江西省南昌市第十九中学等校联考2023-2024学年高二下学期期末调研测试数学试题.docx

江西省南昌市第十九中学等校联考2023-2024学年高二下学期期末调研测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．数列 的一个通项公式为（    ）
A． B．
C． D．
2．已知集合 ，则的真子集个数为（    ）
A．3 B．4 C．7 D．8
3．某物体走过的路程 (单位： ) 与时间 (单位： ) 的函数关系为 ，则该物体在 时的瞬时速度为（    ）
A． B． C． D．
4．已知在等差数列 中， ，则 （    ）
A．15 B．30 C．45 D．60
5．设 为函数 的极值点，则（    ）
A． B． C． D．
6．已知实数满足，则（    ）
A． B．0 C．1 D．2
7．若首项为 1 的数列 满足 ，则 （    ）
A． B． C． D．1
8．在平面直角坐标系中，为曲线上位于第一象限内的一点，为在轴上的射影，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．“ ” 成立的一个充分条件是（    ）
A． B． C． D．
10．已知为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数，则（    ）
A． B．
C． D．
11．设数列满足，且当时，，则（    ）
A． B．
C． D．

三、填空题
12．已知命题 ，则 为 .
13．方程 的唯一正根为 .
14．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹， 用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术， 剪纸具有广泛的群众基础， 交融于各族人民的社会生活， 是各种民俗活动的重要组成部分， 其传承赓 (gêng) 续的视觉形象和造型格式， 蕴涵了丰富的文化历史信息， 是中国古老的民间艺术之一.已知某剪纸的裁剪工艺如下： 取一张半径为 1 的圆形纸片，记为，在内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为，并裁剪去该正方形与内切圆之间的部分 (如图所示阴影部分)，记为一次裁剪操作，，重复上述裁剪操作次，最终得到该剪纸，则第2024次操作后，所有被裁剪部分的面积之和为 .

四、解答题
15．已知函数 .
(1)判断 的奇偶性，并说明理由；
(2)求 时， 的值域.
16．已知函数 .记 为 的导函数.
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性.
17．已知数列 的前 项和 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
18．已知函数 ，证明：
(1) ；
(2) ；
(3)，.
19．若数列 满足 ，且 ，则称数列 为 “正余弦错位数列”.已知数列 为 “正余弦错位数列”.
(1)若 ，求 ；
(2)证明： 数列 为等差数列.

试卷第3页，共3页

参考答案：
1．B
2．A
3．A
4．D
5．B
6．D
7．C
8．B
9．AB
10．ABC
11．ABD
12．
13．
14．
15．(1)为奇函数，理由见解析
(2)

【分析】（1）根据奇偶函数的定义即可下结论；
（2）根据指数型函数的单调性判断在上单调递增，进而求解.
【详解】（1）为奇函数，理由如下：
由题意知，的定义域为R，
由，得，
所以，
故为奇函数；
（2），
因为函数在上单调递增，
所以函数在上单调递减，
则函数在上单调递增，
故函数在上单调递增，且，
所以在上的值域为.
16．(1)
(2)详解见解析

【分析】（1）根据导数的几何意义计算即可求解；
（2）设，分类讨论当、时对应的单调性即可.
【详解】（1）当时，，则，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2），则，
设，则，
令，得，
当即时，，，
此时在上单调递增；
当即时，，.，.
此时在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
17．(1)
(2)

【分析】（1）根据计算即可求解；
（2）由（1）知，当时；当时，利用错位相减法计算即可求解.
【详解】（1），
当时，，
当时，，
则；
又不符合上式，所以.
（2）由（1）知，设，
当时，；
当时，，
所以，
则，
两式相减得，
所以，
综上，.
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析

【分析】（1）利用导数求出函数的最小值即可得证；
（2）由（1）可得，构造函数，利用导数证明，即可得证；
（3）由（2）可得，，再结合对数的运算性质即可得证.
【详解】（1）由，
得，
所以函数在上单调递增，
所以；
所以
（2）由（1）得，
而，
则，
所以，
令，
则，当且仅当时取等号，
所以函数在上单调递增，
所以，所以，
即，
所以，
即 ；
（3）由（2）得，
所以，．
所以

，
即．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
19．(1) ，，
(2)证明见解析

【分析】（1）由， ，解方程求，同理可求 ；
（2）由条件，结合诱导公式可得或，结合条件
，证明，结合等差数列定义证明结论.
【详解】（1）当时 ，由已知， ，知 ，
又由，可知，
所以，又， 所以符合题意，
同理，由 ，，得或，
又，所以，
由 ，，得，
又， 符合题意.
（2）因为 ，所以 ，
所以或，
即或，
因为，
所以，，
所以，，
所以或或，
又，所以，
则，
所以，
所以数列 是公差为的等差数列.
【点睛】关键点点睛：由 ，由诱导公式可得 ，可得或，利用好“正余弦错位数列”的定义条件，即可得到，再利用等差数列的概念即可.

答案第5页，共6页