列一元二次方程解应用题(教案.doc

列一元二次方程解应用题(教案)（全面版）资料
11．10 列一元二次方程解应用题（教案）
执教：石春晓
教学目标：学会列一元二次方程解简单应用题；
（寻求等量关系列方程，体会设元方法、编写模型思想）
教学重点：列一元二次方程解简单应用题；
教学难点：学会解例2类应用题；
教具准备：AW课件
教学方法：动手实验、演示，自主探究、合作
教学过程：
一、复习引入：
1、初一我们学习过列一元一次方程和列二元一次方程组解应用题，列方程解应用题的一般步骤是怎样的？
⑴审题；（分析题意，找出等量关系，分析题中的数量关系，设未知数）
⑵列有关的一次式；
⑶列方程；
⑷解方程；
⑸检验作答（二层含义：①检验准确性；②是否符合实际）．
2、今天我们要学习的列一元二次方程解应用题的步骤和以前基本上相同
二、新课学习：
例1 ：在长方形钢片上冲去一个小长方形，制成一个四周宽相等的长方形框（如图）已知
长方形钢片的长为30cm，宽为20cm，要使制成的长方形框的面积为400cm2，求这个长方形框图边宽。
分析：如果设长方形框的框边宽为Xcm，那么要冲去的长方形的长为（30—2x）cm，宽为（20—2x）cm。（动画）
（由学生自己列出方程）
练习1、 为美化校园，准备在长32米，宽20米的长方形场地上，修筑若干条道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与图纸设计．现有三位学生各设计了一种方案（图纸如下所示），问三种设计方案中道路的宽分别为多少米？
⑴甲方案图纸为图1，设计草坪总面积540平方米；
⑵乙方案图纸为图2，设计草坪总面积540平方米；
图
⑶丙方案图纸为图3，设计草坪总面积570平方米．

练习2：有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的
一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，
另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．
求鸡场的长和宽各多少米？

小结：例1及上练习应用题类型为 　，解决这类问题的关键是掌握常见几何图形的面积体积公式，并能熟练计算由基本图形构成的组合图形的面积．

引例：某镇产粮大户，2000年粮食产量为50吨，由于加强了经营和科学种田，2002年粮食产量上升到60.5吨．求平均每年增长的百分率．
平均每年的增长百分率——指从2000年到达2001年和从2001年到2002年的增长率相同
增长百分率是一个比值，年增长量是一个数值；
设末知数时不必把平均增长率设成x%

分析：2000年粮食产量为50吨为基数，设平均每年增长的百分率为，则
年份
2000年
2001年
2002年
产量
50吨
50+50x
即50（1+x）

50（1+x）2
（列出方程）

小结：例2类型为 ，基本规律是：
M代表基数，X代表平均增长的百分数，则第一次增长后的表达式为 ，第二次增长后的表达式为 ；
M代表基数，X代表降低的百分数，则第一次降低后的表达式为 。

例2：某城市按该市的“九五”国民经济发展规划要求，1997年的社会总产值要比1995年增长21%，求平均每年增长的百分率．（提示：基数为1995年的社会总产值，可视为1）
分析：若设平均每年增长的百分率为，1995年的社会总产值为1，则
年份
1995年
1996年
1997年
社会总产值
1
1×（1+x）
1×（1+x）2
解：设平均每年增长的百分率为，根据题意，得

答：平均每年增长的百分率为

练习3、某工厂1996年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到1998年共捐款4.75万元，问该厂捐款的平均增长率是多少？
三、课堂小结：说说这堂课你的最大收获
课后练习：
练习一：放铅笔的V形槽如图，每往上一层可以
多放一支铅笔．现有190支铅笔，则要放几层？
（动画）

课后反思：
这节课我临时改变主意，不同于在前一个班级的做法：让学生亦步亦趋地跟从
我的一个个问题进行回答，层层推进，作好铺垫，化解难点，师生双边活动处理较满意；课前根据教材提供的丰富教学资源进行再创造，利用开放性的问题，培养学生提问题的能力；利用多媒体，动画，让学生直观感知，激发自主探究的积极性，培养学生观察、概括能力，发展学生的符号感和推理能力。同时，意识到在教学中活动量在一定程度上受课件限制。

代数综合题之二次函数与一元二次方程
与一元二次方程相结合，往往偏向于计算、数形结合，讨论参数范围；或整数根或特殊解或与坐标交点等。
1. 二次函数
（1）求其顶点坐标，及与两坐标轴的交点坐标．
（2）若是函数图象上的两点，且，请比较的大小关系．（直接写结果）
（3）把方程的根在函数的图象上表示出来．

2.已知二次函数的图象与轴两交点的坐标分别为（，0），（，0）（）．
（1）证明；
（2）若该函数图象的对称轴为直线，试求二次函数的最小值．

3.已知P（)和Q（1，）是抛物线上的两点．
（1）判断关于的一元二次方程=0是否有实数根，若没有，请说明理由；
（2）将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值．

4.已知：关于x的一元二次方程x＋（n－2m）x＋m－mn=0 ①
(1)求证：方程①有两个实数根. (2)若m－n－1=0,求证方程①有一个实数根为1；

(3)在（2）的条件下，设方程①的另一个根为a。
当x=2时，关于m的函数y=nx＋am与y=x＋a(n－2m)x＋m－mn的图像交与点A、B（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线L与y、y的图像分别交与点C、D.当L沿AB由点A平移到点B时，求线段CD的最大值.

5.（09天津）已知函数为方程的两个根，点M（t，T）在函数的图象上．
（1）若，求函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，若函数与的图象的两个交点为，当的面积为时，求的值；
（3）若，当时，试确定三者之间的大小关系，并说明理由．

6. 关于的一元二次方程.
（1）当为何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）点是抛物线上的点，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点与点关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.

7. 已知关于x的方程．
（1）求证：无论m取任何实数时，方程总有实数根；
（2）若关于的二次函数的图象关于y轴对称．
①求这个二次函数的解析式；
②已知一次函数，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立；
（3）在（2）的条件下，若二次函数y3＝ax2＋bx＋c的图象经过点（－5，0），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立．求二次函数y3＝ax2＋bx＋c的解析式.

8. 已二次函数及一次函数.
(l)求该二次函数图象的顶点坐标以及它与轴的交点坐标；
(2)将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，请你在坐标系里画出这个新图象，并求出新图象与直线有三个不同公共点时的值：
(3)当时，函数的图象与轴有两个不同公共点，求的取值范围．

练习1. 已知抛物线，其中是常数．（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若，且抛物线与轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式．

2. 已知：关于的方程（为实数）．
（1）若与x轴有交点，求的取值范围；
（2）若是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，把抛物线向上平移个单位长度，求平移后的解析式．

3.已知抛物线。
（1）若，，求此抛物线与x轴交点坐标。
（2）若，且当时，抛物线与x轴交点有且只有一个，求c的取值范围。

4. 已知一次函数y1＝2x，二次函数y2＝x2＋1.
（1）根据表中给出的x的值，计算对应的函数值y1、y2，并填在表格中：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y1＝2x

y2＝x2＋1

（2）观察第（1）问表中有关的数据，证明如下结论：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≤y2均成立；
（Ⅲ）试问，是否存在二次函数y3＝ax2＋bx＋c，其图象经过点（－5，2），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≤y3≤y2均成立，若存在，求出函数y3的解析式；若不存在，请说明理由.
第二章一元二次方程复习课 第21 课时
复习目标：
1、进一步探索实际问题中的数量关系及其变化规律，体会数学建模思想，
体会数学在应用中的价值
2、进一步巩固一元二次方程的概念，会从定义上判断方程的积压种类型。
3、会根据具体问题中数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义检验所得结果是否合理。
4、进一步强调在应用一元二次方程解实际问题时，要注重对数量关系的抽象和分析，提到方程的解之后，必须检验是否符合题意。
教学过程：
一、知识要点
1、一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；
（3）是整式方程。
2、要判断一个方程是否为一元二次方程，应以上面这三个特点来横量。
3、一元二次方程的一般形式

4、解应用题的一般思路
①审（审题）；
②找（找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系）；
③设（设元，包括设直接未知数或间接未知数）；
④表（用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量）；
⑤列（列方程）； ⑥解（解方程）；⑦检验（注意根的准确性及是否符合实际意义）。
二、典型例题讲解：
例1、下列方程中，属于一元二次方程的有
① ② ③
④ ⑤
例2、方程化为一般形式是
其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
例3、当 时，关于的方程式为一元二次方程。
例4、某电脑销售商试销某一品牌电脑（出厂为3000元/台）以4000元/台销售时，平均每月可销售100台，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的市场调查，3月份调整价格后，月销售额达到576000元。已知电脑价格每台下降100元，月销售量将上升10台
（1）求1月份到3月份销售额的月平均增长率？
（2）求3月份时该电脑的销售价格。
例5、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多销出2件。若商场每天要盈利1200元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？
说明：例1—例3先让学生独立思考后，直接口答；
例4、例5学生思考后师生共同完成。
三、巩固练习
1、 若方程的一个根 2。则m=_______，另一个根是________；
2、 当=_______时，代数式x2+4x的值与代数式2x+3的值相等；
3、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长25m，另三边用总长40m的木栏围成。
（1）鸡场的面积能达到180m2，试通过计算说明；
（2）鸡场的面积能达到250m2吗？为什么？
四、布置作业
完成单元练习卷；

第一轮复习教学案 一元二次方程
总 第 课时
教 学 过 程
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【知识梳理】
1．只含有 ，并且未知数的最高次数是 的整式方程叫做一元二次方程）.通常可写成如下的一般形式： 。 其中叫做 ，叫做 ；叫做 ，叫做 ，叫做 。
2.一元二次方程的解法
(1)直接开平方法：对于形如（a≠0,a≥0）的方程，都可以用直接开平方法解。解法的根据是 。要特别注意，由于负数没有平方根，所以括号中规定了范围，否则方程无实数解。
（2）配方法：配方法解一元二次方程的步骤：1、把常数项移到方程右边，再在方程的两边同时除以 使新方程的二次项系数为1；2、在方程的两边各加上 的一半的平方，使左边成为完全平方；3、如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。
（3）公式法：一元二次方程的求根公式 。
（4）因式分解法：因式分解法解一元二次方程的根据是：若A·B＝0，则A＝0或B＝0。
【典型例题】
1．等腰三角形的底和腰是方程x2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（ ）
A.8 B.10 C.8或10 D.不能确定
2.钟老师出示了小黑板上的题目（如图） 后，小敏回答：“方程有一根为1”，小聪回答：“方程有一根为2”。则你认为（　　　　　）
（A）只有小敏回答正确　　　　　（B）只有小聪回答正确　　　　　　
（C）小敏、小聪回答都正确　　　（D）小敏、小聪回答都不正确
3.已知关于x的一元二次方程的一个根是零，求m的值。

4．已知多项式.试说明：不论x为任何实数，此多项式的值总为正数。

5．用适当的方法解下列方程：
（1） （2）

（3） （4）

【当堂反馈】
1．下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。
（1） （2）
（3） （4）
2．一元二次方程x2–2x = 0的解是（ ）
A、0 B、0或2 C、2 D、此方程无实数解
3．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,若a+b+c=0 则该方程必有一根为（ ）
（A）1 （B）—1 （C）0 （D）2
4.解下列方程
（1）(2x＋3)2－25＝0.（直接开平方法） （2）（配方法）

（3）(x+2)2=3(x+2)（因式分解法） （4）（公式法）

4．用适当的方法解下列方程：
（1）x(3x+1)=9x+3 （2）

（3） (2x+1)2=(x-1)2 （4）x2+6x＝1

（5）（x-2）（x+3）=66； （6）（x+1）2=3x+2．

【中考聚焦】
1.用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0,则方程可变形为( ).
A.(x-4)2=9 B.(x+4)2=9; C.(x-8)2=16 D.(x+8)2=57
2.6关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根为0，则a的值为 ．
3.用配方法将二次函数写成形如的形式，则m、n的值分别是（ ）
BA、B、C、D、
4．为了美化城市，经统一规划，将一正方形草坪的南北方向增加3ｍ，东西方向缩短3ｍ，则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比 ( )C
A．增加6ｍ2 B．增加9ｍ2 C．减少9ｍ2 D．保持不变

1m
1m
30m
20m
5．在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为 耕地. 根据图中数据，计算耕地的面积为B
A．600m2　　　　　　　B．551m2
C．550 m 2　　 　　　D．500m2

6.解下列方程
（1）3x2-x=0． （2）3x2-5x=2． （3）2x2+x-7=0．

7．观察下表，填表后再解答问题：
（1）试完成下列表格：
序号
1
2
3
…
图形

…
的个数
8

24
…
的个数
1
4

…
(2)试求第几个图形中“”的个数和“”的个数相等？

第一轮复习教学案 一元二次方程的应用
总 第 课时
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【知识梳理】
解一元二次方程的数学应用题的一般步骤:
找——找出题中的等量关系
设——设未知数
列——列出方程，即根据找出的等量关系列出含有未知数的等式
解——解出所列的方程
验——将方程的解代入方程中检验，回到实际问题中检验
答——作答下结论
【典型例题】
例1.将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？

例2.某电脑公司2007年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2021年经营总收入要达到2160万元，且计划从2007年到2021年，每年经营总收入的年增长率相同，问2021年预计经营总收入为多少万元？

例3.已知：如图，在△ABC 中，∠B=900,AB=5cm,BC=7cm .点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
(2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后,PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm2?说明理由.

【当堂反馈】
1. 直角三角形的面积是30，两直角边的和是17，则斜边长为（ ）
A.17 B.26 C.30 D.13
2.某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1 185元降到了580元.设平均每次降价的百分率为，则列出方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 小娟家有一块矩形花园，他爸爸想把它改建成正方形，这样就必须将长减少3m，宽增加2m，同时面积减少5m2.问改建后的花园面积为 m2

4.某百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六·一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

5. 如图，等腰Rt△中，，动点从点出发，沿向点移动.通过点引平行于、的直线与、分别交于点R、Q，问：AP等于多少厘米时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2？

【中考聚焦】
1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图3-9-4所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为cm,那么满足的方程是（ ）
A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0
2. 如图所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与平行,另一条与垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144米2,则甬路的宽度为 。
3.每件商品的成本是120元，试销了一阶段后，发现每件售价（元）与产品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系，但每天的盈利（元）却不一样.为找到每件产品的最佳定价，商场经理请一位营销策划员通过计算，在不改变每件售价（元）与日销售量（件）之间数量关系的情况下，每件定价为元时，每日盈利可达到最佳数1600元.若请你做这位营销策划员，的值应是几？
每件售价（元）
130
150
165
每日销售（件）
70
50
35

4.（2006年重庆市）机械加工需要用油进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑油用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍然为60%．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油量的重复利用率将增加1.6%．这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？

列一元二次方程，分式方程，分式方程组解应用题
　　一、内容综述：
　　1．列方程解应用题的一般步骤是：
　　（1）审题：透彻理解题意，明确哪些是已知数，哪些是未知数，以及它们之间的关系。
　　（2）设未知数：根据题意，可直接设未知数，也可间接设未知数，未知数必须写明单位，语言叙述要完整。
　　（3）列代数式和方程：根据题中给出的条件，用含有所设未知数的代数式表示其他未知数，利用等量关系，列出方程或方程组，一般列方程的个数与所设未知数的个数相同。
　　（4）解方程或方程组应注意解题技巧，准确地求出方程或方程组的解。
　　（5）检验答案：解应用题要检验有无增根，又要检验是否符合题意，最后做出符合题目要求的答案。
　　在这些步骤中，审题是解题的基础，列方程是解题的关键。
　　在列方程时，要注意列出的方程必须满足以下三个条件：
　　（1）方程两边表示同类量
　　（2）方程两边的同类量的单位一样
　　（3）方程两边的数值相等
　　二、例题分析：
　　例1．某人用1000元人民币购买一年期的甲种 ，到期后兑换人民币并将所得利息购买一年期的乙种 ，若乙种 的年利率比甲种 低2个百分点，到期后某人的乙种 可兑换人民币108元，求甲种 的年利率。
　　分析：利息=本金×利率×存期
　　本息=本金+利息
　　甲种 利息×（1+乙种 利率）×存期=108
　　解：设甲种 的年利率为x，依题意，甲种 的利息为1000x元，乙种 的年利率为x-0.02，则
　　1000x(1+x-0.02)=108
　　整理得：250x2+245x-27=0
　　(10x-1)(25x+27)=0
　　x1=0.1　　 x2=-
　　∵x2=-不合题意，舍去
　　∴x=0.1=10%
　　答：甲种 的年利率为10%。
　　例2．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这个月这户只需交10元用电费，如果超过A度，则这个月除了仍要交10元用电费外，超过部分还要按每度元交费。
　　（1）该厂某户居民2月份用电90度，超过了规定的A度，则超过部分应该交电费多少元（用A表示）
　　（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况：
月份
用电量（度）
交电费总数（元）
3月
80
25
4月
45
10
　　根据上表的数据，求电厂规定A度为多少？
　　分析：本题是原于现实生活中的经济问题，情景熟悉，但问题有障碍，不能直接看出问题的答案，必须认真阅读和思考
    问题（1）较简单，超过部分应交电费(90-A)元，问题（2），从表中看到，45<A<80，根据3月份用电80度，交电费25元，可列出方程：
　　10+(80-A)=25
　　整理得，A2-80A+1500=0
　　解得：A1=50　 A2=30
　　但A2=30<45，不合题意舍去
　　∴A=5
　　解略。
　　例3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
　　若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
　　解：设每件衬衫应降价x元，
　　由题意可得：
　　(40-x)(20+2x)=1200
　　整理，得x2-30x+200=0
　　x1=10　 x2=20
　　根据题意x=10不合题意，舍去　　　　
　　所以x=20
    答：每件衬衫应降价20元。
　　说明：此题是一元二次方程在市场经济中的应用，利用已知条件，列方程，解方程都比较简单，但得出方程的根后，考查它们是否符合题意是个难点，已知中有“尽快减少库存”的要求，而每降低1元，则平均每天可售出2件，所以x=10，不合题意舍去。
　　例4．某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共5500元。
　　（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
　　（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。
　　分析：此题是用数学知识解决简单的生产问题，这也是初中数学的教学目的。
　　第一问是工程问题，工程问题中有三个量：工作总量，工作效率，工作时间，这三个量之间的关系是：工作总量=工作效率×工作时间。
　　第二问只要求出每天应各付甲、乙、丙各队多少 钱，并由第一问求出甲、乙、丙各队单独完成这项工作所需的天数，即可求出在规定时间内单独完成此项工程哪个队花钱最少。
　　解：（1）设甲队单独做x天完成，乙队单独做y天完成，丙队单独做z天完成
　　由题意可得：　
　　解这个方程组得：　
    经检验此解是所列方程组的解
　　答：甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成，丙队单独做30天完成。
　　（2）设付给甲队一天a元，付给乙队一天b元，付给丙队一天c元

　　解这个方程组得　　　　

　　又∵规定时间要求不超过15天　　
　　∴不能用丙队，　　　　　　　　　　　　　
　　∵10a=8000（元）　　 15b=9750（元）
　　答：由甲队单独完成此工程花钱最少。
　　说明：数学教学新大纲中要求“能够运用所学知识解决简单的实际问题”。能够解决实际问题是指：能够解决带有实际意义和相关学科中的数学问题，以及解决生产和日常生活中的实际问题；能够使用数学语言表达问题，展开交流，形成用数学解决实际问题的意识，以上四题就反映了新大纲要求，这种形式的问题频繁出现在近两年的中考试卷中，这应引起我们的重视。
　　例5．A、B两地间的路程为15千米，早晨6时整，甲从A地出发步行前往B地，20分钟后，乙从B地出发骑车前往A地，乙到达A地后停留40分钟，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B地，如果乙骑车比甲步行每小时多走10千米，问几点钟甲，乙两人同时到达B地？
　　分析：此题是行程问题，行程问题中有三个基本量：速度、时间、路程，并且路程=速度×时间。此题若间接设元，设甲步行每小时走x千米，乙骑自行车每小时走(x+10)千米，又已知AB两地路程为15千米，则可利用甲乙所用的时间找等量关系。
　　解：设甲步行每小时走x千米，
　　则乙骑车每小时走(x+10)千米
　　由题意得：+1=
　　整理得：x2+25x-150=0
　　解这个方程得：x1=5,x2=-30
　　经检验：x1=5,x2=-30都是所列方程的根，
　　但x=-30不合题意舍去
　　∴x=5
　　这时 15÷5=3（小时）
　　答：上午9点整，甲、乙两人同时到达B地。
　　例6．甲、乙两车同时从A地出发，经过C地去B地，已知Ｃ、Ｂ相距180千米，出发时，甲每小时比乙多行5千米，因此，乙经过C地比甲晚半小时，为赶上甲，乙从C地将车速每小时增加10千米，结果两车同时到达B，求两车出发时速度？
　　分析：解决此题的关键是：从C地到B地，甲比乙多走半小时。
　　解：设乙速为x千米/时。
　　则甲速为(x+5)千米/时
　　 - =
　　整理得：x2+15x-1750=0
　　解这个方程：x1=35, x2=-50
　　经检验：x1=35,x2=-50都是所列方程的根
　　但x=-50不合题意，舍去
　　∴x=35
　　∴x+5=35+5=40
　　答：甲出发时速度为40千米/时，乙出发时速度为35千米/时。
　　例7．甲乙两人分别从A、B两地同时同向出发，甲经过B地后，再经过3小时12分在C地追上乙，这时两人所走的路程和为36千米，而A、C两地的距离等于乙走5小时的路程，求A、B两地的距离？
　　分析：此题间接设元比较方便，如可设甲、乙两人速度分别为x千米/时，y千米/时，可以利用“两人所走的路程和为36千米”及“甲从A到C所用的时间与乙从B到C所用的时间相等”这两个等量关系建立方程组。
　　解：设甲速为x千米/时，乙速为y千米/时
　　则AC长5y千米，BC长为 x千米（3小时12分=小时）
　　AB长(5y-x)千米
　　由题意可得　
　　解这个方程组得：
　　经检验它们都是所列方程组的解
　　又∵　 不合题意舍去
　　∴ 　
　　∴　5y-x=5×4- =4
　　答：A、B两地长4千米。
测试
　　A组选择题（每小题２０分）
　　1.某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值175亿元，问二月、三月平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x，根据题意得方程为
　　（A）50(1+x)2=175　　　　　　　　　 （B）50+50(1+x)2=175
　　（C）50(1+x)+50(1+x)2=175　　　　　 （D）50+50(1+x)+50(1+x)2=175
　　2.甲、乙两队学生绿化校园，两队合作6天可以完成，若单独工作，甲队比乙队少用五天，两队单独工作，各需要多少天完成？
　　若设甲队单独工作需要x天完成，则根据题意得到的方程是（　　 ）.
　 （A） =6 　　　　 （B）=6　 （C）6( )=1　　　 （D）=1
　　B组选择题（每小题３０分）
　　1.某村有若干人准备用平均集资的方法筹集数万元开发小区，消息传出后，又有3位村民认为开发项目对头，申请参加，于是每人可少集资3000元；最后收款时，又增加1人，再次使每人的平均集资数减少600元，问该村开始时有多少人集资？共集资多少元？
　　解如下：设最初集资人数为x，每人平均集资y元，依题意，列出方程组：
　　解法一：

　　解法二：由隐含着的“出入相补”原理，得方程组：

　　解法三：由隐含着的“出入相补”原理，得方程组：

　　以上有三种解法，其中错误的是：
　 （A）解法一　　 （B）解法二　　　 （C）解法三　　 （D）都正确。
　　2.甲、乙两列车，分别从相距300千米的A、B两车站同时相向出发，相遇后，甲车再经过4小时到B站，乙车再经过9小时到A站，求甲、乙各车的速度。
　　解法一：设甲车的速度为x千米/小时，乙车的速度为y千米/小时，根据题意，得：

　　解法二：设甲车的速度为x千米/小时，乙车的速度为y千米/小时，
　　根据甲乙两车相遇时间相等，而相遇后至停止相差9-4=5小时，亦为全程时间差为5小时，据此得方程：

　　解法三：间接设未知数，设相遇时，甲、乙各行了x小时。
　　根据题设得方程：×4+ ×9=300
　　即 +=1，
　　得x2=36, x=±6 (-6不合题意，舍去。)
　　所以v甲==30（千米/小时），
　　v乙==20（千米/小时），
　　以上解法正确的有：
　 （A）一种　 （B）两种　 （C）三种　 （D）没有正确解法。
答案与解析  
　　A组答案：1、D　　　 2、C　　　 B组答案：1、C　　　 2、C
　　B组解析：
　　1、解题策略：一是按有关的几个基本量列表，未知数用相应的字母代替，可有助于理清题意，如：

　　集资人数
　　平均集资数
　　总额
　　开始时
　　x
　　y
　　z
　　第一次增人后
　　x+3
　　y-3000
　　z
　　第二次增人后
　　x+4
　　y-3000-600
　　z
　　二是根据出入相补原理：原来集资每人减少总额（出），由新增集资人承担（入）。
　　解法一：设最初集资人数为x，每人平均集资y元，依题意，列出方程组：

　　解之得：
　　所以 z=xy=54000（元）。
　　答：原来有6人集资，出集资5.4万元。
　　解法二：由隐含着的“出入相补”原理，得