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列车荷载在地基中引起的应力响应分析（全面版）资料
第24卷 第7期 岩石力学与工程学报 Vol.24 No.7 2005年4月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering April，2005
列车荷载在地基中引起的应力响应分析
王常晶1，陈云敏2
(1. 浙江大学 岩土工程研究所，浙江 杭州 310027；2. 浙江大学 城市学院，浙江 杭州 310015)
摘要：用弹性地基上Timoshenko梁及其在移动荷载作用下的动力解计算得到地基表面与路堤之间的反力。将其视
为作用于地基表面的荷载，以单位移动荷载引起的半空间地基内部应力解为基础，对反力在作用空间上进行积分，
得到了列车速度小于地基中Rayleigh波速时，列车荷载在地基中引起的稳态应力响应解答。通过与列车振动现场
测试结果(路堤位移和速度)的比较，证明了所采用模型的合理性。给出了应力及其分布随时间和空间坐标的变
化，分析了应力的特性及分布规律，发现列车经过时在地基中产生的动应力是一种以压应力为主的循环荷载。动
应力的空间分布与地基表面作用静力荷载(如条形荷载)产生的应力分布相似，但随列车运动而呈动态变化。还研究
了半空间地基的土性和列车速度对应力的影响，发现剪切模量对应力的影响与车速有关，列车速度对应力分布的
影响很大，尤其是当速度比超过0.6时，而泊松比仅对水平应力影响较大。
关键词：土力学；Timoshenko梁；列车；循环荷载
中图分类号：TU 435 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2005)07–1178–09
ANALYSIS OF STRESSES IN TRAIN-INDUCED GROUND
WANG Chang-jing1，CHEN Yun-min2
(1. Institute of Geotechnical Engineering，Zhejiang University，Hangzhou 310027，China；2. City College，Zhejiang University，
Hangzhou 310015，China)
Abstract：Based on the theory of Timoshenko beam on elastic foundation and its dynamic solution under moving loads，the train-induced reaction forces between ground surface and embankment are calculated. Exerting the reaction forces on the ground surface，the corresponding steady-state stresses in ground are obtained by integrating the basic solution of a moving point load on the surface of an elastic half-space. The results are valid only for train speed lower than Rayleigh wave velocity in ground. Compared with the in-situ testing results of train vibration，including embankment displacement and velocity，it is shown that the presented model is reasonable. The variation of stresses with spatial co-ordinates and time is presented. Characters and distribution patterns of stresses are studied. The dynamic stresses seem to be a kind of particular cyclic loads，which are mainly compression stresses. The distribution of dynamic stresses is similar to that of stresses induced by static load (such as strip load) on the ground surface，but changes with train motion. The influence of ground properties and train speed on stresses is also presented. It is found that the influence of shear modulus on stresses is dependant on train speed，and the influence of Poisson′s ratio on horizontal stresses is significant. The train speed also affects the stress distribution greatly，especially when speed ratio is over 0.6.
Key words：soil mechanics；Timoshenko beam；train；cyclic loading
收稿日期：2003–12–01；修回日期：2004–02–25
项目：教育部优秀青年教师奖励 项目
作者简介：王常晶(1978–)，女，2000年毕业于浙江大学土木工程系，现为博士研究生，主要从事列车振动方面的研究工作。E-mail：wang@yahoo. com 。
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1 引 言
近年来，高速列车作为一种高效、经济、环保的运输手段，在许多 得到了广泛的重视与发展。但由于受到土地资源的限制，导致越来越多的铁路线通过深厚的软土地区，其引起的沉降随着列车速度的增加而不断加大。在瑞典 铁路局和其他单位联合进行的高速列车振动的现场测试中，发现高速列车的通过引起了非常大的沉降，已经超过了保证铁路安全运营的界限[1]
。即使列车速度较低，饱和软粘土地基在其长期循环荷载作用下也很有可能会产生较大的附加沉降[2
，3]
。近年来，不仅列车振
动产生机理受到重视，而且列车产生的地面振动也成为研究热点。已经有很多模型被用来分析列车产生的地面振动
[4～7]
。但还未查阅到列车荷载作用下
地基内部应力响应的相关文献，而应力分析对于研究列车引起的饱和软粘土地基附加沉降具有重要意义。
本文的目的是研究分析列车在地基内部引起的动应力特性。计算分两步：用弹性地基上Timoshenko梁在移动荷载作用下的动力解计算列车在地基表面引起的反力；将此反力作为作用于地基表面的移动荷载，计算其在地基内部引起的应力。通过现场测试结果对模型进行了验证。计算给出了应力随时间和空间的变化，并分析了地基土性和荷载移动速度对应力的影响。
2 地基表面反力及内部应力解答
2.1 路堤位移及地基表面反力
令x，y，z为Cartesian坐标，x轴平行于列车移动方向，y轴垂直于列车移动方向，z轴为竖直方向。将列车荷载简化为一系列以列车车速移动的集中荷载；忽略路堤系统内部各部分之间的相互作用，将路堤系统视为一个整体，用Timoshenko梁代替；地基简化为土弹簧，模型如图1所示。

(a) 列车荷载作用下的路堤简化模型

(b) 单个移动荷载下的Timoshenko梁
图1 路堤模型 Fig.1 Embankment model
图1(a)的解可以由图1(b)的解对多个荷载叠加而得，可表示为
∑n
wt(x，t)=wi(xv−xi) (1)
i=1
式中：wi(xv−xi)为第i个移动荷载所产生的位移，具体公式可以参阅文[8]，xv为移动坐标，xv=
x−V0t。根据式(1)，当列车速度接近弹性地基Timoshenko梁的最小相速度时，路堤位移迅速增大。
通过地基弹簧刚度，将其转化为地基表面与路堤之间的反力，可表示为
q=kswt/B (−B/2≤y≤B/2) (2) 式中：ks为地基弹簧刚度，B为路堤宽度。
路堤系统包括钢轨、道碴、枕木、路堤等多个部分，利用式(1)，(2)计算路堤振动及地基表面反力时，关键是计算参数的确定。一种方法可以直接对已有的振动实测结果进行反演，得到计算参数。当没有振动的现场测试资料时，可进行现场土动力特性试验，分别测得各部分的力学参数。因为在模型中假设梁变形后的截面仍为平面，所以可按照下式计算路堤的弯曲刚度和剪切刚度的等效值：
n
D=∑EiIi (3)
i=1
m
C=k∑GiAi (4)
i=1
式中：D为等效弯曲刚度；C为等效剪切刚度；Ei，
Gi分别为路堤系统中第i个组成部分的弹性模量和剪切模量；Ii和Ai分别为第i个组成部分对截面中性轴的惯性矩和截面积；k为剪切系数[9]；n为路堤系统不同组成部分的数量。
地基弹簧刚度可以根据文[10]来确定，其中包括经验法、K30试验法等方法。在铁路工程中，主要是由K30试验法确定。
现场土动力特性试验所测得的土性参数往往是
低应变值，当列车车速增大时，路堤和地基变形增大，此时路堤和地基的力学参数会随变形的增大而
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减小[1]。如有必要可以在计算时根据具体情况和已有资料对计算参数进行适当的调整和修正。 2.2 地基内部应力
通过对不同位置反力随时间变化的分析可以知道，对应某一列车速度，列车引起的地基表面与路堤之间的反力是一种以列车速度向前移动的定常荷载[11]。所以在该反力作用下地基内部的应力响应可以通过对单位移动荷载作用下的应力响应进行空间积分得到(见图2)。

图2 地基表面与路堤之间反力作用下半空间内部的应力 Fig.2 Stresses in ground by reaction force between ground
surface and embankment
σ(x0，y0，z0，t)=
∫σ
∗
(x
0−x，y0−y，z0，t)dP(x，y，t)=
∫
L/22∗
−L/2
∫
B/−B/2
σ(x0−x，y0−y，z0，t)q(x，y，t)dxdy
(5)
式中：σ∗(x0−x，y0−y，z0，t)为半空间表面作用
单位移动集中荷载时在其内部产生的应力，其解答参见文[12]。式(5)只适用于荷载移动速度小于半空间中Rayleigh波速的情况，这也是实际工程中最普遍、最重要的一种情况。当列车速度接近地基中的
Rayleigh波速时，地基中的动应力会迅速增大。文中计算的应力，正号表示拉应力，负号表示压应力。 2.3 模型的验证
地基表面与路堤之间的反力是联系列车–路堤系统与地基的桥梁。采用正确、合理的方法计算反力对保证整个计算理论的合理性是非常关键的，而反力的计算精度又直接取决于路堤位移的计算。为了验证文章所采用的路堤位移和反力计算公式的合理性，利用图1所示模型及式(1)对如图3所示的
X2000列车所产生的路堤振动进行模拟，并与实测结果进行比较。路堤振动速度是通过式(1)对时间求导得到的。振动的现场测试是由瑞典 铁路管理局管理(Banverket)于1997年进行的，
地点在瑞典的Ledsgård[1]。计算中取路堤弯曲刚度为150 MN・m2，密度为1 900 kg/m3，横截面积为8.8 m2，泊松比为0.3，地基刚度为8 MPa，最小相速度223.6 km/h。所取参数值略小于文[1]中现场动力试验所测值。

图3 X2000列车荷载和Ledsgård测试中的土层分布
Fig.3 Wheel loads of X2000 train and simplified profile of
soil in the Ledsgård test[1]
从图4路堤振动位移w、振动速度v的比较中可以看出，车速V0为70和142 km/h时，计算结果与实测结果吻合得很好。204 km/h的车速已经接近于路堤的最小相速度，其振动形态发生了较大的变化，所以2种结果有一定的差别，尤其是在位移和速度的峰值上。但时程曲线的大致性状还是基本吻合。
图5是3种速度时振动频率的比较，两者还是比较接近的。上述的对比说明式(1)，(2)是合理的，可以用来计算路堤振动位移和反力。

(a) V0 = 70 km/h
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堤地面之间的反力并将其作用于地基表面，用式(5)对地基内部动应力进行计算。令t = 0时，列车的中部位于坐标原点处。计算中车速V0=30 m/s，轴向荷载P1=P2=L=Pn=160 kN，B=4 m，路堤泊松比νb=0.3，地基弹簧刚度ks=5 MPa，路堤密度
ρb=1 900 kg/m3，弯曲刚度D=270 MN・m2，剪切
刚度C=11 769 MN，最小相速度Vmin=179 m/s，地基剪切模量Gs= 10 MPa，泊松比νs= 0.45，密度ρs=
1 800 kg/m3，剪切波速74.5 m/s，Rayleigh波速70.9

(b) V0 = 142 km/h
m/s。
图7是3个方向动应力的时程曲线。可以看出应力随时间呈周期性变化，说明当列车经过时，地基土是处于循环荷载的作用下。这里的动应力与一般的拉压等幅的循环荷载不同，主要是压应力。一列列车经过时的作用次数取决于列车轴向荷载的数目以及轮轴间距。这里，对一列列车而言有7次循环次数。如果考虑经过同一地点的所有列车，可知列车长期运营期内地基土所受循环荷载的作用次数是非常大的。

(c) V0 = 204 km/h
选择图7上的3和5 s这2个时间，计算x =
图4 路堤振动位移与速度的比较
Fig.4 Comparison of embankment displacement and velocity
150 m平面上的竖向应力，见图8。地基中的应力分布、应力状态都是随列车移动动态变化的，但应力的空间分布规律基本保持不变。所以对水平应力的空间分布，只给出t = 5 s时的情况，如图9(a)和(b)所示。可以看出应力的分布与条形荷载等静力荷载作用于地基表面引起的应力分布相似，这是因为文中得到的是地基稳态响应的解答，且列车速度小于地基中Rayleigh波速时，在地基中不会激起波动。
图5 路堤振动频率的比较
Fig.5 Comparison of embankment vibration frequency
3个应力都关于y = 0平面对称。在荷载作用范围内，应力随深度增大而减小，但在接近地基表面
σdz的变化所有起伏。在荷载作用范围外，应力先增σdz随深度增加得非常缓慢，σdy幅值增加大后减小。
得最快。σdx和σdz的最大值都在荷载正下方荷载作用中线上，并且在y方向的衰减随深度的增加而减缓。
3 地基内部应力的分布
计算在图6所示的列车作用下，地基表面与路
但σdy在y方向上的变化有所起伏，在一定深度以下，
单位：mm
图6 列车模型 Fig.6 Model of train
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t / s
(a)
t / s
(b)
t / s
(c)
图7 点(150 m，0 m，1 m)处应力随时间的变化曲线 Fig.7 Variation of stresses at (150 m，0 m，1 m) with time
(a) t = 3 s
(b)
t = 5 s
图8 应力σdz在x = 150 m平面上的分布 Fig.8 Distribution of σdz in x = 150 m plane
(a) σdx
(b) σdy
图9 t = 5 s时x = 150 m平面上水平应力的分布 Fig.9 Distribution of horizontal stresses in x = 150 m plane
when t = 5 s
σdy的最大值并不在荷载中线上，而是在一定距离之
外。
4 地基土性和列车速度对应力的影响
为了分析地基的主要力学参数剪切模量、泊松比以及列车速度对应力的影响，选取不同的参数对应力进行计算。
图10是不同速度时半空间剪切模量对应力随深度变化的影响。在速度很低时，剪切模量的增加对3个方向应力影响都很小。而速度较高时，σdy和
σdz随剪切模量的增大而减小。在地基上部σdx随剪切模量的变化规律与其他2个应力相同，但在地基深
处(约一倍路堤宽度以下)σdx随剪切模量的增大反而增大。剪切模量对应力的影响程度随剪切模量的增大而逐渐减小。
图11是不同速度时地基泊松比对应力的影响。
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(a) 10 m/s

(b) 60 m/s
图10 不同速度时半空间剪切模量对应力的影响，
Fig.10 Influence of shear modulus of half-space on the stresses at different speeds

(a) 10 m/s (b) 60 m/s
图11 不同速度时半空间泊松比对应力的影响
Fig.11 Influence of Poisson′s ratio of semi-space on the stresses at different speeds
可以看出无论速度高低，泊松比对水平向的2个应
力影响都比较大。泊松比增大，水平应力增大，这
也与一般的规律相符合。速度较低时，竖向应力受
泊松比的影响非常小。速度较高时，泊松比增大，
竖向应力幅值有所减小。
速度对应力的影响体现在2个方面：一是列车
速度增大引起地基表面与路堤之间的反力幅值和作
用范围的增大；二是地基表面反力速度(与列车速度
相等)的增大引起内部响应的增大。前者主要取决于
列车速度与路堤最小相速度的比值[13]，后者主要取
决于列车速度与地基剪切波速的比值。在本文的计
算中，路堤最小相速度要远大于地基剪切波速。速
度对应力的影响主要体现在反力速度增大引起的内
部响应的增大。所以，这里用列车速度与地基剪切
波速的比值α1来表示速度的变化，给出了不同速度
比时荷载作用中心下应力分布等值线，如图12～14
所示。应力在空间上的分布规律在这里体现得更加
明显，水平应力分布的范围比较宽但比较浅，竖向
应力分布范围比较窄但比较深。σdy的分布形状明显
不同于其他两个应力，呈现马鞍状。地基上部的σdx随速度增大而迅速增大，但

σdz增加得很小。当速度
比比较小时，应力的分布受其影响较小。但当速度
比较大(大于0.6)时，应力的分布影响范围随速度的

增大而迅速扩大。 (a) α1 = 0.134 (b) α1 = 0.403
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(c)

α1 = 0.671
(d) α1 = 0.939
图12 不同速度比时荷载正下方应力σdx的分布
Fig.12 Distribution of σd

x under the load center at different speed ratios
(a)

α1 = 0.134
(b)

α1 = 0.403
(c)

α1 = 0.671
(d) α1 = 0.939
图13 不同速度比时荷载正下方应力σdy的分布 Fig.13 Distribution of σd

y under the load center at different
speed ratios
(a)

α1 = 0.134
(b) α1 = 0.403
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(c) α1 = 0.671

(d) α1 = 0.939
图14 不同速度比时荷载正下方应力σdz的分布
Fig.14 Distribution of
σdz under the load center at different speed ratios
对比剪切模量和速度对应力的影响，可以发现两者是相对应的。剪切模量的增大使速度比减小，应力随剪切模量增大的变化与随速度比减小的变化相同。速度较低时，速度比随剪切模量的变化始终保持在较小的范围内，此时剪切模量的增大对应力的影响很小。速度较高时，随着剪切模量的增大速度比迅速减小，此时应力受剪切模量的影响程度也比较大。剪切模量进一步增大，其对速度比的影响减小，相应的对应力的影响也减小了。从这里可以看出，对地基进行加固，提高其剪切模量，不仅可以降低列车引起的地基沉降，而且可以大大提高列车运营的临界速度，为列车的高速运行创造条件。
5 结论及建议
本文建立了列车移动荷载在地基中引起的动应力的计算模型和理论，并对模型进行了验证。给出了列车速度小于地基中Rayleigh波速时应力随空间
和时间的变化，分析了动应力特性，研究了地基土性和荷载速度对应力分布的影响。上述研究工作对了解列车运行时地基中的应力状态，应力分布规律以及进一步研究在列车引起的动应力作用下地基沉降特性等具有重要的意义。从以上的分析可以得到如下结论：
(1) 文中所建立的模型和理论能够较好的模拟列车–路堤–地基的相互作用。采用此模型计算所
得的路堤振动结果与实测结果吻合得较好。
(2) 当列车经过时，地基土是处于循环应力的作用下。该循环应力以压应力为主。动应力分布规律与条形荷载等静力荷载引起的应力分布规律相似，但随列车运动而动态变化着。
(3) 应力的分布范围和幅值与列车速度密切相关，尤其当速度接近地基中Rayleigh波速时，应力急剧增大。
(4) 地基剪切模量对应力的影响依赖于速度。速度较高时，模量对应力影响比较大；地基泊松比
对水平应力影响较大，对竖向应力影响较小。
文中给出了列车速度小于地基中Rayleigh波速时，列车运营在地基中产生的应力分布，所分析的列车速度对应力的影响主要是体现在地基表面作用移动荷载速度增大对所引起的应力的影响。在以后的工作中还要在以下几方面作进一步深入的研究：
(1) 列车速度大于地基中Rayleigh波速时的地基动应力特性。
(2) 各种不同速度情况下(以最小相速度和地基中的波速作为参考速度)地基中动应力的特性和分布规律。
(3) 土在循环荷载作用下的动力特性。 参考文献(References)：
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第三章 地基的应力和变形
v 建筑物的建造使地基土原有的应力状态发生了变化，从而引起地基变形，出现基础沉降。地基应力一般包括由土自重引起的自重应力和由建筑物引起的附加应力。这两种应力产生的条件不同，计算方法有很大差别。
v 自重应力是指未建造建筑物以前，由于土的自重，上层土对下层土产生的压应力。
v 附加应力是指建造建筑物后，由于建筑物荷载作用产生在地基土中的应力，它是引起地基变形的主要原因。
计算土中应力分布，是以弹性理论方法求解的，有以下几点假定：
1.连续均匀；2.各向同性；3.半无限空间体（即具有一个水平界面的无限空间体）。
在荷载作用下，由于土的压缩性，地基会产生沉降，但由于建筑物荷载的差异和地基不均匀等原因，基础各部分的沉降或多或少总是不均匀的，使得上部结构产生额外的应力和变形。基础的不均匀沉降超过一定限度，将导致建筑物的开裂、歪斜，甚至破坏。因此研究地基变形，对于保证建筑物的正常使用和经济、牢固，都具有很大的意义。
本章研究的重点内容为各种情况下土的自重应力和附加应力的概念；基础底面压力的简化计算、矩形和条形均布荷载作用下附加应力的计算。
§ 3－1 土的自重应力
在计算土中自重应力时，假设天然地面是一个无限大的水平面，当土质均匀时，土的自重可视为分布面积为无限的荷载。于是地基中任一个竖向截面均是对称面不存在剪应力和横向变形，只产生竖向变形，这样在地面下任意深度，由其上覆盖土层的自重产生的竖向压力，即土的自重应力可按下式计算:
应该注意，只有通过土粒接触点传递的粒间应力，才能使土粒彼此挤紧，引起土体的变形，而且粒间应力又是影响土体的强度的一个重要因素，所以粒间应力又称为有效应力。
对不透水层不存在水的浮力，应考虑水的重量。
地基中除作用于水平面上的竖向自重应力外，还有在竖向垂直面上的侧面自重应力 、 根据弹性力学确定
一般自重应力不会引起地基变形，因为土层形成年代久，固结变形早已完成。只有新近沉积的土或人工填土，其固结尚未结束，需要考虑自重引起的变形。
此外地下水位的升降会引起土中自重应力的变化。如在软土地区，常因大量抽取地下水，使地基中原水位以下有效自重应力增加，而造成大面积下沉。

§ 3—2 基底压力
v 基础底面的接触压力是建筑物荷载通过基础传递给地基的压力，也是地基反作用于基础底面的反力。
v 实验证明，基底接触压力的分布图取决于地基和基础的相对刚度，荷载大小和分布情况，基础埋深和土的性质等多种因素。
v 柔性基础的刚度很小，在竖向荷载作用下有抵抗弯曲变形的能力，基础随地基一起变形，因此柔性基础接触压力分布与其上部荷载分布情况相同，中心受压时，均匀分布。
刚性基础，本身刚度大大超过地基刚度。基础的沉降与地基变形必须协调一致。理论与实验证明，通常中心受压时，刚性基础下的接触应力为马鞍形。
鉴于目前还没有精确简便的基础底面接触应力计算方法，在实用上采用简化法，即一般基础尺寸较小时，基低压力分布可近似按直线分布的图形计算。
一、中心受压基础
二、偏心荷载下的基底压力
三、基底附加应力
上面求得的压力为基底总压力，其中包括基底处自重压力和基底附加压力两部分。因为自重应力不产生地基变形，而附加应力才是引起变形的主要原因，故基底处附加应力

有了基底附加应力，即可把它作为作用在弹性半空间表面上的局部荷载，由此根据弹性力学求算地基中附加应力。
§ 3—3 地基附加应力
上一节讲了基底附加应力，也叫接触应力，这一节讲在各种基底附加应力下沿地基竖向垂直面上的分布。
在计算地基土中的附加应力时，一般做出以下假定：
1. 土是均质的；
2. 土是各向同性的；
3. 地基是半无限大的线性变形体，即土的应力与应变成正比。
目前采用的附加应力计算公式是根据弹性理论推导出来的，以上假设是弹性理论的假设。按照弹性力学地基附加应力计算分为空间问题和平面问题两类。本节先介绍集中力、矩形荷载和圆形荷载作用下的解答，然后介绍线荷载和条形荷载作用下的平面问题解答。
一、垂直集中力作用于地基表面
K— 集中荷载下的地基竖向附加应力系数系数，简称集中应力系数。
二、矩形面积荷载作用于地基表面
1、均布的矩形荷载

例：已知柱距中心为6米的甲、乙两基础，基础面积相同F=4.8*4m，埋深1.6m,N=1800KN，地基土重度 。求甲基础中心点下的附加应力 ，若考虑基础乙的影响时，附加应力增加多少。
2、三角形分布的荷载截面积

三、线荷载和条形荷载下的地基附加应力
设在地基表面上作用有无限长的条形荷载时，且荷载沿宽度可按任何形式布置，但沿长度则不变，此时地基的变形和位移只发生在XY平面内，与Z轴方向无关，这种应力情况称为平面变形问题。
（一）垂直线荷载作用下土中应力

（二）均布条形荷载下土中应力
§ 3－4　有效应力原理
前述在研究土中自重应力分布时，只考虑土中某单位面积上的平均应力。实际上，土中任意截面包括土粒和孔隙面积在内，只有通过土粒接触点传递的粒间应力，才能使土粒彼此挤紧，从而引起土体的变形，所以粒间应力称为有效应力，这时，通过土中孔隙传递的压应力，称为孔隙水压力。饱和土中的孔隙水压力有静止孔隙水压力和超静止孔隙水压力。
取饱和土单元体中任一水平断层，但并不切断任何一个固体颗粒，而只是通过土粒之间的那些接触面，如图取一单元体，上作用有外荷载，称为总压力 。 a-a截面上有作用在孔隙面积上的孔隙水压力 ，以及作用在各个土粒接触面上的各力F1、F2、F3……，相应的各接触点的面积为a1,a2,a3……，而各力的竖向分力之和称为有效应力