1996年，突破5亿吨，人均突破400千克。
1997—2003年：三农问题突出，农业收入下降，种粮积极性锐减，导致粮食产量连年下滑。到2003年，人均只有330千克，不如1982年的水平。
2004—2021年：重新振兴农业，废除农业税，提高粮食收购价格，提高补贴水平，粮食连续6年增产。

不过，值得注意的一点是，至今很多地方的农田水利建设依然是吃50，60年代的老本，投入不足，抗自然灾害的能力较差。

粮食水分仪

产品简介
卤素加热快速水份测定仪是我公司新研制的新型快速水分检测仪器。环状的卤素灯确保样品得到均匀加热，操作简便、测量准确。水分测定仪在测量样品重量的同时，仪器采用环形管卤素加热方式，快速干燥样品，在干燥过程中，水分仪持续测量并即时显示样品丢失的水分含量％，干燥程序完成后，最终测定的水分含量值被锁定显示。与国际烘箱加热法相比，卤素加热可以在高温下将样品均匀地快速干燥，样品表面不易受损，其检测结果与国标烘箱法具有良好的一致性，具有可替代性，且检测效率远远高于烘箱法。一般样品只需几分钟即可完成测定。该仪器操作简单，测试准确，显示部分采用红色数码管，示值清晰可见，分别可显示水分值，样品初值，终值，测定时间，温度初值，最终值等数据，并具有与计算机，打印机连接功能。因此该水分仪可广泛应用于一切需要快速测定水分的行业，如医药，粮食、饲料、种子，菜籽，脱水蔬菜、烟草，化工，茶叶，食品、肉类以及纺织，农林、造纸、橡胶、塑胶、纺织等行业中的实验室与生产过程中。

　　产品技术指标：
　　1、称重范围：0-90g
　　2、称重最小读数：0.001g
　　3、样品质量：0.5-90g
　　4、加热温度范围：室温-205℃
　　5、水分含量可读性：0.01％
　　6、显示参数：7种
　　7、通讯接口：RS 232
　　8、外型尺寸：380×205×325（mm）
　　9、功率：270W（工作）；20W（待机）
　　10、电源：220V±10％
　　11、频率：50Hz±1Hz
　　12、净重：3.7Kg

河南兄弟仪器设备依靠自身强大的社会资源、品牌优势、经营优势，以优于市场的水份测试仪的价格向广大新老顾客朋友提供价格实惠、品质优良的该仪器设备；河南兄弟仪器设备公司拥有最齐全的水份测定仪的型号，欢迎新老顾客朋友订购。

粮食仓储企业信用等级评分表

被调查单位： 填表日期： 年 月 日 3-1页
内 容
标准分数
得分
备 注
一、综合素质

1、实收资本不低于500万元

2、实收资本占全部资产的比率不低于20%

3、仓储设备利用率（全年平均贮粮[吨]/设备能力[吨]）达60％

4、仓储粮食能力在5000吨以上

5、各种证照齐全有效、及时年检（营业执照卫生许可证粮食经营许可证）

6、法人代表、经营层人员素质、业绩、经营管理能力

7、经营场所形象好、安全、卫生

二、财务能力

8、资产负债率（负债总额/资产总额）不大于60%

9、流动比率（流动资产/流动负债）达130%

10、速动比率[（流动资产—存货）/流动负债]达60%

11、应付帐款支付率[（期初+本期—期末）/（期初+本期）]不低于90%

12、 利息按期支付率达100%（实际支付利息/到期利息）

13、到期 偿还率100%

14、销售回款率（年仓储费回款额/年销售总额）不低于90%

15、净资产收益率（税后利润总额/净资产平均余额）不低于8%

16、销售利润率（利润总额/销售收入）不低于8%

3-2页
内 容
标准分数
得分
备 注
三、管理水平

17、经营场所或仓库的房屋、房顶不漏水、不渗水、天花板无脱落，墙壁和地板不漏水、不渗水，易清洁打扫，保持整洁明亮。有防尘、防虫、防雀、防蝇、防鼠设施。

18、不得贮藏无QS标志、无质检报告、过期、变质的粮食，不得与粮食经销商勾结以次充好、冒牌经营；

19、自采或代贮粮食必须有检验合格证或化验单，建立供应商的质量资质档案。

20、服务有标准或约定（或行业惯例），并能达到标准或约定

21、陈化粮必须按 规定处理

22、贮藏场所必须远离污染源，距厕所粪池等污染源25米以上

23、计量器具鉴定合格，实际误差不超过有关规定

24、各项管理职责明确、程序规范、执行严格

25、粮食装运工具必须洁净、干燥，不得将有毒、有害、易污染的物品混装混运，防止污染。

26、粮食存放应设有隔离平台，通风良好、阴凉干燥，在低温和常温下储存，以免在储存中变质。

四、竞争力状况

27、近三年利润增长趋势，本年计划执行情况

28、近三年销售额增长趋势，本年计划执行情况

29、近三年资本金增值率(期末所有者权益/期末所有者权益)

30、环境条件演变趋势、竞争对手发展趋势

3-3页
内 容
标准分数
得分
备 注
五、社会信用记录

31、兑现服务承诺

32、用户满意度（抽样调查）

33、价格、收费无违规，欺诈行为

34、产品样本、包装、说明书、企业介绍、广告宣传无虚假

35、完税率100%（全年实缴税/全年应缴税）

36、无销货不开发票及多开、虚开发票行为

37、不拖欠各种行政事业收费（土地、城建、卫生、环保等）

38、不拖欠公益企业费用（水、电、暖、通讯、煤气等）

39、不拖欠养老 和失业 费

40、对外交往无失信、单方面毁约、损害社会公益行为

分数与信用等级对应关系：91-100分： AAA级； 81-90分：AA级； 71-80分：A级； 41-70分：B级； 40分≥：C级
注：有下列事项不得评为A级企业
1、有偷逃税款、拖欠利息半年以上行为； 4、经营陈化粮，过期变质粮；
2、工商执照、税务、卫生许可证、从业人员健康合格证等必须齐全； 5、经营食品添加剂超标粮；
3、两年内受到过有关部门的警告、处罚或媒体曝光； 6、其他严重影响企业信誉行为。

杭州明坤纺织服装
大燙当日产量报表
系号
姓名

总数
1
赵艳东

2
蒋金召

3
刘心荣

4
王福林

5
朱文雷

6
韩新民

7
李文根

8
梁祖明

9
傅新强

10
李伟汉

11

12

13

14

15

16

17

18

小计

组别：

日期：

廿六. 第二型曲线积分(对坐标的曲线积分)
例 在R2的力场F = (P, Q) (即F (x, y) = (P (x, y), Q (x, y)))中有一单位质点沿R2中的光滑曲线L: x = x (s), y = y (s) (0≤s≤l) 从点M(s = 0)移动到N(s = l ), 求F所作的功W.
解 设T = {s0 = 0, s1 , …, sn = l }是[0, l ]的分割, Pk (x (sk), y (sk )), 相应地, L被分为n段, 在第k段上, F看作常量F (Qk) (Qk =(x (xk), y (xk )), xk ∈(sk-1, sk)), 且把该段看作有向线段 P k-1 Pk, 其方向与Qk处的单位切向量t (Qk)相同, 则F沿第k段作的功Wk ≈F (Qk) ×t (Qk) Dsk, 故
W = (用第一型线积分记号) =.
显然, 若指定质点从N到M, 则F作的功与上述应差一个符号. 因此这种积分与指定曲线的方向有关. 规定了方向的曲线称为有向曲线或定向曲线. 以上讨论与维数无关.
由于t = (x' (s), y' (s)), t ds = (x' (s) ds, y' (s) ds) = (dx, dy) = dr, 这里r = (x, y)是平面上点的位置向量, 故通常把写作(书上把dr写成ds, 不好)或dx+Qdy
(详细地写, 是), 并称之为第二型曲线积分, 或对坐标的曲线积
分. 当L的始点为M, 终点为N时也记为 ,. 当L为闭曲线
时, 常记为. 当L为分段光滑曲线时, 定义
=.
计算方法: 设L的方程为x = x (t), y = y (t) (a≤t≤b), 且始点对应于t = a, 终点对应于t = b, 则由第一型曲线积分的计算公式, 并注意
t =,
有 =(=) =)x' (t) + Q (x(t), y(t)) y' (t)) dt.
这个计算公式相当于在中把x, y的表达式代入, 并使积分下、上
限为对应于始、终点的t的值得到.
对空间曲线L: x = x (t), y = y (t), z = z (t)(a≤t≤b)和F = (P, Q, R), r = (x, y , z),
+ Rdz (=) = ….
△ 计算I =x 2 + y 2) dx +( x 2 - y 2) dy, L : 1) 折线OAB, 这里, O (0,0), A (1,1), B
(2,0); 2) 线段OB, O, B同1).
解 1) OAB的方程为I =.
2) I =.
△ 计算I =, G : 半平面x > 0中的光滑曲线始点为(1,0), 终
点为(6,8).
解 设t0 , t1依次与始、终点对应, 则
I = = 9.
(此积分与路径无关, 后面将进一步讨论.)
△ 计算I =3x2 + 6y) dx - 14yzdy + 20xz2 dz . 路径为折线(0,0,0)→(1,0,0)→
(1,1,0)→(1,1,1).
解 I = ((3x2 + 6y) dx - 14yzdy + 20xz2 dz
=+dz = 1 + 0 +.
△ 计算I = y - z) dx + (z - x)dy + (x - y) dz . G : 柱面x 2 + y 2 = 1与平面x + y + z
= 0的交线, 从z轴的正向看去, 沿逆时针方向.
解 G 的参数方程为x = cosq , y = sinq , z = -x - y = - (cosq + sinq ), 0≤q ≤2p .
I = -3) dq = -6p .
△ 计算I =+ yzdy+zxdz, L为上半球x 2 + y 2 + z 2 = R 2 (z≥0)与圆柱面x 2 + y 2 =
Rx的交线, 方向同上题(图见p.240).
解 x = ½ R + ½ R cosq , y = ½ R sinq , z == R sin(0≤q ≤2p ).
I =- sin 3 q + 4 sin 2cosq + 4 cos 5) dq =(0 + () + 0) =.
(计算上述积分时, 对第二个用分部积分, 第三个用代换q = p - u, = = 0.)
△F作用, 力的方向指向原点, 大小与质点到xy平面的距离成反比. 若质点沿直线x = at, y = bt, z = ct (c≠0)从M (a, b, c)到N (2a, 2b, 2c), 求力所作的功.
解 | F | =(为常数), ∴F = (-),其中r =,∴W =
.

廿七. Green定理 (Green公式)
平面区域边界的定向.
Green公式 =Qx - Py ) dxdy . 条件: P, Q在D上是C (1)类的.
注 它等价于= -, =.
证 设D是如图所示的x型域, 则=(pdx=(x, f (x))
dx + 0 ++ 0 =P (x, f (x) - P (x, g (x)) dx, ==
P (x, g (x) - P (x, f (x)) dx. ∴= -.
类似地, D是y型域时=.
因此, 当D既是x型域又是y型域时Green公式成立.
设D可以分解为有限个既是x型域又是y型域的区域, 则对每个区域用Green公式, 并注意公共边界上线积分之和为0, 便可得证.
对一般的D, 证明略. (前引北大第三册p.319有对单连通区域的证明.)

(1) 对矩形域[a, b]×[c, d ]证明;
(2) 对可变换为(1)中矩形域的区域证明;
(3) 对可分解为有限个(2)中区域的区域证明.
推论1. - Q dx =Px + Qy) dxdy .
2. | D| == -=- ydx
(¶D:a≤t≤b)=xy'-x' y)dt .
△ 求椭圆x = a cosq, y = b sinq (0≤q ≤2p ) 所围的的面积. (pab.)
△ 求星形线x = a cos 3t , y = b sin 3 t (0≤t≤2p )所围的面积. ((3/8)pab.)
△ (p.227例3) 计算抛物线(x + y) 2 = ax (a > 0)与x轴所围面积. ((1/6)a 2 .)
△ 计算I =, L : 以(0,10, (1,0), (-1,0)为顶点的三角形, 正向. (1/3.)
△求, C : x 2 + y 2 = R 2, 正向.()
△ 计算, L : | x | + | y | = 1, 正向. (2p )
△ 计算I =, 路径为上半圆周x 2 + y 2 = 2x.
解 设A (2,0), O (0,0), D: x 2 + y 2≤2x(y≥0), 则
I += -e xcos y - excos y +1)dxdy = -,== 0, I = -.
△ 计算, D : 任意△ABC .
解 Qx - Py = x 2 , 因而可取P = 0, Q = x 3 / 3. 设A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)且正向为
A→B→C, 则I =. 因为AB的方程为y =x + 常数, 故
dx =(y2 - y1)(x1 + x2)(x12 + x22 ).
同理, =(y3 - y2)(x2 + x3)(x22 + x32 ),=(y1 - y3)(x3 + x1)(x32 + x1 ).
∴ I =( (y2 - y1)(x1 + x2)(x12 + x22 ) + …).

第八章曲线积分与曲面积分
本章是把定积分概念推广到定义在曲线是的函数和定义曲面上的函数上去，就得到曲线积分和曲面积分。
§1对弧长的曲线积分
问题：设有一曲线形构件占面上的一段曲线，设构件的质量分布函数为，设定义在上且在上连续，求构件的质量。

定义：设为平面上的一条光滑的简单曲线弧，在上有界，在上任意插入一点列，，…，把分成个小弧段的长度为，又是上的任一点，作乘积，，并求和，记，若存在，且极限值与的分法及在的取法无关，则称极限值为在上对弧长的曲线积分，记为：，即。
其中叫做被积函数，叫做积分曲线。
对弧长曲线积分的存在性：
设在光滑曲线上连续，则一定存在。
对弧长曲线积分的性质：
1、
2、
3、设，则
这里规定：若是封闭曲线，则曲线积分记为

有上述对弧长的曲线积分，则上面的问题就可以用对弧长的曲线积分表示为

对弧长的曲线积分的计算法：
在一定体积下化为定积分计算，首先要注意：
1、定义在曲线上，
2、是弧长微分。
定理：设在光滑曲线上连续，由参数方程给出，其中、在上具有连续导数且，则存在，且：。
若方程为：，，则。
若方程为：，，则
例1、计算，其中：
例2、计算，其中：从到的弧。

例3、计算，其中：

例4、计算，其中是以，，为顶点的三角形的边界。

对空间曲线有着类似的定义和计算公式
。
若的方程由参数方程给出：
则
例5、计算，其中：

例6、设：与的交线。求。

例7、螺旋线方程为，在其上分布有密度为的质量，求其对轴的转动惯量。
§2对面积的曲面积分
一、对面积的曲面积分的概念与性质
问题：设有一构件占空间曲面，其质量分布密度函数为，求构件的质量。
处理问题的思想方法类似于分布在平面区域的质量问题。

定义：设为光滑曲面，函数在上有界，把任意地分成个小曲面，在每个小曲面上任取一点作乘积
，并求和，记的直径，
若存在，且极限值与的分法及在上的取法无关，则称极限值为在上对面积的曲面积分，记为：
，即。
其中叫做被积函数，叫做积分曲面，称为面积元素。
对面积的曲面积分的存在性：
若为光滑曲面，在上连续，则一定存在。
有了这个定义，分布在上的质量为：
当时，的面积。
当为平面上的区域时，即是上的二重积分，

性质：对面积的曲面积分是二重积分的推广，所以二重积分的性质都可推广到对面积的曲面积分上去。
特别是，则
二、对面积的曲面积分的计算法：
在讨论的计算法之前，注意到：
1、是光滑或分片光滑，在上连续。
2、是定义在上，即点应在上变动，应满足的方程。
3、是曲面上的面积元素。
设的方程为，在平面上的投影区域是有界闭区域，在上具有连续的偏导数，于是，上的点为则存在，且：
。
即若的方程为，计算时，只要把换为
，用的方程为代入，在的投影区域上计算二重积分。
例1、计算，为平面位于第一卦限部分。
例2、计算，为立体的边界曲面。

若光滑曲面的方程为(或)，在(或)平面上的投影区域为(或)这时对面积的曲面积分可化为：

或。
例3、计算，其中为界于与之间。

例4、设一质量沿曲面分布，其密度函数为，试用对面积的曲面积分表示：1)总质量，2)静力矩，3)重心坐标，4)关于坐标轴、坐标面的转动惯量。

§3对坐标的曲线积分
一、概念与性质
变力沿曲线作功问题：
设一质点在平面内受到变力作用从A点沿光滑曲线移动到B点，求变力所作的功。

定义：设是平面上的一条光滑有向曲线弧，、在上有界，用上的点，，…，把分成个小有向弧段，设，，又是上的任一点，作乘积，，并求和，记，若存在，且极限值与的分法及在的取法无关，则称极限值为在上对坐标的曲线积分，记为：，即。
同理定义为在上对坐标的曲线积分。、称为被积函数，叫做积分曲线。
上述定义可推广到空间曲线的情形：
，
，
。
应用中常遇到，这时简记为
对坐标曲线积分的存在性：
设有向曲线光滑，、在上连续，则、一定存在。
对坐标曲线积分的性质：

二、对坐标曲线积分的计算法：
定理：设、在光滑的有向曲线弧上有定义且连续，的参数方程为：。当参数从单调变到时，动点从的起点沿运动到的终点，、在为端点的区间上连续且具有连续导数，且，则一定存在，且：

注意：1、、定义在上，同对弧长的线积分类似，要用曲线方程代入。
2、对坐标的曲线积分与曲线的起点和终点有关，故积分只能从起点的参数到终点对应的参数积分，不论参数的大小如何。
3、若曲线弧的方程由或给出，只要把之看为参数方程就可以计算。
例1、计算，其中为：
1)沿曲线从到的一段弧。
2)沿从经到的折线段。

例2、计算，其中为：从沿曲线到。

例3、计算，其中为：
1)抛物线从到的一段弧。
2)抛物线从到的一段弧。
3)沿从经到的折线段。

对坐标的曲线积分的计算法可直接推广到空间曲线的情形.
例4、计算，为：，，，t从0变到1的一段弧。

例5、计算，为：()，的交线。
解：，，，

三、两类积分之间的联系
设参数方程，起点和终点所对应的参数分别为和，、在为端点的区间上具有连续导数且，且、在上连续，则：
又有向曲线的切向量的方向余弦为：
，
于是

从而有
例1、把化为对弧长的曲线积分，其中为沿抛物线从到的一段弧。
解：：，起点为，终点为，
，
原式＝。

§4格林公式
一、格林公式
1、 单连通区域：设为平面区域，若内任一条闭曲线所围的区域都属于，则称为单连通区域，否则为复连通区域。
2、 区域边界正向：设区域的边界曲线为，规定的正向为：当人行走时，区域靠近边界部分在其左侧，则该方向为的边界曲线的正向。
3、 设闭区域由分段光滑的曲线围成，函数、在上具有连续的偏导数，则：
其中为边界的正向。
例1、计算，其中是以，，为顶点的三角形的边界正向。

例2、计算，其中为不过原点的任一光滑的闭曲线的正向。

例3、计算，为上半圆周从到。

例4、计算，为以，，为顶点的三角形。

利用曲线积分可求闭曲线所围区域的面积。
例5、求由及所围图形的面积(第一象限部分)。

二、平面曲线积分与路径无关的条件
1、 曲线积分与路径无关
设为开的单连通域，、在内具有一阶连续的偏导数，、是内的任意两点， 、是内从到的任两条有向曲线，若恒有：
则称曲线积分在内与路径无关。
结论：曲线积分在内与路径无关在内沿任一条闭曲线积分为0。

设为开的单连通域，、在内具有一阶连续的偏导数，则沿内任一条闭曲线积分为0的充要条件是

例1、计算，其中为过，，的圆弧。

例2、计算，其中为沿从到。

三、二元函数的全微分求积
对式子：，若存在某个函数使
即，则称
是某个函数的全微分。
、要满足什么条件时才是某个函数的全微分？
定理：设为开的单连通域，、在内具有一阶连续的偏导数，则在内为某个函数的全微分的充要条件是
在内恒成立。
由定理知：在内为某个函数的全微分，
与路径无关，当起点固定，是终点的函数，记为
这时也称是的一个原函数。
求原函数的一个方法：

例1、验证在平面上是某个函数的全微分并求其一个原函数。

例2、计算

为开的单连通域，、在内具有一阶连续的偏导数，则下列四个命题等价：
1、在内与路径无关。
2、沿内任一条闭曲线。
3、在内为某个函数的全微分。
4、在内恒成立。

§5对坐标的曲面积分
一、概念与性质
1、 双侧曲面，有向曲面
能区分出曲面的侧的曲面叫做双侧曲面，通常遇到的曲面都是双侧曲面，例如由方程表示的曲面有上下侧之分，由方程表示的曲面有前后侧之分，由方程表示的曲面有左右侧之分，封闭曲面有内外侧之分。
一般地：在上任取一点，当该点在上连续运动不经过边界而回到原来位置，其法向量也回到原来位置，这个曲面就叫双侧曲面。
对坐标的曲面积分需要对曲面规定方向，也叫做指定曲面的侧，而指定曲面的侧通常是规定曲面上法向量的指向。如：所表示的曲面，如果取它的法向量指向朝上，即与轴正向夹角，这时就认定曲面取上侧，若的指向朝下，就认定曲面取下侧。这种规定了曲面上法向量指向，即选定曲面的侧的曲面叫做有向曲面。
2、 有向曲面的投影
设为有向曲面，在上取一小块有向曲面，把投影到平面得到一平面区域，其面积为，假定上各点处的法向量与轴正向夹角的余弦保持确定的符号，即都为正或都为负，则规定在平面上的投影为：
在面上的投影实质上就是在面上的投影区域的面积再附上一定的符号。类似可定义在、面上的投影。
3、 设稳定流动不可压缩流体的速度场由表示，为场中的一块有向曲面，函数都是是的连续函数，求单位时间内流向指定一侧的流量。
因区域不是平面区域而是曲面，流速不是常量，所以不能用初等方法，但是，上面引出各类积分概念一再使用过的方法可用来解决目前的问题；
分割：任取上的一小块有向曲面，
近似代替：，
求和：，

取极限
4、对坐标曲面积分的定义
设为光滑的有向曲面，函数在上有界，把任意地分成个小曲面，在平面的投影为，在每个小曲面上任取一点作乘积，并求和，
记的直径，若存在，且极限值与的分法及在上的取法无关，则称极限值为在上对坐标的曲面积分，记为，即
。
其中称为被积函数，称为积分曲面。
同理可定义
。
。
应用上出现较多的是：的情形
一般上式简记为
若是封闭曲面，则在上对坐标的曲面积分记为：

对坐标的曲面积分的存在性：
若光滑，函数、、在上连续，则、、在上对坐标的曲面积分都存在。
5、 性质：与对坐标的曲线积分类似。
1)若,则

2)设的反侧曲面记为，则：
其他几个积分类似。
上述的性质说明：对坐标的曲面积分不仅与被积函数有关，与积分曲面有关，还与曲面的方向有关。

二、对坐标曲面积分的计算：
首先注意：
1)被积函数定义在上，点在上变动，要满足的方程。
2)是有向小曲面在面上的投影的象征，同理，，是有向小曲面在坐标面的投影元素，由正负之分。
设：取上侧，在面上的投影区域为上，在上有连续的偏导数，在上连续，则：

若取下侧，则
同理：设：，在面上的投影区域为，则：

其中取前侧取+，取后侧取－。
设：，在面上的投影区域为，则：

其中取右侧取+，取左侧取－。
例1、计算，其中为球面，，的外侧。
原式
例2、计算，其中是，及三坐标面围成的第一卦限立体曲面的外侧。

三、两类曲面积分之间的联系
设的方程为，在平面上的投影区域为，在上连续，在上连续，则有：
由于取上侧，与轴正向夹角：，，

若取下侧，则有：，
而此时，

所以有：
同理：

从而得两类曲面积分之间的联系：

其中：，是上任一点的法向量。
例3、计算，为：在平面上方部分的上侧。
解：的方向余弦为：
，，
原式。

§6高斯公式、通量散度
一、高斯公式
格林公式揭示了平面区域上的二重积分与区域边界正向曲线上对坐标的曲线积分之间的关系，在空间区域上的三重积分与边界上 对坐标的曲面积分之间有类似的关系。
定理：设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面围成，函数、、在上具有一阶连续的偏导数，则有：

其中为的边界曲面的外侧。
例1、 计算，其中是，及三坐标面围成的第一卦限立体曲面的外侧。

例2、计算，其中为
的内侧。

例3、计算，其中为
绕轴旋转一周所成的曲面的外侧。
例4、计算，其中为：，，围成的区域边界的外侧。

应用高斯公式计算对坐标的曲面积分有三点优点：
1、对坐标的曲面积分化为三重积分时，曲面取外侧，省去直接计算时化为二重积分时确定符号的麻烦。
2、一般比、、简单，故积分也简单。
3、三重积分计算方法比较灵活，可采用不同的坐标系计算积分。

应用高斯公式计算对坐标的曲面积分有注意：
1、是闭曲面。若不是闭曲面，可采用补上若干块曲面后使之成为闭曲面，补上的曲面要与原曲面构成外侧或内侧。
2、也可用高斯公式。
二、沿任意闭曲面积分为零的条件
定理：设是空间二维单连通区域，、、在内具有一阶连续偏导数，则曲面积分：在内沿任一闭曲面的曲面积分为零或在内与所取曲面无关而只取决于的边界曲线的充要条件是：在内恒成立。
例5、计算，其中为曲线
绕轴旋转一周所成的曲面的外侧。

三、通量与散度
高斯公式
的物理意义：
设稳定流动不可压缩的流体的速度场由
确定，场中的有向光滑曲面上点的单位法向量，则在单位时间内流过指定一侧的流体的总质量（流量）为：

若是闭域的边界的外侧，则：
公式左边是流体在单位时间内离开区域的流体的总质量，由于假定流体是不可压缩三，因此在流体离开的同时，内部必须有产生流体的源头产生同样多流体补充，所以高斯公式的右端不是分布在内的源头在单位时间内所产生流体的总质量。
高斯公式两边同除以的体积
左边利用中值定理，
令缩向一点，取极限得：

左边的表达式叫做在的散度，记为，
即
有散度高斯公式可改写为：
例、，求

§7斯托克斯公式、环流与旋度
一、Stokes公式：
定理：设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界曲线的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手法则，函数P、Q、R在包含在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有

若是xOy面上 得到有向闭曲线，则上式就是