连续型随机变量及其概率密度PPT参考课件.ppt

概率论,第四节 连续型随机变量及其概率密度,连续型随机变量及其概率密度函数,概率密度函数的性质,三种重要的连续型随机变量,则称,X,为连续型随机变量,称,f,(,x,),为,X,的,概率密度函数,简称为,概率密度,.,一、连续型随机变量及其概率密度函数,有,使得对任意,实数,对于随机变量,X,如果存在非负可积函数,f,(,x,),连续型随机变量的分布函数在 上连续,(Continuous Random Variable),(Probability Density Function),二、概率密度函数的性质,1,o,2,o,f,(,x,),x,o,面积为1,这两条性质是判定一个,函数,f(x),是否为某,r.v X,的,概率密度的充要条件,对于任意实数,x,1,x,2,(,x,1,0),都是常数,则称,X,服从参数为 和 的,正态分布,或,高斯分布,.,X,N(,2,),正态分布是概率论中非常重要的分布，,可以用正态分布来描述的实例非常多，,例如，各种测量的误差；人的生理特征；工厂产品的尺寸；,农作物的收获量；海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度；,热噪声电流强度；学生们的考试成绩等。,正态分布的重要性可以由以下情形加以说明：,1),正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，,大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的。,可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，,但其中任何一个因素都不起决定性作用，,则该随机指标一定服从或近似服从正态分布。,2),正态分布有许多良好的性质，,这些性质是其它许多分布所不具备的。,3),正态分布可以作为许多分布的近似分布。,则有,曲线 关于 轴对称；,函数 在 上单调增加,在 上,单调减少,在 取得最大值；,x=,为,f,(,x,),的两个拐点的横坐标；,当,x,时，,f,(,x,),0,.,f,(,x,),以,x,轴为渐近线,决定了图形的中心位置,决定了图形中峰的陡峭程度,.,正态分布,的图形特点,若固定,的值而,变化时,则密度曲线的形状不变,它沿着,x,轴方向平行移动,若固定,的值而,变化时，,则密度曲线的位置不变，而其形状将改变，,当,大时曲线平缓，当,小时曲线陡峭,设,X,X,的分布函数,是,正态分布 的分布函数,的正态分布称为,标准正态分布,.,其密度函数和分布函数常用,和,表示：,标准正态分布,(,Standard Normal Distribution,),的性质,:,标准正态分布的重要性,在于,任何一个的,正态分布,都可以通过线性变换转化为,标准正态分布,.,定理,1,证,:,Z,的分布函数为,:,则有,:,根据定理,1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题,.,于是,:,书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表,.,正态分布表,当,x,0,时,(,x,),的值.,若,若,X,N,(0,1),N,(0,1),则,由标准正态分布的查表计算可以求得，,这说明,X,的取值几乎全部集中在,-,3,3,区间内,超出这个范围的可能性仅占不到,0.3%,.,当,X,N,(0,1),时，,P,(|,X,|1)=2,(,1,)-,1,=,0.6826,P,(|,X,|2)=2,(,2,)-,1,=,0.9544,P,(|,X,|3)=2,(,3,)-,1,=,0.9974,3,准则,将上述结论推广到一般的正态分布,可以认为，,X,的取值几乎全部集中在,区间内,.,在统计学上称作,“,3,准则,”,.,N,(0,1),X,N(,2,),时，,标准正态分布的上 分位点,设,若数 满足条件,则称点 为,标准正态分布的,上 分位点,.,看一个应用正态分布的例子,:,公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在,0.01,以下来设计的,.,设男子身高,X,N,(,170,6,2,),问车门高度应如何确定,?,例,:,解,P,(,X h,)0.01,或,P,(,X,h,),0.99,，,下面我们来求满足上式的最小的,h,.,设车门高度为,h,cm,按设计要求,因为,X,N,(,170,6,2,),故,P,(,X,0.99,因而,=,2.33,即,h,=170+13.98 184,设计车门高度为,184,厘米时，,可使男子与车门碰头机会,不超过,0.01,.,P(,X,h,)0.99,求满足,的最小的,h.,所以,.,