山东省青岛市青岛第二中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题.docx

山东省青岛市青岛第二中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合，则下列结论错误的是（    ）
A． B． C． D．
2．已知集合，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A的个数为（    ）
A．11 B．12 C．13 D．14
3．设集合，其中为自然数集，，，则下列结论正确的是（    ）
A． B． C． D．
4．设，则“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若“，”是假命题，则的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
6．近来牛肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的牛肉价格分别为a元/斤、b元/斤，学校甲食堂和乙食堂购买牛肉的方式不同，甲食堂每周购买6000元钱的牛肉，乙食堂每周购买80斤牛肉，甲食堂、乙食堂两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（    ）
A． B． C． D．，的大小无法确定
7．已知，，，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
8．对于集合A，B，我们把集合叫做集合A与B的差集，记作．若集合，集合，且，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（    ）
A． B．A的不同子集的个数为8
C． D．
10．下列说法中，错误的是（    ）
A．若，，则
B．若，，则
C．“对，恒成立”是“”的必要不充分条件
D．设，则的最小值为2
11．若关于的不等式的解集为，则的值可以是（    ）
A． B． C． D．
12．已知正实数a，b满足，则下列选项正确的是（    ）
A．的最大值为2 B．的最小值为
C．的最大值为3 D．的最小值为2

三、填空题
13．已知，，若集合，，且，则的值为 ．
14．设命题p：实数x满足，其中，命题q：实数x满足，若是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围为 ．
15．当时，关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
16．若存在正实数，使得，则的最大值为 .

四、解答题
17．设集合，
(1)若时，求，；
(2)若，求m的取值范围．
18．为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．
(1)求m的值及用x表示S；
(2)当隔热层的厚度为多少时，总费用S达到最小，并求最小值．
19．已知不等式．
(1)若当时不等式成立，求实数a的取值范围；
(2)解这个关于x的不等式．
20．已知．
(1)若方程有两个实数根，，且，求实数a的值；
(2)若集合，，若，求a的取值范围．
21．设集合，集合，如果对于任意元素，都有或，则称集合P为的自邻集．记为集合的所有自邻集中最大元素k的集合的个数．
(1)直接判断集合和是否为的自邻集；
(2)比较和的大小，并说明理由．

试卷第3页，共4页

参考答案：
1．C 2．B 3．C 4．A 5．B 6．C 7．D 8．A
9．ABC 10．ABD 11．BC 12．AD
13． 14． 15． 16．/
17．【详解】（1）当时，，
，
或，或；
（2）若，，则，
若，或，
解得：或，
综上可知，或，
18．【详解】（1）设隔热层厚度x，依题意，每年的能源消耗费用为：，而当时，，
则，解得，
显然建造费用为，所以隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和为：
（）.
（2）由（1）知
，
当且仅当，即时取等号，
所以当隔热层的厚度为6.25cm时，总费用取得最小值110万元．
19．【详解】（1）依题意，当时，，整理得，而.
于是，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）当时，，解得，原不等式的解集为；
当时，原不等式可化为.
当时，原不等式同解于，
解得或，原不等式的解集为或；
当时，原不等式同解于，
若，则，解得，原不等式的解集为；
若，则，，无解，原不等式的解集为；
若，则，解得，原不等式的解集为，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
20．【详解】（1）由题意知方程有两个实数根，，
故，即或；
又，故由得，
即，解得或，
结合或，故；
（2）由题意得，
由，即，
即，
因为，则,
当时，符合题意，此时，解得；
当时，有两相等实数根，
，且，
故；
当时，有两相等实数根，
，且，
当时，不成立，故此时；
当时，有两实数根，
则，即；
综合上述可得.
21．【详解】（1）由，得和，
而，所以不是的自邻集，
又，
所以是的自邻集.
（2），
则其自邻集中最大元素为6的集合中必含5和6，则有，，，
，，，，，共9个，即，
其自邻集中最大元素为5的集合中必含4和5，则有，，，，共5个， ，
其自邻集中最大元素为3的集合中必含2和3，则有，共2个，，
所以.

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