8.山西省大同市2023-2024学年高二上学期期末质量监测数学试题.docx

山西省大同市2023-2024学年高二上学期期末质量监测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．直线过点，，则直线在轴上的截距是（   ）
A． B．3 C． D．
2．曲线在处的切线方程为（   ）
A． B．
C． D．
3．等差数列的前项和为．若，则（   ）
A．8092 B．4048 C．4046 D．2023
4．函数的单调递减区间是（   ）
A． B． C． D．
5．设圆，圆，则是两圆相切的（   ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．若椭圆的离心率和双曲线的离心率恰好是关于的方程的两个实根，则实数的取值范围是（   ）
A． B． C． D．
7．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于（   ）
A． B． C． D．3

二、多选题
8．已知，且满足，则下列结论一定正确的是（   ）
A． B． C． D．
9．已知空间四点，，，，则下列四个结论中正确的是（   ）
A． B．
C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为
10．已知双曲线的方程为，则（   ）
A． B．的焦点可以在轴上
C．的焦距一定为8 D．的渐近线方程可以为
11．已知数列的前项和为，首项，且满足，则下列四个结论中正确的是（   ）
A．数列是等比数列 B．
C． D．
12．已知点是焦点为的抛物线上的一个动点，，则（   ）
A．的最小值为1 B．的最小值为4
C．的最小值为3 D．的最大值为

三、填空题
13．已知为等比数列，，，则 ．
14．点，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，则的周长是 ．
15．已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，且点在第一象限，若，则 ．
16．已知函数，其中，若使得成立，则实数的取值集合为 ．

四、解答题
17．已知函数在时取得极值．
(1)求实数的值；
(2)若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．
18．已知在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点在线段上，直线平面，．

(1)求证：点为中点；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
19．在平面直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为，倾斜角为的直线与交于，两点．
(1)求的方程；
(2)以为直径的圆能否经过坐标原点？若能，求出直线的方程；若不能，请说明理由．
20．已知数列的前项和为，且，数列满足，数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)求．
21．已知椭圆经过点，一个焦点在直线上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设经过原点的两条互相垂直的直线分别与椭圆相交于，两点和，两点．求四边形的面积的最小值．
22．已知函数．
(1)求的解析式；
(2)讨论在上的零点个数．

试卷第3页，共4页

参考答案：
1．D
2．A
3．C
4．B
5．B
6．D
7．C
8．AD
9．AB
10．ACD
11．BCD
12．AB
13．
14．
15．9
16．
17．(1)
(2)
【解析】（1）易知，
依题意，解得，
此时，
当或时，；当时，，
即函数在，上单调递增，在上单调递减，
因此函数在时取得极值，
所以．
（2）由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增；
所以，
由题意可得，解得，
所以的取值范围为．
18．(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）
连接交于点，连接，
因为平面，且平面，
平面平面，所以．
又因为在正方形中，是的中点，所以点为中点．
（2）
因为平面，四边形为正方形，
，平面，所以，，两两垂直，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，，，，，
所以，．
设平面的法向量为，
则 即
令，则，，即；
由平面，得，
又，，平面，平面，
所以平面，
即是平面的一个法向量．
所以．
所以平面与平面夹角的余弦值为．

19．(1)
(2)不能，理由见解析
【解析】（1）设，则，
化简得．
所以的方程为．
（2）设直线的方程为，，，如下图所示：

联立可得，
所以，解得．
由韦达定理得，
假设以为直径的圆能经过坐标原点，则，
即，可得，
又，
所以，此时方程无实数解．
所以以为直径的圆不能经过坐标原点．
20．(1)
(2)
【解析】（1）当时，，得，
由，得，
所以，化简得，
又，所以，即数列是等比数列，且公比．
所以．
（2）由（1）得，
所以．
则

．
21．(1)
(2)
【解析】（1）由题意，椭圆的左、右焦点分别为，，即，
所以，
即，，所以椭圆的方程为．
（2）①当直线的斜率不存在或为0时，，，，分别为椭圆的四个顶点，所以．
②当直线的斜率存在且不为0时，设，则，
设，，，，
联立，解得，即，
所以，同理，

所以．
令，则，，
所以，，
当时，又，
所以四边形的面积的最小值为．
22．(1)
(2)2
【解析】（1）（1）．
令可得，解得．
所以．
（2）由（1）中可得，
①当时，有，，
所以恒成立，
所以在上单调递减，，
即可得0是的一个零点．
②当时，
设，则恒成立，
即在上单调递增．
又，，
根据零点存在定理可知，使得．
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增．
又，所以．
因为，
根据零点存在定理可知，使得．
综上所述，在上的零点个数为2．

答案第5页，共6页