8.河南省安阳市第一中学2023-2024学年高二上学期第二次阶段考试数学试题.docx

河南省安阳市第一中学2023-2024学年高二上学期第二次阶段考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．直线的倾斜角为（    ）
A． B． C． D．
2．如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（    ）

A． B．24 C．32 D．
3．若直线与平行，则两直线之间的距离为（    ）
A． B．1 C． D．2
4．在正四棱锥P—ABCD中，，则该四棱锥的体积为（    ）
A．21 B．24 C． D．
5．圆C：关于直线对称圆的方程为（    ）
A． B．
C． D．
6．若椭圆（）与双曲线（）有共同的焦点，，P是两曲线的一个交点，则的面积是（    ）
A．3 B．1 C． D．
7．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，为双曲线上第二象限内一点，若渐近线与线段交于，且满足，，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
8．已知、为圆不同两点，且满足，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．在空间直角坐标系中，设、分别是异面直线、的两个方向向量，、分别是平面、的两个法向量，若，，，，下列说法中正确的是（    ）
A． B． C． D．
10．已知曲线 ，则（    ）
A．若 m =1，n > 0，则C 是以 n 为半径的圆
B．若 m >1，n > 0，则C 是焦点在 x 轴上的椭圆
C．若C 是双曲线，则 m < 0
D．若C 是两条直线，则 n=0
11．已知直线：与圆：有两个不同的公共点，，则（    ）
A．直线过定点 B．当时，线段长的最小值为
C．半径的取值范围是 D．当时，有最小值为
12．已知椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是（    ）
A．离心率的取值范围为
B．当时，的最大值为
C．存在点，使得
D．点到椭圆的上顶点的距离最大值为

三、填空题
13．如图，在棱长为的正四面体中，分别为棱的中点，则 ．

14．与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的标准方程为 .
15．已知圆和两点，．若圆上存在点，使得，则的最大值为 ．
16．2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo（如图所示），设计师的灵感来源于曲线：．当，，时，下列关于曲线的判断正确的有 ．

①曲线关于轴和轴对称
②曲线所围成的封闭图形的面积小于8
③曲线上的点到原点的距离的最大值为
④设，直线交曲线于、两点，则的周长小于8

四、解答题
17．设直线与圆相交于A，两点，若，求圆的面积．

18．在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是中点．

(1)证明：平面；
(2)求到面的距离．

19．已知点，曲线上任意一点均满足.
(1)求的轨迹方程；
(2)过点的直线与交于两点，证明：．

20．如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，，．

(1)记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求；
(2)设点F在线段AP上，，求二面角的余弦值．

21．已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为，离心率为，过椭圆的右焦点F的直线l与坐标轴不垂直，且交椭圆于A，B两点．
求椭圆的方程；
设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C，B，N三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由；
设，是线段为坐标原点上的一个动点，且，求m的取值范围．

22．已知椭圆过点，且．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值．

参考答案：
1．A 2．D 3．C 4．B
5．D 6．B 7．A 8．D
9．BD 10．BC 11．ABD 12．AB
13．/
14．
15．11
16．①②③
17．【详解】因为圆，即，
可知圆心为，半径，
则到直线的距离为，
又因为由，得，解得，
所以圆的面积为．
18．【详解】（1）以为原点，直线，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，
所以，
又因为，所以，
所以平面.
（2）由（1）知平面的法向量为，
又因为，
所以到面的距离为．
19．【详解】（1）设的坐标，由，
得，
化简，得，即.
故的轨迹方程为.
（2）当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以
当与轴不垂直时，设的方程为，，
将代入得.
所以，.
则直线的斜率之和为
由得.
则.
从而，故的倾斜角互补，所以.
综上，
方法二：当与轴重合时，.
当与轴不重合时，设的方程为，，
将代入得.
所以，.
则直线的斜率之和为.
由得
.
则.
从而，故的倾斜角互补，所以.
综上，.
方法三：由题意，，所以，
在中由正弦定理知
①②
因为，所以，
①②得，
又，所以.

20．【详解】（1）因为与是底面圆弧所对的圆周角，
所以，
因为，所以在等腰中，，
所以，
因为是圆柱的底面直径，所以，则，
所以，则，即，
所以在等腰，，平分，则，
所以，则，
故在中，，，则，
在中，，
因为是圆柱的母线，所以面，
所以，
，
所以．
（2）以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设，则，，，
则，
所以，，，
因为，所以，
则，
设平面的法向量，则，即，
令，则，故，
设平面的法向量，则，即，
令，则，故，
设二面角的平面角为，易知，
所以，
因此二面角的余弦值为．
21．【详解】由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆C的方程为，
椭圆C的一个顶点为，即
由，解得：，
所以椭圆C的标准方程为；
由得，设，，
设直线l的方程为，代入椭圆方程，消去y可得
则，，
点C与点A关于x轴对称，
假设存在，使得C、B、N三点共线，
则，，
、B、N三点共线，
，
，
即，
．
存在定点，使得C、B、N三点共线．
由，
，
，
，

，
，
解得：，
当时，符合题意
故m的范围为
【点睛】本题考查直线与椭圆综合问题，定点问题，相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量共线定理、两点之间的距离公式、向量垂直与数量积的关系、三点共线问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22．【详解】(Ⅰ)设椭圆方程为：，由题意可得：
，解得：，
故椭圆方程为：.
(Ⅱ)[方法一]：
设，，直线的方程为：，
与椭圆方程联立可得：，
即：，
则：.
直线MA的方程为：，
令可得：，
同理可得：.
很明显，且，注意到，
，
而

，
故.
从而.
[方法二]【最优解】：几何含义法
①当直线l与x轴重合，不妨设，由平面几何知识得，所以．
②当直线l不与x轴重合时，设直线，由题意，直线l不过和点，所以．设，联立得．由题意知，所以．且．
由题意知直线的斜率存在．．
当时，
．
同理，．所以．
因为，所以．

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