2.广东省深圳实验学校高中部2023-2024学年高一上学期第三阶段考试数学试题.docx

广东省深圳实验学校高中部2023-2024学年高一上学期第三阶段考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．设集合，则（    ）
A． B． C． D．
2．已知，则下列一定成立的是（    ）
A． B．
C． D．
3．若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的周长为（    ）
A．1 B．2 C．4 D．6
4．已知函数，则（    ）
A． B． C． D．0
5．头孢类药物具有广谱抗菌、抗菌作用强等优点，是高效、低毒、临床应用广泛的重要抗生素.已知某人服用一定量某种头孢类药物后，血浆中的药物浓度在2h后达到最大值80mg/L，随后按照确定的比例衰减，半衰期（血浆中的药物浓度降低一半所需的时间）为2.4h，那么从服药后开始到血浆中的药物浓度下降到8mg/L，经过的时间约为（参考数据：）（    ）
A．8h B．9h C．10h D．11h
6．设实数，且，则“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．记函数的最小正周期为.若，且的图象关于点中心对称，则（    ）
A．1 B． C． D．3
8．已知函数，若存在，满足，且，则（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．下列化简正确的是（    ）
A．
B．
C．
D．
10．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的为（   ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．在区间上单调递减 D．的图象与的图象关于对称
11．已知，且，则（    ）
A．的最大值为2 B．可能为3
C．的最大值为2 D．的最小值为6
12．已知实数满足，且，则（    ）
A． B．
C． D．

三、填空题
13．已知函数的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为 ．
14．已知角的终边过点，则的值为 .
15．已知是定义域为的奇函数，且，若，则 .
16．已知函数（其中）.为的最小正周期，且满足.若函数在区间上恰有一个最大值一个最小值，的取值范围是 .

四、解答题
17．已知函数.
(1)求在区间上的对称轴；
(2)求函数在区间上的取值范围.
18．已知函数是定义域为的奇函数.
(1)求的值；
(2)用定义证明在上单调递增.
19．已知.
(1)化简；
(2)若，且.求的值.
20．已知函数的定义域为，对任意都有，，且当时，.
(1)求；
(2)已知，且，若，求的取值范围.
21．如图，某公园有一块扇形人工湖OAB，其中，千米，为了增加人工湖的观赏性，政府计划在人工湖上建造两个观景区，其中荷花池观景区的形状为矩形，喷泉观景区的形状为，且C在OB上，D在OA上，P在上，记．

(1)试用θ分别表示矩形和的面积；
(2)若在PD的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区的费用为每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为6万元．求当θ为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用．
22．设函数.
(1)设，在处取得最大值，求；
(2)关于x的方程在区间上恰有12个不同的实数解，求实数k的取值范围.

试卷第3页，共4页

参考答案：
1．B
2．D
3．C
4．A
5．C
6．A
7．C
8．D
9．BD
10．AD
11．BCD
12．BC
13．（答案不唯一）
14．
15．
16．.
17．(1)
(2).

【解析】（1）因为，
令，则，
令，得，
在区间上的对称轴为；
（2）对于，
，，
，
所以当，即时取得最大值，即；
当或，即或时取得最小值，即；
，
所以函数在区间上的取值范围为.
18．(1)；
(2)证明见解析.

【解析】（1）函数是定义域为的奇函数，
，即，解得，
下证当时，为奇函数.
，
当时，为奇函数.
（2）由（1）得，任取，

，且函数在上单调递增，
，而，
，即，
是上的单调增函数.
19．(1)
(2).

【解析】（1）.
（2）由已知，
，
，
，

20．(1)，；
(2)

【解析】（1）令得，
，
令，得，
，
令，得，
；
（2）任意，设，则，
时，，
，
，
是上的减函数，
中，令得，
故为奇函数，
，且，
又，
，
，即，
则，
当时，，则，即，故；
当时，，则，即，则；
综上，的取值范围为
21．(1)矩形的面积为；
的面积为：
(2)，万元

【解析】（1）解：由题意，所以，，
所以矩形PCOD的面积为，
的面积为.
（2）解：由题意，可得建造观景区所需总费用为：，
设，则，
又由，
所以，
当，即时，有，
所以（万元），
即当平时，建造该观景区总费用最低，且最低费用为万元．
22．(1)
(2)

【解析】（1）解：因为，
所以函数关于直线对称，
因为当时，，其中，，
所以存在，使得为函数在区间上的最大值，由对称性可知也为在区间上的最大值，
所以，
所以，，
，
由对称性可知还存在，使得为函数在区间上的最大值，
所以，，
综上，；
（2）解：因为，
所以函数为周期函数，周期为，
所以原问题等价于关于的方程在区间上恰有个不同的实数解，
又由对称性可知关于的方程在区间上恰有个不同的实数解，
当时，，，，
所以，
因为，所以，
因为，所以，解得，
所以的取值范围为.

答案第5页，共6页