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湖北省武汉市华中师大第一附中2023-2024学年度高二下学期四月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知函数的图象在处的切线方程为，则（    ）
A． B． C．0 D．1
2．记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）．
A．120 B．85 C． D．
3．已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（   ）
A． B．2 C．4 D．
4．若函数在区间上的最小值为，则实数的值为（    ）
A． B． C． D．
5．已知，，若成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
6．已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为
A． B． C． D．
7．武术是中国的四大国粹之一，某武校上午开设文化课，下午开设武术课，某年级武术课有太极拳、形意拳、长拳、兵器四门，计划从周一到周五每天下午排两门课，每周太极拳和形意拳上课三次，长拳和兵器上课两次，同样的课每天只上一次，则排课方式共有（    ）
A．19840种 B．16000种 C．31360种 D．9920种
8．已知函数，过点作曲线的两条切线，切点为，其中.若在区间中存在唯一整数，则a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，k称为公差比下列说法正确的是（    ）
A．等差数列一定是等差比数列
B．等差比数列的公差比一定不为0
C．若，则数列是等差比数列
D．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比
10．已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
11．下列不等关系中，正确的是（    ）
A． B． C． D．

三、填空题
12．数列满足，若对任意，所有的正整数n都有成立，则实数k的取值范围是 .
13．已知双曲线的右焦点为F．圆与双曲线C的渐近线在第一象限交于点P，直线与双曲线C交于点Q，且，则双曲线C的离心率为 ．
14．已知实数满足，，则 ．

四、解答题
15．已知各项都不相等的等差数列的前六项和为60，且为和的等比中项.
(1)求数列的通项公式及前n项和；
(2)若数列满足，且，求数列的前n项和.
16．（1）已知函数，判断函数的单调性并证明；
（2）设为大于1的整数，证明：.
17．如图，过点的直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，点P是直线BO上的点，且轴．

(1)当最小时，求直线l的方程；
(2)若直线PC，PD分别与抛物线相切，切点是C，D，求证：C，M，D三点共线．
18．已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．
19．已知函数，.
(1)当时，过坐标原点作曲线的切线，求切线方程；
(2)设定义在上的函数在点处的切线方程为，对任意，若在上恒成立，则称点为函数的“好点”，求函数在上所有“好点”的横坐标（结果用表示）.

试卷第3页，共3页

参考答案：
1．B
2．C
3．A
4．A
5．B
6．B
7．D
8．C
9．BCD
10．ACD
11．ACD
12．
13．
14．
15．(1)，
(2)
【解析】（1）设等差数列的公差为()，
则，
解得，∴．
；
（2）由，
∴,

．当时，也符合上式
∴．
∴

．
16．（1）函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析；
（2）证明见解析
【解析】（1）函数的定义域为，函数的定义域为
函数在上单调递减，
在上单调递增
证明：，
∴
则为上的偶函数.

，，故，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）（证法一）要证明，
需证明
即证明，
即，
由（1）可知即证.
∵且在单调递增，
∴
所以对，成立.
（证法二）要证明,
即证明，
即证，
即证，
设函数，
，
故函数在上单调递增
又，∴，
即成立，
故原不等式成立.
【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；
(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
17．(1)或
(2)证明见解析

【解析】（1）设，，
当且仅当时，取得最小，此时．
直线l的方程是：或
（2）设，，，，
∵A，M，B三点共线，得：，化简得：ab＝－4，
又P，O，B三点共线，，化简得：t＝ab＝－4，∴，
直线PC切抛物线于点，设直线PC的方程为
联立方程组，整理得：
，
因为直线与抛物线相切，则，
即，整理得：，所以，因为在抛物线上，所以
，所以，代入直线方程，得
又因为，，代入得
∴PC方程为：，
同理：PD方程为：，PC，PD相交于点，
∴，，
即：，两点均在直线ay＝x－4上，
直线CD方程为：ay＝x－4，经过点，因此：C，M，D三点共线．
18．(1)
(2)证明见的解析
【解析】（1）[方法一]：常规求导
的定义域为，则

令,得
当单调递减
当单调递增，
若,则,即
所以的取值范围为
[方法二]：同构处理
由得：
令，则即
令，则
故在区间上是增函数
故，即
所以的取值范围为
（2）[方法一]：构造函数
由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设
要证,即证
因为,即证
又因为,故只需证
即证
即证
下面证明时，
设，
则

设
所以,而
所以,所以
所以在单调递增
即,所以
令

所以在单调递减
即,所以；
综上, ,所以.
[方法二]：对数平均不等式
由题意得：
令，则，
所以在上单调递增，故只有1个解
又因为有两个零点，故
两边取对数得：，即
又因为，故，即
下证
因为
不妨设，则只需证
构造，则
故在上单调递减
故，即得证
【点睛】关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式
这个函数经常出现，需要掌握

19．(1)
(2)横坐标
【解析】（1）当时，，，
设切点坐标为，则切线方程为：

因为切线过原点，代入原点坐标可得：
令，则，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
所以，且当时，，所以的解唯一，即，
所以切点坐标为，切线斜率为，切线方程为：.
（2）设点是函数上一点，且在点处的切线为，
则
令，所以
，
①当，即时，，
则时，，所以在单调递减，故，即：，不满足，所以时，不是函数在上的好点.
②当，即时，
i）若，即，此时：
当时，，所以在单调递减，
不满足，所以当时，不是函数在上的好点
ii），即，此时：
当时，，所以在单调递减，
不满足，所以当时，不是函数在上的好点.
iii）当，即，此时：
时，恒成立，所以在单调递增，
故当时，，即，所以时：
当时，，即，所以时，
即对任意，，所以当时，是函数在上的好点.
综上所述，在上存在好点，横坐标.

答案第9页，共9页