函数的单调性教学设计--高中数学教案-数学教案-数学-教案-学案.doc

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函数的单调性

教学目标：
1.知识目标：理解函数单调性的概念；
2.能力目标：
（1）.能由函数图象判断某些函数的单调性；
（2）.通过模仿学会证明函数单调性的方法；
（3）.培养学生观察、比较、分析的能力；掌握数形结合的方法.
3.德育目标：熟悉从感性认识到理性认识，从抽象到具体的研究问题的方法。
教学重点：函数单调性的概念与判断
教学难点：利用概念证明或判断函数的单调性
教学用具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一.问题情境：
日常生活中，我们有过这样的体验：从阶梯教室前向后走，逐步上升，从从阶梯教室后向前走，逐步下降。
1.观察下列图表，体会图形上升或下降的变化在实际生活中作用：

洞庭湖沿不同观测站1954年洪水过程图

春兰股份线性图

在哪些时段内气温是升高的？
2.很多函数也具有类似性质。如（电脑给出图象）：
y=3x+2 y= (x>0)

这就是我们要研究的函数的重要性质之一：函数的单调性（电脑给出课题）

二.学生活动
问题1：观察下列函数的图象，指出函数从左向右是怎样变化的？
函数 y=x2、y=x3的图象（电脑给出）
y y

O x O x

这些说明某些函数在定义域内的某些区间上图象呈现上升趋势，在某些区间上呈现下降趋势。
问题2：你能用数学语言刻画“图象呈上升或下降的趋势”吗？

三.建构数学：

问题3：如何用数学语言来准确地表述这种y值随着x的值增大而增大（减小）呢？
进而抽象出单调性的定义（电脑给出）：

一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间IA
如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1 )<f(x2 )，那么就说y=f(x)在区间I上是增函数。I称为y=f(x)的单调增区间。
如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1 )>f(x2 )，那么就说在这个区间I上是减函数。I称为y=f(x)的单调减区间。
如果函数y=f(x)在区间I上是单调增函数或是单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间I上具有单调性.
问题4：由函数单调性定义，你发现哪些特点？
（1） 自变量属于定义域
（2） 自变量的任意性

（3） x1、x2的大小与f(x1 )、f(x2 )的大小要对应.

为了让学生更直观地看出单调函数定义的内涵，用电脑演示动画。
演示：在函数y=x2、y= x3的图象上，当x增大时，y的值的变化情况。

问题5：观察下列函数的图象，指出函数的单调区间，并指出函数在此区间上的单调性。的图象学生比较陌生，所以当堂用《几何画板》画出，并让学生熟悉用描点法作函数图象的过程。
从上述过程中概括出函数的单调性单调区间的概念：
如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性。这一区间叫做的单调区间。
学生阅读书上例1，回答该函数的单调区间。
思考：该函数在其定义域上有单调性吗？
要了解函数在某些区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格的说，它需要根据单调函数的定义进行证明。
阅读书上例2、例3，然后与学生一起总结出解题步骤（电脑给出）：
（1） 取值
（2） 作差变形（因式分解、配方、有理化等方法）
（3） 定号
（4） 判断

分析各个步骤的含义，利用这个结论学生练习(用电脑给出)：

问题5。
1
x
y
-1
-2
3
-5-5
O
1
2
3
4
5
-2
-3
-4
2
-1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

四.数学应用：

例1、 画出下列函数的图象，并写出单调区间：(学生自己作图后，再电脑给出)
（1）y=－x2+2 (2) y=(x0)
问题6：函数f(x)=在其定义域上有单调性吗？为什么？（电脑演示）

要了解函数在某些区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格的说，它要根据单调函数的定义进行证明。
例2：求证：函数f(x)=3x+2在R上是增函数.
例3：求证：函数f(x)=－－1在区间(－,0)上是单调增函数.
（要求学生在模仿证明中进一步理解函数单调性定义中“任意”的意义）

与学生一起总结出证明函数单调性的解题步骤（电脑给出）：
（1） 取值
（2） 作差变形
（3） 定号
（4） 判断
分析各个步骤的含义，利用这个结论，学生练习（电脑给出）.

五.练习：P37 1、3、4

六.回顾小结：
本节课主要学习了函数的单调性的概念以及判断函数在某个区间上的单调性。

七.作业：习题2.1（3）：1、2、4、7.

【随堂测试】
1. 已知函数y=f(x)的图象，根据图象写出函数的单调区间：
y y

a b O c d x
O x

2.下列函数在区间(0,+)上不是增函数的是（ ）
A.y=2x+1 B.y=x2+1 C.y= D.y=x2+2x+1
3.(1)若函数y=kx+2在R上为增函数，则k的范围是 ；
(2)若函数y=x2—mx+5在（—，2）为减函数，在（2,+）上为增函数，则m= 。
4.画出函数y=+2x的图象，求函数的单调增区间，并证明。

【函数单调性内容分析及设计说明】：
课标要求：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性。

函数的单调性是函数的一个重要性质，刻画了两变量之间的相互依存的变化关系，是研究函数时经常要注意的一个性质，并且在比较几个数的大小，对函数作定性分析，以及与其他知识的综合应用上都有着广泛的应用。对学生来说，函数的单调性早以有所知，然而没有严格的定义，只是从直观上接触过这一性质。学生对此有一定的感性认识，为学习新知识做好了准备。首先通过实际问题让学生感受研究单调性的必要性，体会数学的实用价值；然后在已有知识基础之上，引导学生观察函数图象的变化（多媒体演示），先用自然的语言表述图象的“上升”和“下降”，再逐步上升到形式化的概念，并能用符号语言表述。在课堂上突出对概念的分析，不仅是为了理解函数单调性的意义，而且让学生学会如何分析、弄懂一个概念，体验直观的感受上升到理性的认识的过程。
函数概念的理解是一个难点，特别是对“任意”这个词的理解。所以，在教学中结合反比例函数y=的图象引导学生讨论，再采用列表由自变量x的值写出对应的y值，观察变量之间的变化关系，把握“任意”的含义。
利用函数单调性证明是本课的一个难点，可以采用讲授的方法给学生形成一定的证明规范，再让学生进行模仿，在模仿中帮助学生进一步理解函数单调性的概念。教学时注意方法的引导，并及时小结证明的思路、步骤，让学生逐步掌握证明的每一步的意义、证明过程的准确表述。

【教学后的反思】
1. 所举实例离学生的生活有些远，需再仔细酝酿。课前可以让学生搜集相关素材、课上用学生自己提供的资料，可以调动学生学习的主动性和积极性。
2. 例题过多，过于重形式化可能会冲淡主题。
3. 函数的单调区间一般指“最大”区间，学生如果只回答其子区间，应给予纠正。
4. 例2、例3是否可以与例1合在一起，证明的过程只是用多媒体播放一下，可能不利于学生形成规范的解答习惯。
5. 如何让学生理解函数单调性中：“对任意两个变量…”的“任意”的意义仍是值得斟酌的。能否让学生来举例，让学生讨论来展开研究？