高三理科数学模拟试卷04.doc

高三理科数学模拟试卷04
2016年高考模拟试卷04
理科数学
本试卷分第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题〕两部分.第I卷1至2页.第II卷3至4页.考试结束后，将本草纲目试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无交通工效.
3.第I卷共12小题，第小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

第Ⅰ卷 〔选择题，共60分〕
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数〔为虚数单位〕的虚部是〔 〕
A. B. C. D.
2. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是〔 〕
A． B． C． D．
3. 已知， ，则〔 〕
A. B. C. D. －
4.设双曲线上的点P到点的距离为6，则P点到的距离是〔 〕
A．2或10 B.10 C.2 D.4或8
5. 下列有关命题说法正确的是〔 〕
A. 命题p：“”，则p是真命题Ø
B．的必要不充分条件
C．命题的否定是：“”
D．“”是“上为增函数”的充要条件
6. 将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像,则的一条对称轴方程可以为〔 〕
A. B. C. D.
7．2015年高中生技能大赛中三所学校分别有3名、2名、1名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是 〔 〕
A． B． C． D．
8．执行如图8的程序框图，若输出的值是，则的值可以为〔 〕
A． B． C． D．

9．若某几何体的三视图〔单位：〕如图所示，则该几何体的体积〔 〕
A. B. C. D.
10．若的展开式中存在常数项，则可以为〔 〕
A．8 B．9 C．10 D. 11
11． 〔 〕
A． B． C． D．
12. 形如的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数有最小值，则当的值分别为方程中的时的“囧函数”与函数的图像交点个数为〔 〕．
A． B． C． D．

第Ⅱ卷〔非选择题，共90分〕
二.填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分.

13．一个长方体高为5，底面长方形对角线长为12，则它外接球的表面积为

14．如图，探照灯反射镜的纵截面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点
F处，灯口直径AB为0，灯深〔顶点O到反射镜距离〕0，
则光源F到反射镜顶点O的距离为

15.已知点的坐标满足条件，那么的取值范围为

16．，则=

三.解答题：本大题共5小题，每题12分共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．〔本小题满分12分〕
已知为单调递增的等差数列，,设数列满足
〔1〕求数列的通项 ；
〔2〕求数列的前项和 .

18. 〔本小题满分12分〕
我国新发布的《环境空气质量标准》指出：空气质量指数在为优秀，人类可正常活动.某市环保局对该市2015年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为，，，，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.
〔1〕 求的值，并根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；
〔2〕 如果空气质量指数不超过，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取天的数值，其中达到“特优等级”的天数为.求的分布列和数学期望.

19．〔本小题满分12分〕
如图，是平行四边形，平面，, ，
，. ，，分别为，，的中点．
〔1〕求证：；
〔2〕求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

20．〔本小题满分12分〕
已知椭圆离心率为，以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆O与直线： 相切.
〔1〕 求椭圆C的方程；
〔2〕 设不过原点O的直线与该椭圆交于P、Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围.

21． 〔本小题满分12分〕
已知定义在R上的偶函数，当时，.
〔1〕当时，求过原点与函数图像相切的直线的方程;
〔2〕求最大的整数，使得存在，只要，就有.

请在第22.23.24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.

22． 〔本小题满分10分〕选修4-1，几何证明选讲
如图，A、B是圆O上的两点,且AB的长度小于圆O的直径，直线与AB垂于点D且与圆O
相切于点C.若
〔1〕 求证：为的角平分线;
〔2〕求圆的直径的长度.

23． 〔本小题满分10分〕选修4—4：极坐标与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线的方程为x+y-8=0，曲线C的参数方程为[来源:学,科,网Z,X,X,K]
.
〔1〕 已知极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点， 以x轴正半轴为极轴，若点P的极坐标为，请判断点P与曲线C的位置关系；
〔2〕设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线的距离的最小值与最大值.

24． 〔本小题满分10分〕选修4—5：不等式选讲
设函数．
〔1〕 当时，求不等式的解集；
〔2〕 若,关于的不等式的解集为,且,
求实数的取值范围.

参考答案

一．选择题： 本大题共12小题，每小题5分．

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
A
A
D
A
C
B
B
C
D
C

二．填空题： 本大题共4小题，每小题5分．
13. ；14. 或或 ；15. ; 16.

三、解答题：
17. 解：〔1〕 解法1：
设的公差为，则
为单调递增的等差数列 且 ………1分
由得解得 ………4分
………5分
………6分
解法2：设的公差为，则
为单调递增的等差数列 ………1分
由得解得 ………5分
………6分
〔2〕 ………7分
由①
得② ………8分
① -②得， ……9分
又不符合上式 ………10分
当时,
………11分
符合上式 , ………12分
18解： 〔1〕由题意，得 ………2分
解得 ………3分
50个样本中空气质量指数的平均值为
………5分
可估计2015年这一年度空气质量指数的平均值约为24.6 …………6分
〔2〕利用样本估计总体，该年度空气质量指数在内为“特优等级”，且指数达到“特优等级”的概率为0.2，则 .的可能取值为0，1，2， …………………7分

的分布列为：

0
1
2

…………………10分
.〔或者〕. …………………12分
19．解：〔1〕证明：如图19-1
………1分
………2分
而
………………3分

………5分
………6分
〔2〕法1：如图19-2，设的中点为，连结，，.
易知所以四点共面
,分别为，，的中点
………7分
同理 又…8分
二面角即为平面与平面所成的锐二面角 ……9分
,, ……10分
且
就是平面与平面所成锐二面角的一个平面角 …11分
………12分
法2：如图19-3，设的中点为，连结，，.作于点
易知所以四点共面 ………7分

又 ………8分
………9分
又由〔1〕知
的法向量 …10分

………11分
设平面与平面所成锐二面角的大小为，则
………12分
法3：如图19-4，
………1分
又 ………2分
建立如右图所示坐标系,则
,,,

, ………4分
〔1〕 ………5分
………6分
〔2〕 设的一个法向量为,则
由得 ………7分
解得 ………8分
又 而，
平面，为平面的一个法向量 ………10分
………11分
平面FGH与平面EBC所成锐二面角的余弦值为 ………12分
20．解：〔1〕 由直线： 与圆 相切得：
， ……………2分
由 得 ， ……………3分
又 ……………4分
椭圆C的方程为 ……………5分
〔2〕由题意可知，直线的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为
y＝kx＋m〔m≠0〕，P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕，
由消去y得〔1＋4k2〕x2＋8kmx＋4〔m2－1〕＝0， …………6分
则Δ＝64k2m2－16〔1＋4k2〕〔m2－1〕＝16〔4k2－m2＋1〕>0，
且x1＋x2＝，x1x2＝. ……………7分
故y1y2＝〔kx1＋m〕〔kx2＋m〕＝k2x1x2＋km〔x1＋x2〕＋m2.
因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，
所以·＝＝k2， …………8分
即＋m2＝0， 又m≠0，所以k2＝，即k＝±. …………9分
由Δ>0，及直线OP，OQ的斜率存在，得0<m2<2且m2≠1. ………10分
S△OPQ＝|x1－x2||m|＝ ， ………………11分
〔 或S△OPQ〕
所以S△OPQ的取值范围为〔0,1〕． ……………………12分
21 解：〔1〕
解法1：因为为偶函数，当时，， ……1分
， ……2分
设切点坐标为，则切线斜率为
切线方程为 ……3分
又切线过〔0，0〕，所以 ……4分
，切线方程为 ，即 ……5分
解法2：当时， ，， 了 ……1分
记过原点与相切的直线为L，设切点坐标为，
则切线L斜率为 切线方程为 ……2分
又切线过〔0，0〕，所以 ……3分
，切线方程为 ， ……4分
为偶函数，图像关于y轴对称，
∴当时，设过原点与相切的直线方程为
即 ……5分
〔2〕因为任意，都有，故x=1时，
当时，，从而，∴
当时，，从而，
∴ ，综上 ， ……………6分
又整数，即，故，故x=m时，
得：， 即存在，满足 ……………7分
∴ ，即， ……………8分
令，，则
当时，，单调递减；
当时，，单调递增， ……………9分
又，，，
由此可见，方程在区间上有唯一解，
且当时，当时，
，故，此时. ……………10分
下面证明：对任意恒成立，
①当时，即，等价于，
，∴， ……………11分
②当时，即，等价于
令，则，在上递减，在上递增，
∴，而，
综上所述，对任意恒成立. ……………12分
22.解： 〔I〕 证法1：如图22-1
由切割线定理得
……………1分
……………2分
……………3分
……………4分
= ， 为的角平分线 ……………5分
证法2：如图22-1
由切割线定理得 ……………1分
……3分
……4分
为的角平分线 ……………5分
〔2〕法1：如图22-2连结并延长交圆于点,连结,
设延长线上一点为,则AE为圆O直径，
直线与圆O相切于点C. ，
〔等角的余角相等〕
…………6分
〔相等的圆周角所对的弦相等〕 …………7分
…………8分
…………9分
圆的直径为4 …………10分
法2：如图22-3,连结和,则
……………6分
又 ……………7分
， ……………8分
，又
四边形AOCB为菱形 ……………9分
圆的直径为 ………10分
法3：由证法2得，……………8分

……………9分
如图22-4 连结OB ，
为等边三角形，
圆的直径为 ……………10分
23．解：〔1〕设点P的直角坐标系坐标为，则
得 ： P〔4，4〕. ……2分
……4分
点P在曲线C 外. ……5分
〔2〕法1：因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为 ， ……6分
从而点Q到直线的距离为 ……7分
……8分
当时，Q到直线的距离的最小值为 ……9分
当时，Q到直线的距离的最大值为 ……10分
法2：直线的平行线n方程可设为：x+y+t=0 ……6分
联立得 ，即 ……7分
……8分
曲线C的两切线方程为 与
Q到直线的距离的最大值为 ……9分
Q到直线的距离的最小值为 ……10分
24解：
〔1〕解法1：时, 即为可化为
……………3分
解得 ……………4分
所以不等式的解集为R ……………5 分
解法2：令,则 ……………3分

所以 ……………4分
所以不等式的解集为R ……………5分
〔2〕解： ……………6分
① 时，这时的解集为,
满足, 所以 ……………7分
②当时,
这时即可化为
所以 ……………8分
因为
所以即即
所以 ……………9分
又因为 所以
综合①②得实数的取值范围为 ……………10分

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