中考数学——几何热考题（一 ）相交线与平行线热考模型(10种题型汇总+专题训练+10种模型解析)(含答案).docx

第四章 三角形
重难点07 几何热考题一 相交线与平行线热考模型
（10种题型汇总+专题训练+10种模型解析）
【题型汇总】

题型01 三线八角的识别
已知
图示
结论（性质）

直线AB、CD被直线EF所截，且AB与CD不平行

1）同位角有4组，如：∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8；
2）内错角有2组，如：∠3与∠5、∠6与∠8；
3）同旁内角有2组，如：∠3与∠6、∠4与∠5；
4）对顶角有4组，如：∠1与∠3、∠2与∠4、∠5与∠7、∠6与∠8.

直线AB、CD被直线EF所截，且AB∥CD

1）同位角相等：∠1=∠5、∠2=∠6、∠3=∠7、∠4=∠8；
2）内错角相等：∠3=∠5、∠6=∠8；
3）同旁内角互补：∠3+∠6=180°、∠4+∠5=180°；
4）对顶角相等：∠1=∠3、∠2=∠4、∠5=∠7、∠6=∠8.
解题方法：运用平行线的性质计算角的度数，要正确地辨认同位角、内错角、同旁内角，同时结合平行线的性质及其他有关角的性质、定义进行计算.
1．（2022·青海·中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（    ）

A．同旁内角、同位角、内错角
B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角
D．同位角、内错角、同旁内角
2．（2023·河北唐山·二模）下列图中，∠1和∠2不是同位角的是（    ）
A．   B．   C．   D．  
3．（2024·内蒙古·中考真题）如图，直线l1和l2被直线l3和l4所截，∠1=∠2=130°，∠3=75°，则∠4的度数为（    ）

A．75° B．105° C．115° D．130°
4．（2024·陕西·中考真题）如图，AB∥DC，BC∥DE，∠B=145°，则∠D的度数为（    ）

A．25° B．35° C．45° D．55°
题型02 猪蹄模型

猪蹄模型
猪蹄模型-进阶（又称“锯齿”模型）
条件
AB∥DE
a∥b
图示

结论
∠B+∠E=∠BCE
∠B+∠CMN+∠E=∠BCM+∠MNE

左拐角之和=右拐角之和
辅助线作法：过拐点作平行线，有多少拐点就作多少平行线.
【补充】选、填题结论直接套用，解答题需写过程.
1．（2024·江苏南通·中考真题）如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2=41°，则∠1的度数为（    ）

A．41° B．51° C．49° D．59°
2．（2021九年级·全国·专题练习）在图中，AB//CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系？

3．（2024抚顺市模拟预测）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
已知：如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到∠AEC．
求证：∠AEC=∠A+∠C

小明笔记上写出的证明过程如下:
证明：过点E作EF∥AB
∵∠1=∠A
∵AB∥CD，EF∥AB
∴EF∥CD
∴∠2=∠C
∴∠AEC=∠1+∠2
∴∠AEC=∠A+∠C
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若AB∥CD，∠E=60∘，求∠B+∠C+∠F；

(2)如图，AB∥CD， BE平分∠ABG， CF平分∠DCG，∠G=∠H+27∘，求∠H．

题型03 铅笔头模型

铅笔头模型
铅笔头模型-进阶
条件
AB∥DE
AB∥DE
a∥b
图示

结论
∠B+∠BCE+∠E=360°
∠B+∠BMN+∠MNE+∠E=540°
[类推]
1. 如图，两直线AB、CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=（    ）．

A．630° B．720° C．800° D．900°
2. 如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG=150°，∠DEF=130°，则∠AGC的度数是 ．

3. 如图①所示，四边形MNBD为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），则∠BAE+∠AEC+∠ECD= （度）；

（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EF、∠FCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD= （度）；
（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD= （度）；
（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是 （度）．
4. （1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．
（2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．
（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．

题型04 大脚模型
类型
大脚模型
骨折模型
已知
AB∥CD
图示

结论
∠E=∠1-∠3
即：脚尖度数=大角-小角
∠E=∠3-∠1
1．（20-21八年级上·贵州六盘水·阶段练习）如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD= ．

2（2021九年级·全国·专题练习）已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D

3.（2021·全国·九年级专题练习）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式 ．

4. ①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型05 蛇形模型
条件
AB∥CD
图示

结论
∠BCD+∠D-∠B=180°
∠BCD+∠B-∠D=180°
1．（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．

(1)如图1，已知∠A=50°，∠D=150°，求∠APD的度数；
(2)如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ．
(3)如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+12∠PAB=∠APD，求∠AND的度数．
2．如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，AD∥BE

(1)求证：∠B+∠C−∠A=180°：
(2)如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系；
(3)如图③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，直线AQ、BC交于点P，QP⊥PB，直接写出∠DAC：∠ACB：∠CBE=　 　．  
3．（23-24七年级下·辽宁营口·阶段练习）如图，AB ∥ DC，点E在直线AB，DC之间，连接DE，BE．

(1)写出∠ABE，∠BED，∠EDC之间的数量关系，并说明理由；
(2)若∠EDC=21°，∠BED=2∠B，求∠B的度数；    
题型06 平行平分三等角
解题大招：平行平分得三等角.
1．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知AD∥BC，BD平分∠ABC．若∠A=110°，则∠D的度数是（    ）

A．40∘ B．36∘ C．35° D．30∘
2．（2024·四川·中考真题）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，∠1=30°，则∠2=（    ）

A．15° B．30° C．45° D．60°
3．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，已知直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1=40°，则∠2的度数是（    ）

A．70° B．50° C．40° D．140°
4．（2023·四川资阳·模拟预测）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=54°，则∠2= ．

题型07 平行线折叠问题
记住三句话: ①折叠前后对应角，对应边相等.
②折叠不改变原先的平行关系.
③以折线为对称轴.
1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿AB折叠，量得∠1=∠2=59°；小铁把纸带②沿GH折叠，发现GD与GC重合，HF与HE重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（    ）

A．纸带①、②的边线都平行
B．纸带①、②的边线都不平行
C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行
D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行
2．（2024·山西大同·模拟预测）如图1，四边形ABCD是一张矩形纸片，点O是BC上一点，将矩形纸片ABCD折叠得到图2，使得OB与OC重合．若∠2=50°，则∠1的度数为（   ）

A．30° B．40° C．50° D．55°
3．（2023·江苏盐城·二模）如图，将平行四边形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点C'处，∠1=58°，∠2=42°，则∠C的度数为（   ）

A．100° B．109° C．126.5° D．130°
4．（2024·四川凉山·模拟预测）如图，把矩形ABCD纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D'，C'的位置．若∠AED'=50°，则∠EFC的度数为 ．

题型08 三角板拼接模型
常见的三角板与三角板（平行）拼接模型：
类型
两条斜边平行
斜边于直角边平行
两条直角边平行

图示

顶点在斜边上
顶点在直角边上
顶点在边上
顶点重合

【提示】根据平行线的性质及三角形内角和进行角度计算，计算线段长时会用到特殊角的三角函数值.
1．（2023·江苏盐城·中考真题）小华将一副三角板（∠C=∠D=90°，∠B=30°，∠E=45°）按如图所示的方式摆放，其中AB∥EF，则∠1的度数为（    ）

A．45° B．60° C．75° D．105°
2．（2024·四川凉山·中考真题）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF∥AB时，∠EDB的度数为（    ）

A．10° B．15° C．30° D．45°
3．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则∠1的大小为（    ）

A．100° B．105° C．115° D．120°
4．（2023·黑龙江绥化·中考真题）将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，∠1=25°，∠2=30°，则∠3的度数为（    ）

A．55° B．65° C．70° D．75°
题型09 直尺与三角板拼接模型综合
类型一 直尺与30°角的三角板拼接
图示

解题方法
利用三线八角求解
结论
∠1+∠2=90°
∠1=∠2
∠1+∠2=90°
类型二 直尺与45°角的三角板拼接
图示

解题方法
遇拐点作平行线
三线八角+三角板特殊角求解
三角板特殊角求解
结论
∠1+∠2=90°
∠1=∠2=75°
∠1=105°
【提示】直尺本身含平行线，根据平行线性质及三角形的内角和进行角度计算.
1．（2024·四川巴中·中考真题）如图，直线m∥n，一块含有30°的直角三角板按如图所示放置．若∠1=40°，则∠2的大小为（    ）

A．70° B．60° C．50° D．40°
2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）将三角尺ABC按如图位置摆放，顶点A落在直线l1上，顶点B落在直线l2上，若l1∥l2，∠1=25°，则∠2的度数是（    ）

A．45° B．35° C．30° D．25°
3．（2024·海南·中考真题）如图，直线m∥n，把一块含45°角的直角三角板ABC按如图所示的方式放置，点B在直线n上，∠A=90°，若∠1=25°，则∠2等于（    ）

A．70° B．65° C．25° D．20°
4．（2024·山东东营·中考真题）已知，直线a∥b，把一块含有30°角的直角三角板如图放置，∠1=30°，三角板的斜边所在直线交b于点A，则∠2=（   ）

A．50° B．60° C．70° D．80°
5．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知l1∥l2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，顶点A,B分别在l1,l2上，当∠1=70°时，∠2= ．

6．（2023·江苏·中考真题）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若∠1=56°，则∠2的度数是（    ）．

A．26° B．30° C．36° D．56°
7．（2024·江苏盐城·中考真题）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若∠1=55°，则∠2的度数为（    ）

A．25° B．35° C．45° D．55°
题型10 等积模型
条件：AB∥CD
图形：
结论：1)2)
1. 如图，P是直线m上一动点，A，B是直线n上的两个定点，且直线m∥n，对于下列各值：①点P到直线n的距离；②△PAB的周长；③△PAB的面积；④∠APB的度数．其中不会随点P的移动而变化的是（   ）

A．①③ B．①② C．②③ D．③④
2.（2024·宁夏吴忠·二模）如图，AD∥BC，AC、BD相交于点E，△ABE的面积等于3，△BEC的面积等于5，那么△BCD的面积是 ．

15．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，若△ABC的面积为8，△BOC的面积为5，则△COD的面积是 ．

3．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，若S△ABDS△BCD=13，则S△AODS△BOC= ．

4（23-24七年级下·湖南永州·期末）课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用
阅读理解：如图1，已知直线a∥b，直线a，b的距离为h，则三角形ABC的面积为S△ABC=12×AB×ℎ．

(1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：S△AOC=S△BOD；
(2)【深化拓展】如图3，记S△AOC=S1、S△BOD=S2、S△COD=S3、S△BOA=S4，根据图形特征，试证明：S1×S2=S3×S4；
(3)【灵活运用】如图4，在平行四边形ABCD中，点E是线段AD上的一点，BE与AC相交于点O，已知S△ABE=10，且EO:EB=2:5，求四边形CDEO的面积．
5．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】如图①，直线l1∥l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？

解：相等．理由如下：
设l1与l2之间的距离为ℎ，则S△ABC=12BC⋅ℎ，S△DBC=12BC⋅ℎ．
∴S△ABC=S△DBC．
【探究】
(1)如图②，当点D在l1，l2之间时，设点A，D到直线l2的距离分别为ℎ，ℎ'，则S△ABCS△DBC=ℎℎ'．

证明：∵S△ABC

(2)如图③，当点D在l1，l2之间时，连接AD并延长交l2于点M，则S△ABCS△DBC=AMDM．

证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM=∠DFM=90°，
∴AE∥ ．
∴△AEM∽ ．
∴AEDF=AMDM．
由【探究】（1）可知S△ABCS△DBC= ，
∴S△ABCS△DBC=AMDM．
(3)如图④，当点D在l2下方时，连接AD交l2于点E．若点A，E，D所对应的刻度值分别为5，1.5，0，S△ABCS△DBC的值为 ．

第四章 三角形
重难点07 几何热考题一 相交线与平行线热考模型
（10种题型汇总+专题训练+10种模型解析）
【题型汇总】

题型01 三线八角的识别
已知
图示
结论（性质）

直线AB、CD被直线EF所截，且AB与CD不平行

1）同位角有4组，如：∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8；
2）内错角有2组，如：∠3与∠5、∠6与∠8；
3）同旁内角有2组，如：∠3与∠6、∠4与∠5；
4）对顶角有4组，如：∠1与∠3、∠2与∠4、∠5与∠7、∠6与∠8.

直线AB、CD被直线EF所截，且AB∥CD

1）同位角相等：∠1=∠5、∠2=∠6、∠3=∠7、∠4=∠8；
2）内错角相等：∠3=∠5、∠6=∠8；
3）同旁内角互补：∠3+∠6=180°、∠4+∠5=180°；
4）对顶角相等：∠1=∠3、∠2=∠4、∠5=∠7、∠6=∠8.
解题方法：运用平行线的性质计算角的度数，要正确地辨认同位角、内错角、同旁内角，同时结合平行线的性质及其他有关角的性质、定义进行计算.
1．（2022·青海·中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（    ）

A．同旁内角、同位角、内错角
B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角
D．同位角、内错角、同旁内角
【答案】D
【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．
【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知
第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．
故选：D．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们．
2．（2023·河北唐山·二模）下列图中，∠1和∠2不是同位角的是（    ）
A．   B．   C．   D．  
【答案】B
【分析】根据同位角的定义(在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角)进行判断．
【详解】A选项：∠1与∠2有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，
B选项：∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角，
C选项： ∠1与∠2有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，
D选项：∠1与∠2有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角．
故选：B．
【点睛】本题考查了同位角的定义，判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
3．（2024·内蒙古·中考真题）如图，直线l1和l2被直线l3和l4所截，∠1=∠2=130°，∠3=75°，则∠4的度数为（    ）

A．75° B．105° C．115° D．130°
【答案】B
【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质是解题的关键．先利用∠1=∠2=130°判定l1∥l2，再利用对顶角的性质和平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵∠1=∠2=130°，
∴l1∥l2，
∴∠5+∠4=180°,
∵∠3=∠5=75°，
∴∠4=180°−75°=105°，
故选：B．

4．（2024·陕西·中考真题）如图，AB∥DC，BC∥DE，∠B=145°，则∠D的度数为（    ）

A．25° B．35° C．45° D．55°
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据“两直线平行，同旁内角互补”，得到∠C=35°，再根据“两直线平行，内错角相等”，即可得到答案．
【详解】∵AB∥DC，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠B=145°，
∴∠C=180°−∠B=35°，
∵BC∥DE，
∴∠D=∠C=35°．
故选B．
题型02 猪蹄模型

猪蹄模型
猪蹄模型-进阶（又称“锯齿”模型）
条件
AB∥DE
a∥b
图示

结论
∠B+∠E=∠BCE
∠B+∠CMN+∠E=∠BCM+∠MNE

左拐角之和=右拐角之和
辅助线作法：过拐点作平行线，有多少拐点就作多少平行线.
【补充】选、填题结论直接套用，解答题需写过程.
1．（2024·江苏南通·中考真题）如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2=41°，则∠1的度数为（    ）

A．41° B．51° C．49° D．59°
【答案】C
【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点B作BE∥a，得到BE∥a∥b，推出∠ABC=∠1+∠2，进行求解即可．
【详解】解：∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°，
过点B作BE∥a，

∵a∥b，
∴BE∥a∥b，
∴∠1=∠ABE,∠2=∠CBE，
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠1+∠2，
∵∠2=41°，
∴∠1=90°−41°=49°；
故选C．
2．（2021九年级·全国·专题练习）在图中，AB//CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系？

【答案】∠E+∠G=∠B+∠F+∠D
【分析】此类题要过各个分点作已知直线的平行线，充分运用平行线的性质进行推导．
【详解】分别过E，F，G作AB的平行线，
∵AB//CD,
∴AB//EM//FN//GH//CD,
则∠1=∠B，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠D，
∴∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D，
即，∠E+∠G=∠B+∠F+∠D．
【点睛】此类题主要注意构造辅助线：平行线，解题的关键是充分运用平行线的性质进行证明．
3．（2024抚顺市模拟预测）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
已知：如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到∠AEC．
求证：∠AEC=∠A+∠C

小明笔记上写出的证明过程如下:
证明：过点E作EF∥AB
∵∠1=∠A
∵AB∥CD，EF∥AB
∴EF∥CD
∴∠2=∠C
∴∠AEC=∠1+∠2
∴∠AEC=∠A+∠C
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若AB∥CD，∠E=60∘，求∠B+∠C+∠F；

(2)如图，AB∥CD， BE平分∠ABG， CF平分∠DCG，∠G=∠H+27∘，求∠H．

【答案】(1)240∘
(2)51∘
【分析】（1）作EM∥AB，FN∥CD，如图，根据平行线的性质得EM∥AB∥FN∥CD，所以∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180∘，然后利用等量代换计算∠B+∠F+∠C=240∘；
（2）分别过G、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用∠ABG和∠DCG分别表示出∠H和∠G，从而可找到∠H和∠G的关系，结合条件可求得∠H=51∘．
【详解】（1）作EM∥AB，FN∥CD，如图，且AB∥CD

∴EM∥AB∥FN∥CD
∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180∘
∴∠B+∠CFE+∠C=∠1+∠3+∠4+∠C=∠BEF+∠4+∠C=∠BEF+180∘，
∵∠BEF=60∘，
∴∠B+∠CFE+∠C=60∘+180∘=240∘；
（2）如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS，

∵BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，
∴∠ABE=12∠ABG，∠SHC=∠DCF=12∠DCG，
∵AB∥CD
∴AB∥CD∥RS∥MN
∴∠RHB=∠ABE=12∠ABG，∠SHC=∠DCF=12∠DCG，
∴∠NGB+∠ABG=∠MGC+∠DCG=180∘，
∴∠BHC=180∘−∠RHB−∠SHC=180∘−12∠ABG+∠DCG，
∠BGC=180∘−∠NGB−∠MGC=180∘−180∘−∠ABG−180∘−∠DCG=∠ABG+∠DCG−180∘

∴∠BGC=360∘−2∠BHC−180∘=180∘−2∠BHC，
∵∠BGC=∠BHC+27∘，
∴180∘−2∠BHC=∠BHC+27∘，
∴∠BHC=51∘．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
题型03 铅笔头模型

铅笔头模型
铅笔头模型-进阶
条件
AB∥DE
AB∥DE
a∥b
图示

结论
∠B+∠BCE+∠E=360°
∠B+∠BMN+∠MNE+∠E=540°
[类推]
1. 如图，两直线AB、CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=（    ）．

A．630° B．720° C．800° D．900°
【答案】D
【详解】分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB

观察图形可知，图中有5组同旁内角，
则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= 180∘×5=900∘.
故选D
【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键
2. 如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG=150°，∠DEF=130°，则∠AGC的度数是 ．

【答案】80°/80度
【分析】过点F作FM∥CD，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根据平行线的性质可以求出∠MFA，∠EFM，进而可求出∠EFA，再根据平行线的性质即可求得∠AGC．
【详解】解：如图，过点F作FM∥CD，

∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥FM，
∴∠DEF+∠EFM=180°，∠MFA+∠BAG=180°，
∵∠BAG=150°，∠DEF=130°，
∴∠MFA=30°，∠EFM=50°，
∴∠EFA=∠EFM+∠AFM=80°，
∵CG∥EF，
∴∠AGC=∠EFA=80°．
故答案为80°．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
3. 如图①所示，四边形MNBD为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），则∠BAE+∠AEC+∠ECD= （度）；

（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EF、∠FCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD= （度）；
（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD= （度）；
（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是 （度）．
【答案】 360 540 720 180n
【分析】过点E作EH∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180°的2倍；
（1）分别过E、F分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；
（2）分别过E、F、G分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的四倍；
（3）根据前三问个的剪法，剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．
【详解】过E作EH∥AB（如图②）．
∵原四边形是长方形，
∴AB∥CD，
又∵EH∥AB，
∴CD∥EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
∵EH∥AB，
∴∠BAE+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵CD∥EH，
∴∠2+∠DCE=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠BAE+∠1+∠2+∠ECD=360°，
又∵∠1+∠2=∠AEC，
∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；

（1）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示，

用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；
（2）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示，

用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；
（3）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．
故答案为：360；540；720；180n．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点．
4. （1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．
（2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．
（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．

【答案】（1）∠B+∠BPD+∠D=360°，理由见解析；（2）∠BPD=∠B+∠D，理由见解析；（3）图（3）∠BPD=∠D−∠B，图（4）∠BPD=∠B−∠D
【分析】（1）过点P作EF∥AB，得到∠B+∠BPE=180°，由AB∥CD，EF∥AB，得到EF∥CD，得到∠EPD+∠D=180°，由此得到∠B+∠BPD+∠D=360°；
（2）过点P作PE∥AB，由PE∥AB∥CD，得到∠1=∠B，∠2=∠D，从而得到结论∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D；
（3）由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得∠BPD与∠B、∠D的关系．
【详解】（1）解：猜想∠B+∠BPD+∠D=360°．
理由：过点P作EF∥AB，
∴∠B+∠BPE=180°，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠EPD+∠D=180°，
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°，
∴∠B+∠BPD+∠D=360°；
（2）∠BPD=∠B+∠D．
理由：如图，过点P作PE∥AB，

∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠1=∠B，∠2=∠D，
∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D；
（3）如图（3）：∠BPD=∠D−∠B．
理由：∵AB∥CD，

∴∠1=∠D，
∵∠1=∠B+∠P，
∴∠D=∠B+∠P，
即∠BPD=∠D−∠B；
如图（4）：∠BPD=∠B−∠D．
理由：∵AB∥CD，

∴∠1=∠B，
∵∠1=∠D+∠P，
∴∠B=∠D+∠P，
即∠BPD=∠B−∠D．
【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键．
题型04 大脚模型
类型
大脚模型
骨折模型
已知
AB∥CD
图示

结论
∠E=∠1-∠3
即：脚尖度数=大角-小角
∠E=∠3-∠1
1．（20-21八年级上·贵州六盘水·阶段练习）如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD= ．

【答案】40°/40度
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．过点C作CF∥AB，根据平行线的性质和角的和差，求解即可得到结论．
【详解】解：如图，过点C作CF∥AB，
∵∠ABC=80°，
∴∠BCF=∠ABC=80°，
又∵AB∥DE，
∴DE∥CF，
∴∠DCF+∠CDE=180°，
∴∠DCF=40°，
∴∠BCD=∠BCF−∠DCF=80°−40°=40°．
故答案为：40°．
2（2021九年级·全国·专题练习）已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D

【答案】见解析
【分析】过点E作EF∥CD，根据平行线的性质即可得出∠B=∠BOD，根据平行线的性质即可得出∠BOD=∠BEF、∠D=∠DEF，结合角之间的关系即可得出结论．
【详解】证明：过点E作EF∥CD，如图

∵AB∥CD，
∴∠B=∠BOD，
∵EF∥CD（辅助线），
∴∠BOD=∠BEF（两直线平行，同位角相等）；∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等）；
∴∠BEF=∠BED+∠DEF=∠BED+∠D（等量代换），
∴∠BOD=∠E+∠D（等量代换）， 即∠B=∠E+∠D．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质找出相等或互补的角．
3.（2021·全国·九年级专题练习）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式 ．

【答案】∠2+∠3﹣∠1=180°
【分析】根据平行线的性质和平角定义求解即可．
【详解】解：∵AB∥EF，EF∥CD，
∴∠2+∠BOE=180°，∠3+∠COF=180°，
∴∠2+∠3+∠BOE+∠COF=360°，
∵∠BOE+∠COF+∠1=180°，
∴∠BOE+∠COF=180°﹣∠1，
∴∠2+∠3+（180°﹣∠1）=360°，
即∠2+∠3﹣∠1=180°．
故答案为：∠2+∠3﹣∠1=180°．
【点睛】本题考查平行线的性质、平角定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
4. ①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】①过点E作直线EFAB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；
②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；
③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；
④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可．
【详解】解：

①如图1，过点E作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠AEC＝360°，
故①错误；
②如图2，∵∠1是△CEP的外角，
∴∠1＝∠C+∠P，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠1，
即∠P＝∠A﹣∠C，
故②正确；
③如