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高考专题复习思想方法：数形结合
班级： 姓名：
数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要数学思想方法.利用数形结合思想，“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而找到解题思路，使问题得到解决.以形助数常用的有：借助于数轴、函数图像、单位圆、数式的结构特征、解析几何方法，以数解形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系、运算结果与几何定理的结合.

【以形助数】
例1、〔集合中的数形结合〕
已知集合，当，求实数的取值范围.
参考解答：画数轴分析可得.

例2、〔函数中的数形结合〕
设，当时，恒成立，求的取值范围.
参考解答：
解法一：由，在上恒成立在上恒成立.
考查函数的图像在时位于轴上方，如下图
不等式的成立条件是：
1〕；
2〕；
综上所述
解法二：由，令，
在同一坐标系中作出两个函数的图像〔如右图〕满足条件的直线位于之间，而直线
对应的的值分别为，故直线对应的.

例3、〔方程中的数形结合〕
若方程在内有唯一解，求实数的取值范围.
参考解答：
原方程变形为，即，
作出曲线，和直线的图象，由图可知：
①当时，有唯一解；
②当时，即时，方程有唯一解.
综上可知，或时，方程有唯一解.

例4、〔不等式中数形结合〕
不等式在时恒成立，求的取值范围.
参考解答：

例5、〔解析几何中的数形结合〕
已知满足，求的最大值与最小值.
参考解答：
对于二元函数在限定条件下求最值问题，常采用构造直线截距的方法
来求之.令，则，原问题转化为：在椭圆上求一点，
使过该点的直线斜率为，且在轴上截距最大或最小，由图可知，当直线与
椭圆相切时，有最大截距与最小截距.由
可得，得，故的最大值为，最小值为.

例6、〔复数中的数形结合〕
已知复数满足，求的模的最大值与最小值.
参考解答：
由于，有明显几何意义，它表示复数对应的点到复数
对应的点之间的距离，因此满足的复数对应的点，在以
为圆心，以为半径的圆上，〔如图〕，而表示复数对应的点到原点
的距离，显然，当点、圆心、点三点共线时，取得最值，.

【配套练习】
1、方程的解的个数为———————————————————————————————〔〕

2、如果实数满足，则的最大值为———————————————————————〔〕

参考解答：
等式有几何意义，它表示坐标平面上的一个圆，圆心为，半径，
如图，表示圆上的点与坐标原点的连线的斜率. 如此以来，该问题
可转化为如下几何问题：动点在以为圆心，以为半径的圆上移动，求直线
的斜率的最大值，由图可见，当在第一象限，且与圆相切时，的斜率最大，
经简单计算得最大值为.

3、若，且，则的最小值是———〔〕

参考解答：如图所示易知结果
4、已知函数，若，则的大小关系为.
5、设函数，若，，
则关于的方程的解的个数为——————————————————————————————〔〕

6、函数的最小值为————————————————————————〔〕

7、已知函数在区间内递减，则实数的取值范围为.
参考解答：如图所示，可知对称轴
8、设、分别是方程的根，
则＝.
9、不等式对任意都成立，
则的取值范围为.
参考解答：
由图知.
10、如果关于的方程有两个实数根，并且，
求实数的取值范围.
参考解答：
令，由题.
11、求函数的值域.
参考解答：
的形式类似于斜率公式，表示过两点，
的直线的斜率，由于点在单位圆上，显然
，设过的圆的切线方程为，则有
，解得，即，，
所以，所以函数值域为.
12、已知集合，
求满足下列条件时实数的取值范围.
⑴；
⑵；Ü
参考解答：画区域分析问题，⑴，⑵
13、求函数的最值.
参考解答：
设，则，且
所给函数化为以为参数的直线方程，
它与椭圆在第一象限的部分〔包括端点〕有公共点，〔如图〕所以
，相切于第一象限时，取最大值，解
得，所以.

【高考真题】
1、若集合，集合，且，
则实数的取值范围为.
参考解答：
集合，显然，表示以为圆心，以为半径
的圆在轴上方的部分，〔如图〕，而则表示一条直线，其斜率，纵截距为，由图形易
知，欲使，即直线与半圆有公共点，显然的最小逼近值为，
最大值为即.

2、已知〔其中〕，且是方程的两根〔〕，
则实数，且.

3、点是椭圆上一点，它到其中一个焦点的距离为，为的中点，表示原点，
则————————————————————————————————————————————〔〕

参考解答：
设椭圆另一焦点为，〔如下图〕，则，而，因为，
所以，又注意到各为的中点，所以是的中位
线，因此.

4、关于的方程在上有两个不相等的实数解，求实数的取值范围.
参考解答：
设，可作图得.
〔数的问题转换为形的问题有多种途径、多种方法，
应选择最简单、最佳方案，这称为最优化原则〕

【以数助形】
例7、设，二次函数的图像为下列之一，则的值为—————————————〔〕

① ② ③ ④

例8、线段的两个端点为，直线，已知直线与线段有公共点，
求的取值范围.
参考解答：
不论取何值，直线恒过定点，斜率为，由图与线段有公共点，
需要由直线的位置〔绕点〕逆时针转动到的位置.在这一转动过程中，
的倾斜角先逐渐增大到〔从而的斜率逐渐增大到〕，绕过轴后，倾斜角
依然逐渐增大，因此其正切值〔的斜率〕逐渐增大到的斜率，又，
故，即.

例9、已知为椭圆内一点，为椭圆左焦点，为椭圆上一动点，
求的最大值和最小值.
参考解答：
由椭圆的定义知，

即，

【配套练习】
1、已知函数，若且，则的取值范围是.
2、已知，若中仅含有两个元素时，
则实数的取值范围.
参考解答：

已知当时与在轴左侧必有一个交点，故要在轴右侧有一个交点只需，
同理当时与在轴右侧必有一个交点，故要在轴左侧有一个交点只需.

3、下图中的函数图像①、②、③、④与函数方程、、、的对应关系中，有可能正确的一组是——————〔〕

4、已知函数的图像如图所示，则——————————————————————〔〕

0
y
1
2
x
参考解答：
本题可将图形转化为具体数值，由图像过个特殊点及与轴的相对位置特征，可得到以下等式：
⑴，即；
⑵，即；
⑶，即；
⑷；
⑸当时，，由得，
⑹当时，，，可推得.
巧妙合理地利用以上各式，就可以得到多种简捷的解法：
方法一：⑵⑶得，再由⑹推得，选；
方法二：⑵⑸推得；
方法三：由⑷比较同次项系数得，再由⑹得.

2015届高三数学思想方法专题一：数形结合
班级： 姓名：
数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要数学思想方法.利用数形结合思想，“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而找到解题思路，使问题得到解决.以形助数常用的有：借助于数轴、函数图像、单位圆、数式的结构特征、解析几何方法，以数解形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系、运算结果与几何定理的结合.

【以形助数】
例1、〔集合中的数形结合〕
已知集合，当，求实数的取值范围.

例2、〔函数中的数形结合〕
设，当时，恒成立，求的取值范围.

例3、〔方程中的数形结合〕
若方程在内有唯一解，求实数的取值范围.

例4、〔不等式中数形结合〕
不等式在时恒成立，求的取值范围.

例5、〔解析几何中的数形结合〕
已知满足，求的最大值与最小值.

例6、〔复数中的数形结合〕
已知复数满足，求的模的最大值与最小值.

【配套练习】
1、方程的解的个数为———————————————————————————————〔 〕

2、如果实数满足，则的最大值为———————————————————————〔 〕

3、若，且，则的最小值是———————————————————————〔 〕

4、已知函数，若，则的大小关系为 .
5、设函数，若，，
则关于的方程的解的个数为——————————————————————————————〔 〕

6、函数的最小值为————————————————————————〔 〕

7、已知函数在区间内递减，则实数的取值范围为 .
8、设、分别是方程的根，则＝ .
9、不等式对任意都成立，则的取值范围为 .
10、如果关于的方程有两个实数根，并且，
求实数的取值范围.

11、求函数的值域.

12、已知集合，
求满足下列条件时实数的取值范围.⑴；⑵.Ü

13、求函数的最值.

【高考真题】
1、若集合，集合，且，
则实数的取值范围为 .
2、已知〔其中〕，且是方程的两根〔〕，
则实数，且 .
3、点是椭圆上一点，它到其中一个焦点的距离为，为的中点，表示原点，
则————————————————————————————————————————————〔 〕

4、关于的方程在上有两个不相等的实数解，求实数的取值范围.

【以数助形】
例7、设，二次函数的图像为下列之一，则的值为—————————————〔 〕

① ② ③ ④

例8、线段的两个端点为，直线，已知直线与线段有公共点，
求的取值范围.

例9、已知为椭圆内一点，为椭圆左焦点，为椭圆上一动点，
求的最大值和最小值.

【配套练习】
1、已知函数，若且，则的取值范围是 .
2、已知，若中仅含有两个元素时，则实数的
取值范围 .
3、下图中的函数图像①、②、③、④与函数方程、、、的对应关系中，有可能正确的一组是——————〔 〕

4、已知函数的图像如图所示，则——————————————————————〔 〕

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