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金太阳新课标资源网,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,山东省临沂第一中学,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,2.3 数学归纳法,临沂一中数学组,第1页,问题提出,1.归纳推理基本特征是什么？,由个别事实概括出普通结论.,2.综正当，分析法和反证法基本思想分别是什么？,综正当：,由已知推可知，逐步推出未知.,分析法：,由未知探需知，逐步推向已知,.,反证法：,假设结论不成立，推出矛盾得 证实.,第2页,3.归纳推理能帮助我们发觉普通结论，但得出结论不一定正确，即使正确也需要经过严格证实才能必定其真实性.综正当，分析法和反证法虽可证实一些结论，但都有其不足，所以，我们非常需要一个与归纳推理相匹配证实方法，使之成为无与伦比“黄金搭档”.,第3页,数学归纳法,第4页,探究（一）：,数学归纳法感性认识,思索1：,某人想排队进展览馆参观，不知自己能否进得去，于是问组织者，答曰；只要你前一个人能进去，你就能进去.那么此人能进去参观吗？若每个排队人都能进去参观，需要什么条件？,（1）第一个人进去；,（2）若前一个人进去，则后一个人也能 进去.,第5页,思索2：,有若干块骨牌竖直摆放，若将它们全部推倒，有什么方法？普通地，多米诺骨牌游戏原理是什么？,（1）推倒第一块骨牌；,（2）前一块骨牌倒下时能碰倒后一块骨牌.,第6页,第7页,思索3：,某人姓王，其子子孙孙都姓王吗？某家族全部男人世代都姓王条件是什么？,（1）始祖姓王；,（2）子随父姓.,（第1代姓王）,（假如第k代姓T，则第k+1代也姓T）,第8页,思索4：,已知数列a,n,满足:,（n,N*,），那么该数列,各项能确定吗？上述递推关系只说明什么问题？若确定数列中每一项，还需增加什么条件？,由第k项可推出第k1项,.,给出第1项；,（1）,（2）,第9页,探究（二）：,数学归纳法基本原理,思索1：,已知数列a,n,满足,（,n,N*,），假设当nk时，,则当nk1时，a,k1,等于什么？,若假设 ，则a,k1,等于什么？,第10页,思索2：,若给出a,1,1，则数列a,n,通项公式是什么？若给出a,1,2，则数列a,n,通项公式是什么？怎样了解你结论？,思索3：,已知数列,a,n,满足,a,1,1，,a,n+1,2,a,n,3，利用上述思想怎样证实数列,a,n,通项公式是,a,n,2,n+1,-3？,第11页,思索4：,利用上述思想怎样证实：对任意n,N*,都有等式2462nn(n1)成立？,思索5：,上述证实方法叫做,数学归纳法,，普通地，用数学归纳法证实一个与正整数n相关命题，其证实步骤怎样？,（,1）证实当n取第一个值n,0,(n,0,N,*,)时命题成立；,（2）假设当nk(kn,0,，kN,*,)时命题成立，证实当nk1时命题也成立.,第12页,思索6：,数学归纳法由两个步骤组成，其中第一步是,归纳奠基,，第二步是,归纳递推,，完成这两个步骤证实，实质上处理了什么问题？,逐一验证命题对从n,0,开始全部正整数n都成立.,第13页,理论迁移,例1 用数学归纳法证实：,(nN,*,).,第14页,例2 已知数列：,试猜测其前n项和S,n,表示式，并数学归纳法证实.,第15页,小结作业,1.数学归纳法实质是建立一个无穷递推机制，从而间接地验证了命题对从n0开始全部正整数n都成立，它能证实许多与正整数相关命题，但与正整数相关命题不一定要用数学归纳法证实，有些命题用数学归纳法也难以证实.,第16页,数学归纳法证实一个与正整数相关命题步骤是：,（1）,证实当 取第一个值（如 或,2,等）时结论正确；,（2）,假设时 结论正确，证实,时结论也正确,递推基础,递推依据,“找准起点，奠基要稳”,“用上假设，递推才真”,注 意：,1、一定要用到归纳假设；,2、看清从k到k1中间改变。,第17页,2.归纳推理能发觉结论，数学归纳法能证实结论，二者强强联合，优势互补，在处理与正整数相关问题时，含有强大功效作用.但在数学归纳法实施过程中，还有许多细节有待深入明确和认识.,第18页,(1)在第一步中初始值不一定从1取起，证实时应依据详细情况而定.,练习1,:欲用数学归纳法证实2,n,n,2,试问n第一个取值应是多少?,答:对n=1,2,3,逐一尝试,可知初始值为n=5.,证实中需要注意问题,练习2,:用数学归纳法证实3,n,n,2,.,此题在第二步证实过程中在假设n=k时,3,k,k,2,成立基础上,当n=k+1时,要说明此式大于零,则必须k,2.故在证实第一步中,初始值应取1和2两个值.,第19页,(2)在第二步中,证实n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,不然就打破数学归纳法步骤之间逻辑递推关系,造成推理无效.,第20页,练习.下面是某同学用数学归纳法证实命题,过程.你认为他证法正确吗?为何,(1).当n=1时,左边=,右边=,(2).假设n=k时命题成立 即,那么n=k+1时,左边,=右边,即n=k+1时,命题也成立.,由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.,第21页,(3)在证实n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要分析命题结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式差异.搞清应增加项.,学案P74例题1,第22页,1,.已知:,则 等于(),A:B:,C:D:,C,练习：,2.学案P74 A 2.,第23页,重点：两个步骤、一个结论；,注意：递推基础不可少，,归纳假设要用到，,结论写明莫忘记。,第24页,分析:找到,“,递推关系,”,就等于把握住处理问题,“,灵魂,”,。,有几项？,是什么,它比,多出了多少，是首要问题。,例3对于nN,*,用数学归纳法证实：,实际上f(k+1)不但比f（k）多一项，而且前k项中每一项分别比f（k）中多了1,2,3,4k,f(k+1)=f(k)+1+2+3+k,第25页,证实：设f(n)=,(1)当n1时，左边1，右边1，等式成立,(2)设当nk,时等式成立，即,则n=k+1时，,f(k+1)=1(k+1)+2(k+1)-1+3(k+1)-2+,+(k+1)-23+(k+1)-12+(k+1),=f(k)+1+2+3+k+(k+1),由（1）（2）可知当nN*时等式都成立。,第26页,归纳法：由特殊到普通，是数学发觉主要方法；,数学归纳法科学性：基础正确；可传递；,数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论；,数学归纳法优点：克服了完全归纳法繁杂、不可行缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠不足，是一个科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到普通、由有限到无穷,数学归纳法基本思想：,在可靠基础上利用命题本身含有传递性,利用,“,有限,”,伎俩来处理,“,无限,”,问题,数学归纳法关键,:,在验证命题n=n,0,正确基础上,证实命题含有传递性,而第二步实际上是以一次逻辑推理代替了无限验证过程.所以说数学归纳法是一个合理、切实可行科学证题方法，实现了有限到无限飞跃。,课堂小结,第27页,用数学归纳法证实恒等式步骤及注意事项：,明确首取值n,0,并验证真假。（必不可少）,“,假设n=k时命题正确,”,并写出命题形式。,分析,“,n=k+1时,”,命题是什么，并找出与,“,n=k,”,时,命题形式差异。搞清左端应增加项。,明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形惯用,方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，,并 用上假设。,可明确为：,第28页,作业：,P95练习：,1，2.,第29页,
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