江苏省东台市2023-2024学年高二上学期期末数学试题.docx

江苏省东台市2023-2024学年高二上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知直线与直线互相垂直，则m为（    ）
A． B．1 C． D．2
2．在等比数列中，若，则（    ）
A． B． C． D．
3．已知函数的导数为，则＝（    ）
A．1 B．2
C．3 D．4
4．已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（    ）．
A． B． C．4 D．2
5．已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且点到的距离为，则该抛物线的焦点坐标为（    ）
A． B． C． D．
6．在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人分十七，要作第八数来言”．题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠．按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分17斤绵．则年龄最小的儿子分到的绵是（    ）
A．65斤 B．82斤 C．184斤 D．201斤
7．设分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，，若双曲线的离心率，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
8．设函数，若函数存在两个极值点，且不等式恒成立，则t的取值范围为（    ）．
A． B．
C． D．

二、多选题
9．已知圆，直线与圆M交于C，D两点，则下列结论正确的是（    ）．
A．的取值范围是
B．若直线l经过圆M的圆心，则的值为
C．当直线l过原点O时，圆M上的动点到直线l的最大距离为
D．若，则
10．已知等比数列的公比为q，前项和为，若，则下列结论正确的是（    ）
A． B．
C． D．
11．己知直线交抛物线于、两点，下列说法正确的是（    ）．
A．
B．为定值
C．线段AB的中点在一条定直线上
D．为定值（O为坐标原点，、分别为直线OA、OB的斜率）
12．已知函数，其中，则（    ）．
A．不等式对恒成立
B．若直线与函数的图象有且只有两个不同的公共点，则k的取值范围是
C．方程恰有3个实根
D．若关于x的不等式恰有1个负整数解，则a的取值范围为

三、填空题
13．若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为 ．
14．在数列中，，则 ．
15．已知为椭圆的两个焦点，P，Q为椭圆C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ．
16．已知函数，若在上存在零点，则实数a的最大值是 ．

四、解答题
17．在①，②，③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答．己知等差数列的前n项和为，，__________，__________．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
18．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：在上单调递增．
19．已知双曲线，焦点为，其中一条渐近线的倾斜角为，点M在双曲线上，且．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若直线交双曲线C于A，B两点，若的面积为，求实数m的值．
20．已知正项数列的前n项和为，且；数列是单调递增的等比数列，公比为q，且，的等差中项为10；，的等比中项为8．
(1)求，的通项公式；
(2)设，为数列的前n项和，若存在使得成立，求实数的最大值．
21．已知椭圆的左右顶点分别为A、B，椭圆的离心率为，短轴长为．

(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点的直线l与椭圆交于M，N两点，且点M在第一象限，判断是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
22．已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若，函数有两个零点，且，求证：．

试卷第3页，共4页

参考答案：
1．C
2．A
3．D
4．A
5．B
6．C
7．B
8．B
9．AB
10．BC
11．ACD
12．AD
13．/0.5
14．/
15．2
16．
17．(1)
(2)

【详解】（1）由于是等差数列，设公差为d，
当选①②，，解得
所以的通项公式
选①③，，解得，
所以的通项公式
选②③，，解得，
所以的通项公式
（2）由（1）知，，
所以，
所以
．
18．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，
所以,
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
（2）由（1）知，，
因为所以，又，
所以，
所以在上单调递增.
19．(1)；
(2)．
【详解】（1）由条件知，，故．
即双曲线标准方程为.
（2）设，O到直线l的距离为h，
联立得，
由，解得，
而又由，
故弦长，

解得，故．
20．(1)
(2)
【详解】（1）由可得，
当时，，两式相减得，
，
即，
，
即可得是等差数列．
由，得，
即．
由题意得，即，解得或，
是递增的等比数列，
，所以，得，
，
即；
（2）由（1）得：
若存在使得成立，
等价于存在使得能成立，
设，则，
是递减数列，故的最大值为，
因此的最大值为.
21．(1)；
(2)答案见解析.
【详解】（1）由条件，即，解得．
故椭圆C的方程．
（2）方法一：当直线l的斜率不存在时，，，
；
当直线l的斜率存在时，不妨设，
联立直线和椭圆方程可得，显然，
且，
从而
综上所述，存在常数，使得.
方法二：不妨设，，
联立直线和椭圆方程可得，显然，
，
，
又，故.
故存在常数，使得.
22．(1)单调增区间为，无单调减区间
(2)证明见解析
【详解】（1）当时，，，
令，，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，从而，
即恒成立，则的单调增区间为，无单调减区间．
（2）证明：当时，，，
令，则，
令，解得，
由，解得，由，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
由于，则，，
要证，则证即可．
又，则，代入，
则证即可．
构造函数，则，
故为增函数，，即在时成立．
从而成立，即成立，即成立．

答案第5页，共5页