资源描述
第一章 数与式
第03讲 分式
1
👉题型01 分式有、无意义的条件
👉题型02 分式值为0的条件
👉题型03 求使分式值为整数时未知数的值
👉题型04 分式基本性质的运用
👉题型05 约分
👉题型06 分式运算
👉题型07 判断分式运算的错误步骤
👉题型08 分式化简求值
👉题型09 分式运算的应用
👉题型10 分式的规律探究问题
👉题型11 与分式运算有关的新定义问题
👉题型01 分式有、无意义的条件
1．（2024·湖北恩施·模拟预测）函数y=x+3x-2的自变量的取值范围是（ ）
A．x≤-3 B．x≥-3且x≠2
C．x≤-3且x≠2 D．x≥-3
2．（2024·全国·模拟预测）在函数y=-3x-2-x+1中，自变量x的取值范围是
3．（2024·江西吉安·模拟预测）已知分式2x+ax-b（a，b为常数）当x=2时，分式无意义，当x=0.5时分式的值为0，则ba= ．
4．（2024·河北邢台·模拟预测）已知分式3x-5x+m（m为常数）满足如下表格中的信息，则m= ，p= ．
x的取值
3
p
分式
无意义
值为7
5．（2024·湖南·模拟预测）先化简，再求值：a2+4a+4a2-4×a-2a2+2a-1a2+a，然后从-2，0，1，2中选一个合适的a值代入求解．
👉题型02 分式值为0的条件
1．（2024·广西·模拟预测）如果分式x2-2xx的值为零，那么x值的为（ ）
A．0或2 B．2 C．0 D．不存在
2．（2024·江苏泰州·一模）对于分式 1-m21-m的值，下列说法一定正确的是（ ）
A．不可能为0 B．比1大 C．可能为2 D．比m大
3．（2024·贵州黔东南·一模）若分式x-2x+2值为0，则x的取值范围是（ ）
A．x=-2 B．x=2 C．x≠-2 D．x=±2
4（2024·湖南·模拟预测）当x=3时，分式x-ax+4的值为0，则a的值为 ．
5．（2024·辽宁铁岭·二模）（1）-2-π-3.140+12-2-2sin60∘+12--12024，
（2）先化简，再求值：3-x2x2-4x÷5x-2-x-2的值，其中x使分式x2-4x-2值为0．
👉题型03 求使分式值为整数时未知数的值
1．（2024·江苏扬州·三模）能使分式6x+212x-3值为整数的整数x有 个．
2．（2023·河北石家庄·模拟预测）代数式x-2x2-4x+4÷1x+6的值为F．则F为整数值的个数有（ ）
A．0个 B．7个 C．8个 D．无数个
3．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）已知A=6a+6a2-2a+1，B=2a-1，计算A÷1+B= ．若A÷1+B的值为正整数，则满足条件的所有整数a的和为 ．
4．（2023·重庆·模拟预测）已知两个多项式A=x2+3x+3，B=x2-3x+3（x为实数），以下结论中正确的个数是（ ）
①若A+B=14，则x=±2；
②若A-B-8+A-B+4=12，则-23≤x≤43；
③若A×B=0，则关于x的方程无实数根；
④若x为整数x≠1，且A-7B-1的值为整数，则x的取值个数为5．
A．4 B．3 C．2 D．1
5（2023·山西大同·三模）阅读与思考
下面是小宇同学课外阅读的一则数学材料，请仔细阅读并完成相应任务．
“真分式”与“假分式”
我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：32=1+12．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式．如x+1x-1，x2x-2…这样的分式是假分式；如x-1x2+1，5x2+2…这样的分式是真分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．
例如：
将分式x-2x+3化成一个整式与一个真分式的和的形式，过程如下：
x-2x+3=(x+3)-3-2x+3=(x+3)-5x+3=1-5x+3．
将分式x2+4x-5x+3化成一个整式与一个真分式的和的形式，过程如下：
方法1：x2+4x-5x+3=x2+3x+x-5x+3 =x(x+3)+(x+3)-8x+3=x+1-8x+3．
方法2：由于分母为x+3，可设x2+4x-5=(x+3)(x+a)+b（a，b为常数），
∵(x+3)(x+a)+b=x2+ax+3x+3a+b =x2+(a+3)x+(3a+b)，
∴x2+4x-5=x2+(a+3)x+(3a+b)．
∴a+3=43a+b=-5，解得a=1,b=-8.
∴x2+4x-5=(x+3)(x+1)-8．
∴x2+4x-5x+3=(x+3)(x+1)-8x+3 =(x+3)(x+1)x+3-8x+3=x+1-8x+3．
这样，分式x2+4x-5x+3就被化成了一个整式与一个真分式的和的形式．
任务：
(1)分式2x+3是__________分式（填“真”或“假”）；将假分式2x+3x化为一个整式与一个真分式的和的形式为__________．
(2)请将x2+2x-14x-3化为一个整式与一个真分式的和的形式．
(3)若分式x2+2x-14x-3的值为整数，请根据（2）的结果直接写出符合条件的2个x的值．
👉题型04 分式基本性质的运用
1．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．代数式x+4π是分式 B．分式xyx-y中x，y都扩大3倍，分式的值不变
C．分式x+1x2+1是最简分式 D．分式x+1x-1有意义
2．（2024·重庆·模拟预测）将分式x2y2x+y中x，y同时扩大10倍，则分式的值将（ ）
A．扩大10倍 B．扩大100倍 C．扩大100倍 D．扩大1000倍
3．（2023·河北石家庄·二模）下列各式的计算结果与 ba-ab互为倒数的是（ ）
A．ba+b⋅ab-a B．ab-ba C．1a-1b D．ab-a-1b
4．（2023·河北衡水·二模）已知a>b>c>0，M=ba，N=bΔcaΔc，其中“Δ”代表“＋、－、×、÷”中的一种运算符号，下列说法正确的是（ ）
A．若“Δ”代表的是“＋”，则M<N B．若“Δ”代表的是“－”，则M<N
C．若“Δ”代表的是“×”，则M<N D．若“Δ”代表的是“÷”，则M<N
👉题型05 约分
1．（2024·河南商丘·模拟预测）化简：2x2-2xy6x2y=x-y，括号内应填（ ）
A．6xy B．3y C．3x D．3xy
2．（2023·山西阳泉·一模）如图是徐同学的答卷，他的得分应是（ ）
A．25分 B．50分 C．75分 D．100分
3．（2024·宁夏银川·三模）若ab=3，则分式2a2-2abab-b2的值为 ．
4．（2024·广东·二模）已知a=0.3，b=0.1，则6ab+9a2+b23a+b= ．
5．（2024·浙江宁波·一模）代数式4ab+6ac+12bca2+4b2+9c2的最大值为 ．
👉题型06 分式运算
1．（2024·河北邢台·模拟预测）化简(-y2x)2÷y×1y，正确的是（ ）
A．-y4x2 B．y4x2 C．-y2x2 D．y2x2
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）计算32m-n-2m-n2m-n2的结果是 ．
3．（2024·四川广安·模拟预测）已知a2-3a+1=0，则4a2-9a-2+91+a2的值为 ．
4．（2024·河北保定·三模）图1中阴影部分的面积为S1（边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形）．图2中阴影部分的面积为S2（边长为a的大正方形中有一个长为a、宽为b的小长方形），a>b>0，设k=S1S2，则k的取值范围为 ．
5．（2024·福建泉州·模拟预测）根据如图所示的程序，求输出D的化简结果．
👉题型07 判断分式运算的错误步骤
1．（2024·广东·模拟预测）下面是某同学化简分式2x-1-1÷x2-6x+9x-1 的运算过程．
解：原式=2x-1-x-1x-1⋅x-1x2-6x+9…第一步
=2-x-1x-1⋅x-1x-32…第二步
=1-xx-1⋅x-1x-32…第三步
=1-xx-32…第四步
上面的运算过程中第 步出现错误，请你写出正确的解答过程．
2．（2024·宁夏银川·一模）先化简2a-4a2-1÷1-1a-1，再从-1，0，1，2中选择一个值代入求值．
小陈同学在进行分式化简时，过程如下：
解：原式＝2a-2a-1a+1÷1-1a-1①
＝2a-2a-1a+1÷1-2a-2a-1a+1÷1a-1②
＝2a-2a-1a+1-2a-2a-1a+1×a-1③
……
(1)上述过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ．
(2)请完成正确的完整解题过程．
3．（2024·吉林·二模）请你阅读下列解题过程，并回答所提出的问题．
计算：x+1x2-1-41-x．
解：原式=x+1(x+1)(x-1)-4x-1 第一步
=x+1(x+1)(x-1)-4(x+1)(x+1)(x-1) 第二步
=x+1-4x+1 第三步
=-3x-3 第四步
(1)上述计算过程中，从哪一步开始出现错误______；
(2)从第二步到第三步是否正确？______，同分母分式相加减，分母______，分子______；
(3)正确的结果是______．
4．（2024·宁夏·一模）在数学课上，老师出了一道题，让甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”．
规则如下：每位同学可以完成化简分式的一步变形，即前一位同学完成一步后，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步化简变形，直至将该分式化简完毕．
请根据如表的“接力游戏”回答问题：
接力游戏
老师：化简：1-3x-2x+2÷x2-4x+42x+4
甲同学：原式=x+2-3x-2x+2÷x2-4x+42x+4
乙同学：原式=x+2-3x-2x+2⋅2x+2x-22
丙同学：原式=-2xx+2⋅2x+2x-22
丁同学：原式=-4xx-22.
(1)：①在“接力游戏”中，丁同学是依据______进行变形的．
A.等式的基本性质 B.不等式的基本性质 C.分式的基本性质 D.乘法分配律
②在“接力游戏”中，从_______同学开始出现错误，错误的原因是______．
(2)：请你写出该分式化简的正确结果______．
5．（2024·山东·模拟预测）小明的作业如下：
解：aa-b-1÷ba2-b2
=a-a-ba-b⋅a+ba-bb（第一步）
=-a-b．（第二步）
(1)指出小明的作业是从哪一步开始出现错误的，请更正过来，并计算出正确结果；
(2)若a，b是不等式组2x>0x-3<0的整数解（a<b），求原分式的值．
👉题型08 分式化简求值
1．（2024·河北·模拟预测）如图，若a=6b，则1a-ba-2ab-b2a的值在（ ）
A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段
2．（2024·四川德阳·模拟预测）已知x2-x-1=0，计算2x+1-1x÷12x-12x2x2+2x+1的值是（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
3．（2024·山东聊城·二模）若1+1x-1÷2xx2-2x+1的计算结果为正整数，则对x值的描述最准确的是（ ）
A．x为自然数 B．x为大于1的奇数
C．x为大于0的偶数 D．x为正整数
4．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）化简m-1m2-6m+9÷1+2m-3的结果是 ．
5．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）当x=y+2023时，代数式1x-y⋅2yx+y-1÷1y2-x2的值为
6．（2024·山东滨州·模拟预测）先化简，再求值：x2-2x+1x2-1-1x+1÷2x-4x2+x，其中x=12-1-π-20240+-3．
7．（2024·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值1-1x-1÷x2-4x+4x2-x，再从0,1,2,3这4个数中选择一个恰当的x值代入求值．
👉题型09 分式运算的应用
1．（2023·河北廊坊·二模）a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的浓度为是abb>a>0．
(1)再往杯中加入mm>0克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了．用数学关系式可以表示为______．
(2)请证明（1）中的数学关系式．
2．（2023·福建福州·一模）福州市的市花是茉莉花．“飘香1号”茉莉花实验种植基地是边长为ama>1的正方形去掉一块边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“飘香2号”茉莉花实验种植基他是边长为a-1m的正方形，两块实取种植基地的茉莉花都收获了500kg．请说明哪种茉莉花的单位面积产量更高？
3．（2024·宁夏银川·一模）现在汽车已成为人们出行的交通工具．小李和小王元旦那天相约一起到某加油站加油，当天95号汽油的单价为m元/升，他俩加油的情况如图所示．半个月后的某天，他俩再次相约到同一加油站加油，此时95号汽油的单价下调为n元/升，他俩加油的情况与上次相同，请运用所学的数学知识计算小李、小王两次加油谁的平均单价更低？
4．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知p=km,q=km+1k>0,m≠0,m≠-1．
方方说：“p一定大于q”．以下是方方的解答过程．
解： p-q=km-km+1=km+1-km=k，
因为k>0，所以p-q>0，即p一定大于q．
你觉得方方说法正确吗？为什么？
👉题型10 分式的规律探究问题
1．（2022·广西贺州·一模）对于正数x，规定fx=x1+x，例如：f3=31+3=34，f13=131+13=14，则f12022+f12021+⋯+f(1)+f(2)+⋯+f2021+f2022的值为 ．
2．（2024·浙江·模拟预测）观察下面的一列数：a1=12，a2=13+23，a3=14+24+34，a4=15+25+35+45…
(1)尝试：a2-a1=12；a3-a2=__________；a4-a3=__________．
(2)归纳：an+1-an=__________．
(3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．
3．（2024·四川内江·二模）已知，若a，b为非零实数，则b-aab=1a-1b．
(1)观察下列各式并补充完整：
11×2=1-12；
12×3=12-13；
13×4=13-14；
…
1nn+1=________（n为正整数）．
11×2+12×3+13×4+⋅⋅⋅+1nn+1=________（n为正整数）．
(2)计算：11×3+13×5+15×7+⋅⋅⋅+197×99；
(3)设an=n+1n2+2n2（n为正整数），求证：a1+a2+a3+⋅⋅⋅+an<516．
4．（2022·安徽合肥·二模）观察以下等式：第1个等式：73×(2-33)=3-23；第2个等式：137×(2-35)=3-25；
第3个等式：1911×(2-37)=3-27；第4个等式：2515×(2-39)=3-29；……；
按照以上规律，解答下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
👉题型11 与分式运算有关的新定义问题
1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）对于实数a、b，定义运算：①m⊕n=1m+n;②m⊗n=mnm2-n2.
例如 ①3⊕5=13+5=18;3⊗5=3×532-52=-1516.依此定义方程x⊗2-2⊕x=1的解为 ．
2．（2023·浙江宁波·三模）定义一种新运算：对于任意的非零实数x，y，x⊗y=x2a-y2b．若2⊗4=-12，则1⊗2的值为 ．
3．（2024·四川广元·二模）定义一种新运算：n*n+1=1nn+1，如1*2=11×2，2*3=12×3，3*4=13×4，已知1*2+2*3+3*4+⋯+m*m+1=20232024 (m为正整数)，则m= ．
4．（2024·云南·模拟预测）定义：不大于实数x的最大整数部分，记作x．例如：2=1，-2.6=-3，按此规定，若a=336，b=-2，则ab的值为（ ）
A．13 B．19 C．136 D．-6
5．（2022·河北·二模）对于代数式a，b，c，d规定一种运算：abcd=ad-bc，按照此规定，x-1x+1x+1化简的结果为（ ）
A．x2 B．x+1x C．x+1x-1 D．1
1．（2022·浙江杭州·中考真题）照相机成像应用了一个重要原理，用公式1f=1u+1vv≠f表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ）
A．fvf-v B．f-vfv C．fvv-f D．v-ffv
2．（2024·四川眉山·中考真题）已知a1=x+1（x≠0且x≠-1），a2=11-a1,a3=11-a2,…,an=11-an-1，则a2024的值为 ．
3．（2023·广东广州·中考真题）已知a>3，代数式：A=2a2-8，B=3a2+6a，C=a3-4a2+4a．
(1)因式分解A；
(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
4．（2023·江苏盐城·中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题：
已知3a>b>0，M=ab，N=a+1b+3，试比较M与N的大小．
小华：整式的大小比较可采用“作差法”.
老师：比较x2+1与2x-1的大小．
小华：∵x2+1-2x-1=x2+1-2x+1=x-12+1>0，
∴x2+1>2x-1．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．
(2)比较大小：2368__________2265．（填“>”“=”或“<”）
一、单选题
1．（2024·山东淄博·中考真题）下列运算结果是正数的是（ ）
A．3-1 B．-32 C．--3 D．-3
2．（2024·广东广州·中考真题）若a≠0，则下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．a3⋅a2=a5
C．2a⋅3a=5a D．a3÷a2=1
3．（2024·上海·中考真题）函数f(x)=2-xx-3的定义域是（ ）
A．x=2 B．x≠2 C．x=3 D．x≠3
4．（2023·浙江湖州·中考真题）若分式x-13x+1的值为0，则x的值是（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．-3
5．（2023·四川绵阳·中考真题）使代数式1x+3+4-3x有意义的整数x有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）化简4x+2+x-2的结果是（ ）
A．1 B．x2x2-4 C．xx+2 D．x2x+2
7．（2023·山东聊城·中考真题）-20230的值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．-12023
8．（2023·湖北宜昌·中考真题）下列运算正确的个数是（ ）．
①|2023|=2023；②20230=1；③2023-1=12023；④20232=2023．
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
9．（2024·湖南长沙·中考真题）要使分式6x-19有意义，则x需满足的条件是 ．
10．（2023·上海·中考真题）化简：21-x-2x1-x的结果为 ．
11．（2024·广东·中考真题）计算：aa-3-3a-3= ．
12．（2024·绥化市·中考真题）计算：x-yx÷x-2xy-y2x= ．
三、解答题
13．（2024·甘肃兰州·中考真题）先化简，再求值：1+a+7a+1÷a+4a，其中a=4．
14．（2024·四川广元·中考真题）先化简，再求值：aa-b÷a2-b2a2-2ab+b2-a-ba+b，其中a，b满足b-2a=0．
15．（2023·辽宁盘锦·中考真题）先化简，再求值：1x+1+1x2-1÷xx-1，其中x=12+50-12-1．
16．（2023·吉林·中考真题）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式．请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整．
例 先化简，再求值：Ma+1-1a2+a，其中a=100．
解：原式=a2aa+1-1aa+1
……
第一章 数与式
第03讲 分式
71
👉题型01 分式有、无意义的条件
👉题型02 分式值为0的条件
👉题型03 求使分式值为整数时未知数的值
👉题型04 分式基本性质的运用
👉题型05 约分
👉题型06 分式运算
👉题型07 判断分式运算的错误步骤
👉题型08 分式化简求值
👉题型09 分式运算的应用
👉题型10 分式的规律探究问题
👉题型11 与分式运算有关的新定义问题
👉题型01 分式有、无意义的条件
1．（2024·湖北恩施·模拟预测）函数y=x+3x-2的自变量的取值范围是（ ）
A．x≤-3 B．x≥-3且x≠2
C．x≤-3且x≠2 D．x≥-3
【答案】B
【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组得到答案．
【详解】解：由题意得：x+3≥0且x-2≠0，
解得：x≥-3且x≠2，
故选：B．
2．（2024·全国·模拟预测）在函数y=-3x-2-x+1中，自变量x的取值范围是
【答案】x≥-1且x≠2
【分析】根据分式的分母不为零、二次根式的被开方数为非负数求解可得答案．
【解答】解：根据题意，得：x-2≠0且x+1⩾0，
解得x⩾-1且x≠2，
故答案为：x⩾-1且x≠2．
3．（2024·江西吉安·模拟预测）已知分式2x+ax-b（a，b为常数）当x=2时，分式无意义，当x=0.5时分式的值为0，则ba= ．
【答案】12/0.5
【分析】本题主要考查分式，负整指数幂，根据当x=2时，分式无意义，即分母为0，求出b值；当x=0.5时，分式的值为0，求出a值，掌握分式无意义的条件与分式的值为0的条件，是解题的关键．
【详解】解：由题意知：当x=2时，分式无意义，
∴2-b=0，
∴b=2，
当x=0.5时，分式的值为0，
∴2x+ax-2=1+a0.5-2=0，
解得：a=-1，
∴ba=2-1=12，
故答案为：12．
4．（2024·河北邢台·模拟预测）已知分式3x-5x+m（m为常数）满足如下表格中的信息，则m= ，p= ．
x的取值
3
p
分式
无意义
值为7
【答案】 -3 4
【分析】本题考查了分式无意义的条件和解分式方程，由x=3时，分式无意义，可得3+m=0，即可求出m=-3，进而得出分式，再把x=p代入分式，得到分式方程3p-5p-3=7，解分式方程即可求解，熟练掌握分式无意义的条件和解分式方程的方法是解题的关键．
【详解】解：由表格可知，当x=3时，分式无意义，
∴3+m=0，
∴m=-3，
∴分式为3x-5x-3，
又由表格知，当x=p时，3p-5p-3=7，
即3p-5=7p-3，
解得p=4，
经检验，p=4是原方程的解，
∴p=4，
故答案为：-3，4．
5．（2024·湖南·模拟预测）先化简，再求值：a2+4a+4a2-4×a-2a2+2a-1a2+a，然后从-2，0，1，2中选一个合适的a值代入求解．
【答案】1a+1，当a=1时，原式=12
【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，先根据分式的混合运算法则化简，再根据分式有意义的条件得出a=1，代入计算即可得解．
【详解】解：a2+4a+4a2-4×a-2a2+2a-1a2+a
=a+22a+2a-2×a-2aa+2-1aa+1
=1a-1aa+1
=a+1-1aa+1
=1a+1，
∵a2-4≠0，a2+2a≠0，a2+a≠0，
∴a≠0，-2，2，-1，
∴a=1，
∴当a=1时，原式=11+1=12．
👉题型02 分式值为0的条件
1．（2024·广西·模拟预测）如果分式x2-2xx的值为零，那么x值的为（ ）
A．0或2 B．2 C．0 D．不存在
【答案】B
【分析】本题考查分式的值为零的条件，掌握当分式的分子为零且分母不为零时，分式的值为零是解题关键．根据分式值为零的条件进行解答即可．
【详解】解：∵分式x2-2xx的值为0，
∴x2-2x=0且x≠0，
∴x=2．
故选：B．
2．（2024·江苏泰州·一模）对于分式 1-m21-m的值，下列说法一定正确的是（ ）
A．不可能为0 B．比1大 C．可能为2 D．比m大
【答案】D
【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的性质，分式的值为零逐项判断即可，解题的关键是熟练掌握分式的性质．
【详解】A、当1-m21-m=1+m1-m1-m，当m=-1时，分式的值为0，原选项说法错误，不符合题意；
B、1-m21-m=1+m1-m1-m=1+m，可能比1小，原选项说法错误，不符合题意；
C、当1-m21-m=1+m1-m1-m=1+m=2时，m=1，此时分母为零，原选项说法错误，不符合题意；
D、1-m21-m=1+m1-m1-m=1+m，比m大，原选项说法正确，符合题意；
故选：D．
3．（2024·贵州黔东南·一模）若分式x-2x+2值为0，则x的取值范围是（ ）
A．x=-2 B．x=2 C．x≠-2 D．x=±2
【答案】B
【分析】本题考查了分式的值为零的条件．根据分子为零分母不为零分式的值为零，可得答案．
【详解】解：由分式x-2x+2值为0，得
|x|-2=0且x+2≠0．
解得x=2，
故选：B．
4（2024·湖南·模拟预测）当x=3时，分式x-ax+4的值为0，则a的值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了分式值为零的知识，熟练掌握分式为零的特征是解题关键．若分式值为0，则有分母不为0，分子为0，据此即可获得答案．
【详解】解：当x=3时，若分式x-ax+4的值为0，
则有x+4=3+4=7≠0，x-a=3-a=0，
解得a=3．
故答案为：3．
5．（2024·辽宁铁岭·二模）（1）-2-π-3.140+12-2-2sin60∘+12--12024，
（2）先化简，再求值：3-x2x2-4x÷5x-2-x-2的值，其中x使分式x2-4x-2值为0．
【答案】（1）4+3；（2）12x(3+x)，-14
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、实数的混合运算、分式的化简求值、分式的值等于零等．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）根据特殊角的三角函数值和实数的混合运算进行计算即可；
（2）相加分式的混合运算化简原式，再求出使分式x2-4x-2值为0的x的值，代入计算即可．
【详解】解： -2-π-3.140+12-2-2sin60°+12--12024
=2-1+4-2×32+23-1
=2-1+4-3+23-1
=4+3；
（2）3-x2x2-4x÷5x-2-x-2
=3-x2xx-2÷5-x+2x-2x-2
=3-x2xx-2×x-25-x2+4
=3-x2xx-2×x-23+x3-x
=12x3+x；
∵分式x2-4x-2值为0，
即x2-4=0且x-2≠0，
解得：x=-2；
当x=-2时，原式=12×-23-2=-14．
👉题型03 求使分式值为整数时未知数的值
1．（2024·江苏扬州·三模）能使分式6x+212x-3值为整数的整数x有 个．
【答案】8
【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将6x+212x-3转化为3+302x-3，进一步求解即可．
【详解】解：6x+212x-3=6x-9+302x-3=32x-3+302x-3=3+302x-3，
∵分式的值为整数，
∴302x-3的值为整数，
∴2x-3=±1,±2,±3,±5,±6,±10,±15,±30，
∵x也是整数，
∴2x-3=±1,±3,±5,±15，
解得：x=2,x=1,x=3,x=0,x=4,x=-1,x=9,x=-6；
∴能使分式6x+212x-3值为整数的整数x有8个．
故答案为：8．
2．（2023·河北石家庄·模拟预测）代数式x-2x2-4x+4÷1x+6的值为F．则F为整数值的个数有（ ）
A．0个 B．7个 C．8个 D．无数个
【答案】B
【分析】先将分式进行化简，然后根据题意确定F为整数的x的值，即可确定F的值的个数．
【详解】解：x-2x2-4x+4÷1x+6
=x-2(x-2)2×(x+6)
=x+6x-2
=x-2+8x-2
=1+8x-2，
∵代数式x-2x2-4x+4÷1x+6的值为F，且F为整数，
∴8x-2为整数，且x≠2
∴x-2的值为：1,8,4,-1,-8,-2,-4，共7个，
∴对应的F值有7个，
故选：B．
【点睛】题目主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值及分式有意义的条件是解题关键．
3．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）已知A=6a+6a2-2a+1，B=2a-1，计算A÷1+B= ．若A÷1+B的值为正整数，则满足条件的所有整数a的和为 ．
【答案】 6a-1 16
【分析】本题考查的是分式的混合运算，分式的值为整数，根据分式的混合运算法则求得A÷1+B=6a-1，再根据A÷1+B的值为正整数，可得a-1=1或2或3或6，即可求解．理解分式的值为整数时对分式的分子与分母的要求是解题的关键．
【详解】解：由题意可得：A÷1+B=6a+6a2-2a+1÷1+2a-1
=6a+1a-12÷a-1+2a-1
=6a+1a-12⋅a-1a+1
=6a-1，
∵A÷1+B的值为正整数，a为整数
∴a-1=1或2或3或6，
∴符合题意的a=2，3，4，7，
∴满足条件的所有整数a的和为2+3+4+7=16，
故答案为：6a-1，16．
4．（2023·重庆·模拟预测）已知两个多项式A=x2+3x+3，B=x2-3x+3（x为实数），以下结论中正确的个数是（ ）
①若A+B=14，则x=±2；
②若A-B-8+A-B+4=12，则-23≤x≤43；
③若A×B=0，则关于x的方程无实数根；
④若x为整数x≠1，且A-7B-1的值为整数，则x的取值个数为5．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】①直接列方程求解即可；②列绝对值方程即可直接求解，③由A×B=0，可得x2+3x+3=0或x2-3x+3=0，再验证这两个方程是否有实数根；④列代数式，再化简，直接代数验证即可．
【详解】解：①∵A+B=12，
∴x2+3x+3+x2-3x+3=12，
解得：x=±3，
∴①不正确；
②∵A-B-8+A-B+4=12，
∴x2+3x+3-x2-3x+3-8+x2+3x+3-x2-3x+3+4=12，
∴6x-8+6x+4=12，
当x<-23时，-6x+8-6x-4=12，
解得x=-23（不符合题意，舍去），
当-23≤x≤43时，-6x+8+6x+4=12恒成立，
当x>43时，6x-8+6x+4=12，
解得x=43（不符合题意，舍去），
∴②正确；
③∵A×B=0，
∴x2+3x+3x2-3x+3=0，
∴x2+3x+3=0或x2-3x+3=0，
当x2+3x+3=0时，Δ=32-4×3=-3<0，该方程无实数根，
当x2-3x+3=0时，Δ=-32-4×3=-4<0，该方程无实数根，
∴若A×B=0，关于x的方程无实数根，
∴③正确；
④∵A-7B-1=x2+3x+3-7x2-3x+3-1
=x2+3x-4x2-3x+2
=x-1x+4x-1x-2
=x+4x-2
=1+6x-2，
∵x为整数，且A-7B-1值为整数，
∴x-2=±1，±2，±3，±6
又∵x≠1
∴x的取值个数为7个，
∴④不正确．
正确的个数是2
故选：C．
5（2023·山西大同·三模）阅读与思考
下面是小宇同学课外阅读的一则数学材料，请仔细阅读并完成相应任务．
“真分式”与“假分式”
我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：32=1+12．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式．如x+1x-1，x2x-2…这样的分式是假分式；如x-1x2+1，5x2+2…这样的分式是真分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．
例如：
将分式x-2x+3化成一个整式与一个真分式的和的形式，过程如下：
x-2x+3=(x+3)-3-2x+3=(x+3)-5x+3=1-5x+3．
将分式x2+4x-5x+3化成一个整式与一个真分式的和的形式，过程如下：
方法1：x2+4x-5x+3=x2+3x+x-5x+3 =x(x+3)+(x+3)-8x+3=x+1-8x+3．
方法2：由于分母为x+3，可设x2+4x-5=(x+3)(x+a)+b（a，b为常数），
∵(x+3)(x+a)+b=x2+ax+3x+3a+b =x2+(a+3)x+(3a+b)，
∴x2+4x-5=x2+(a+3)x+(3a+b)．
∴a+3=43a+b=-5，解得a=1,b=-8.
∴x2+4x-5=(x+3)(x+1)-8．
∴x2+4x-5x+3=(x+3)(x+1)-8x+3 =(x+3)(x+1)x+3-8x+3=x+1-8x+3．
这样，分式x2+4x-5x+3就被化成了一个整式与一个真分式的和的形式．
任务：
(1)分式2x+3是__________分式（填“真”或“假”）；将假分式2x+3x化为一个整式与一个真分式的和的形式为__________．
(2)请将x2+2x-14x-3化为一个整式与一个真分式的和的形式．
(3)若分式x2+2x-14x-3的值为整数，请根据（2）的结果直接写出符合条件的2个x的值．
【答案】(1)真；2+3x
(2)x+5+1x-3
(3)x=2或x=4
【分析】（1）根据定义，例题，化为一个整式与一个真分式的和的形式；
（2）根据方法一、化为一个整式与一个真分式的和的形式；
（3）根据题意可得1x-3是整数，进而即可求解．
【详解】（1）解：根据定义，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，
∴2x+3是真分式，
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