中考数学——一次函数的应用(含15种题型)(含答案).docx

第三章 函数
第11讲 一次函数的应用
（思维导图+考点+15种题型）

1
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
04题型精研·考向洞悉
►题型01 最优方案问题
►题型02 最值问题
►题型03 行程问题
►题型04 工程问题
►题型05 分配问题
►题型06 分段计费问题
►题型07 调运问题
►题型08 计时问题
►题型09 体积问题
►题型10 几何问题
►题型11 新考法：新情景问题
►题型12 新考法：与现实有关的热考问题
►题型13 新考法：新考法问题
►题型14 新考法：跨学科问题
►题型15 新考法：中考预测题

01考情透视·目标导航
中考考点【常见类型】
考查频率
新课标要求
一次函数的实际应用--最优方案问题
★★
结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的解析式；
能用一次函数解决简单实际问题.
一次函数的实际应用--最值问题
★★
一次函数的实际应用--行程问题
★★
【考情分析】
应用一次函数解决实际问题，包含两大类：1)利用函数图像解决运动问题；
2)利用函数性质解决最大利润、最小费用等最值问题.
考查内容包含利用待定系数法求函数解析式，利用函数的增减性求最值等，试题形式以解答题为主，难度中等.
【命题预测】一次函数的应用在中考中多考察一次函数图像的理解和信息提取，通常以最优方案、最值问题与行程类问题为主。出题时也多和方程、不等式结合，一次函数的实际应用的题目在中考中难度不大，关键在于函数关系式的建立，主要考查的是理解和分析能力，从文字、图像和图表中获取信息，建立函数关系式是解题的关键.

02知识导图·思维引航

03考点突破·考法探究
用一次函数解决实际问题：应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数解析式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题.
1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤：
1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值；
2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像；
3）观察图像特征，判断函数的类型.
2.建立一次函数解析式的常用方法
1）根据基本的量之间存在的关系列函数解析式；
2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数解析式；
3.一次函数应用问题的求解思路：
1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解；
2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点；
3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
4.利用一次函数的图像解决实际问题的一般步骤：
1）观察图像，获取有效信息；
2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；
3）选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题.
【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围.
5.求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图像为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数解析式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．
04题型精研·考向洞悉
►题型01 最优方案问题
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
水果种类
进价（元/千克）
售价（元/千克）
甲
a
22
乙
b
25
该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元．
(1)求a,b的值；
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润．
2．（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．
相关信息如下：
信息一
A型机器人台数
B型机器人台数
总费用（单位：万元）
1
3
260
3
2
360
信息二

(1)求A、B两种型号智能机器人的单价；
(2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多?
3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元．
(1)求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元；
(2)学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，请你给出最节省费用的购买方案．
4．（2024·四川广元·中考真题）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表：
价格/类别
短款
长款
进货价（元/件）
80
90
销售价（元/件）
100
120
(1)该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；
(2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
►题型02 最值问题
5．（2024·云南·中考真题）A、B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．
某超市销售A、B两种型号的吉祥物，有关信息见下表：

成本（单位：元/个）
销售价格（单位：元/个）
A型号
35
a
B型号
42
b
若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元．
(1)求a、b的值；
(2)若某公司计划从该超市购买A、B两种型号的吉祥物共90个，且购买A种型号吉祥物的数量x（单位：个）不少于B种型号吉祥物数量的43，又不超过B种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元，求y的最大值．
注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差．
6．（2022·湖北十堰·中考真题）某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是y={2x，0<x≤30-6x+240，30<x≤40 ，销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示．

(1)第15天的日销售量为_________件；
(2)当0<x≤30时，求日销售额的最大值；
(3)在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？
7．（2022·山东济宁·中考真题）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如下表：
货车类型
载重量（吨/辆）
运往A地的成本（元/辆）
运往B地的成本（元/辆）
甲种
16
1200
900
乙种
12
1000
750
(1)求甲、乙两种货车各用了多少辆；
(2)如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．
①写出w与t之间的函数解析式；
②当t为何值时，w最小？最小值是多少？
8．（2021·贵州贵阳·中考真题）为庆祝“中国共产党的百年华诞”，某校请广告公司为其制作“童心向党”文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广告公司制作每件产品所需时间和利润如下表：
产品
展板
宣传册
横幅
制作一件产品所需时间（小时）
1
15
12
制作一件产品所获利润（元）
20
3
10
（1）若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、宣传册和横幅的数量；
（2）若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作．求制作三种产品总量的最小值．
►题型03 行程问题
9．（2024·吉林长春·中考真题）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶112小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图象如图所示．

(1)a的值为________；
(2)当112≤x≤a时，求y与x之间的函数关系式；
(3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）
10．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早27小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程ykm与两车行驶时间xh的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：

(1)甲车行驶的速度是_____km/h，并在图中括号内填上正确的数；
(2)求图中线段EF所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
11．（2023·浙江绍兴·中考真题）一条笔直的路上依次有M,P,N三地，其中M,N两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从M,N两地同时出发，去目的地N,M，匀速而行．图中OA,BC分别表示甲、乙机器人离M地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象．

(1)求OA所在直线的表达式．
(2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？
(3)甲机器人到P地后，再经过1分钟乙机器人也到P地，求P,M两地间的距离．
12．（2024·陕西西安·模拟预测）某科技活动小组制作了两款小型机器人，在同一赛道上进行试验运行．甲机器人离A点的距离与出发时间满足一次函数关系，部分数据如下表．乙机器人在离A点15米处出发，以0.5米/秒的速度匀速前进，两个机器人同时同向（远离A点）出发并保持前进的状态．
出发时间（单位：秒）
⋯
4
6
8
10
⋯
甲机器人离A点距离（单位：米）
⋯
9
11
13
15

(1)设甲、乙两机器人离A点的距离分别为y甲、y乙，求它们与出发时间t之间的函数关系式；
(2)甲机器人出发时距离A点多远？两机器人出发多长时间时相遇？
►题型04 工程问题
13．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．
(1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；
(2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？
14．（2023·吉林·中考真题）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和ym与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示
(1)甲组比乙组多挖掘了__________天．
(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数．
15．（2023·江苏南通·中考真题）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息—
工程队
每天施工面积（单位：m2）
每天施工费用（单位：元）
甲
x+300
3600
乙
x
2200
信息二
甲工程队施工1800m2所需天数与乙工程队施工1200m2所需天数相等．
(1)求x的值；
(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于15000m2．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用?
16．（2024·江苏盐城·模拟预测）在某市双城同创的工作中，某社区计划对1200m2的区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为300m2区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．
(1)甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？
(2)若甲队每天绿化费用为0.4万元，乙队每天绿化费用为0.15万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过14天，使施工费用最少？并求出最少费用．
►题型05 分配问题
17．（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有A型和B型两种车型，若购买A型公交车3辆，B型公交车1辆，共需260万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需360万元．
(1)求购买A型和B型新能源公交车每辆各需多少万元？
(2)经调研，某条线路上的A型和B型新能源公交车每辆年均载客量分别为70万人次和100万人次．公司准备购买10辆A型、B型两种新能源公交车，总费用不超过650万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值．
18．（2024·湖南长沙·模拟预测）为响应国家关于推动各级各类生产设备、服务设备更新和技术改造的号召，某公司计划将办公电脑全部更新为国产某品牌，市场调研发现，A品牌的电脑单价比B品牌电脑的单价少1000元，通过预算得知，用30万元购买A品牌电脑比购买B品牌电脑多10台．
(1)试求A，B两种品牌电脑的单价分别是多少元；
(2)该公司计划购买A，B两种品牌的电脑一共40台，且购买B品牌电脑的数量不少于A品牌电脑的35，试求出该公司费用最少的购买方案．
19．（2024·河南周口·三模）春和75景明，草长莺飞的四月和五月，全家最适合周末去附近的公园里踏青或爬山，并且进行野餐，某便民商店计划在春天踏春之际购进A，B两种不同型号的野餐垫共100个，已知购进A型号的野餐垫2个和B型号的野餐垫3个需要740元，购进A型号的野餐垫3个和B型号的野餐垫2个需要710元．
(1)求该商店购进每个A型号和B型号的野餐垫的价格；
(2)该商店在调查后根据实际需求，现在决定购进A型号的野餐垫不超过B型号野餐垫数量的13，为使购进野餐垫的总费用最低，应购进型A号野餐垫和B型号的野餐垫各多少个?购进野餐垫的总费用最低为多少元?
20．（2024·河南周口·二模）为加强中华优秀传统文化的弘扬与传承，提升学生的文化自信，引导学生在经典诗歌中启智润心、培根铸魂，某校决定举办中华经典诗歌朗读比赛．为鼓励同学们积极参与，大赛设置一等奖、二等奖、三等奖，对应的奖品如下表所示．已知购买一本《诗经》的价格是32元，购买1个笔记本和2支笔的价格是20元，购买2个笔记本和3支笔的价格是36元．

一等奖
二等奖
三等奖
奖品
1 本《诗经》
2个笔记本、1支笔
1 本《诗经》
2支笔
1 个笔记本2支笔
(1)请计算购买 1 个笔记本和1支笔的价格分别是多少?
(2)据统计，共有30名同学参加比赛，若要求每位参赛同学都能获得一个奖，且一等奖共设置5名，二等奖的数量不少于三等奖数量的 23，则最少需要多少费用来购买奖品?并写出此时二等奖和三等奖各设置多少名．
►题型06 分段计费问题
21．（2024·浙江衢州·一模）我市“一户一表、抄表到户”居民生活用水实行阶梯水价，三级收费标准如下表，每户每年应缴水费y（元）与用水量xm3关系如图．
分类
用水量xm3
单价（元/m3）
第1级
不超过300
a
第2级
超过300不超过480的部分
k
第3级
超过480的部分
6.2
根据图表信息，解答下列问题：
(1)小南家2022年用水量为400m3，共缴水费1168元．求a，k及线段AB的函数表达式．
(2)小南家2023年用水量增加，共缴水费1516.4元，求2023年小南家用水量．
22．（2023·陕西西安·二模）某市出租车计费方法为：当行驶里程不超过3km时，计价器保持在8.5元；当行驶里程超过3km时，计价器开始变化，行驶里程x（km）与车费y（元）之间的关系如图所示．

(1)当行驶里程超过3km时，求y与x之间的函数关系式；
(2)若某乘客有一次乘出租车的车费为28.5元，求这位乘客乘车的里程．
23．（2023·上海浦东新·二模）某市全面实施居民“阶梯水价”．当累计水量超过年度阶梯水量分档基数临界点后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和单价见下表：
分档
户年用水量
（立方米）
自来水单价
（元/立方米）
污水处理单价
（元/立方米）
第一阶梯
0~220（含220）
2.25
1.8
第二阶梯
220~300（含300）
4
第三阶梯
300以上
6.99
注：应缴的水费＝户年用水量×（自来水单价＋污水处理单价）
仔细阅读上述材料，请解答下面的问题：
(1)如果小叶家全年用水量是220立方米，那么她家全年应缴纳水费多少元？
(2)居民应缴纳水费y（元）关于户年用水量x（立方米）的函数关系如图所示，求第二阶梯（线段AB）的表达式；
(3)如果小明家全年缴纳的水费共计1181元，那么他家全年用水量是多少立方米？
24．（2023·四川·中考真题）某移动公司推出A，B两种电话计费方式．
计费方式
月使用费/元
主叫限定时间/min
主叫超时费/（元/min）
被叫
A
78
200
0.25
免费
B
108
500
0.19
免费
(1)设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额关于t的函数解析式；
(2)若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由；
(3)请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式．
►题型07 调运问题
25．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）A城有肥料200t，B城有肥料300t．现要把这些肥料全部运往C，D两乡．从A城往C，D两乡运肥料的费用分别为20元/t和25元/t；从B城往C，D两乡运肥料的费用分别为15元/t和24元/t．现C乡需要肥料240t，D乡需要肥料260t．

(1)设从A城往C乡运肥料x吨，则从B城往D乡运肥料多少吨（用含x的式子表示，并化简结果）？
(2)设调运的总运费y元，请写出y关于x的函数关系式以及x的取值范围；
(3)怎样调运可使总运费最少，并求出最少运费．
26．（2023·湖北武汉·二模）计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：百元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）．

A地
B地
甲厂
7
10
乙厂
10
15
(1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地__________台，乙厂运往A地__________台，乙厂运往B地__________台．
(2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？
(3)因客观原因，从甲到A的运输费用每台增加了m百元，从乙到B的运输费用每台减小了2m百元，其它不变，且1<m<4，请你探究总费用的最小值．
27．（2022·黑龙江·中考真题）为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示．

(1)甲车速度是_______km/h，乙车出发时速度是_______km/h；
(2)求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．
28．（2024·山东青岛·一模）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A,B两地，两种货车载重量及到A,B两地的运输成本如下表：
货车类型
载重量（吨/辆）
运往A地的成本（元/辆）
运往B地的成本（元/辆）
甲种
16
1200
900
乙种
12
1000
750
(1)求甲、乙两种货车各用了多少辆；
(2)如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A,B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．求当t为何值时，w最小？最小值是多少．
►题型08 计时问题
29．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
流水时间t/min
0
10
20
30
40
水面高度h/cm（观察值）
30
29
28.1
27
25.8
任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】
小组讨论发现：“t=0，h=30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．

任务2  利用t=0时，h=30；t=10时，h=29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．
【反思优化】
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3  （1）计算任务2得到的函数解析式的w值．
（2）请确定经过0,30的一次函数解析式，使得w的值最小．
【设计刻度】
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4  请你简要写出时间刻度的设计方案．
30．（2024·广东·模拟预测）漏刻是我国古代的一种计时工具．小轩依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现其水位hcm与时间tmin之间成一次函数关系．小轩通过多次计时并测量水位的高度，得到如下表数据：
tmin
…
1
2
3
5
…
hcm
…
2.4
2.8
3.2
4.0
…
(1)求h关于t的函数关系式；
(2)若小轩开始测量的时间为早上9：30，当水位读数为14cm时，求此时的时间．
31．（2023·江西南昌·一模）沙漏又称“沙钟”，是我国古代一种计量时间的装置．它是根据均匀的沙粒从一玻璃球漏到另一个玻璃球的数量来计量时间．其中上面玻璃球中沙粒完全流入下面玻璃球后立即将沙漏倒置（倒置时间忽略不计），重新进行计时，周而复始．某课外数学小组观察发现：该沙漏上面玻璃球沙粒剩余量y粒与流入时间t秒成一次函数关系（不考虑其他因素），当流入时间在第3秒时，上面玻璃球剩余沙粒1140粒，当流入时间在第9秒时，上面玻璃球剩余沙粒1020粒．

(1)求出上面玻璃球沙粒余量y粒与流入时间t（秒）之间的函数关系式；
(2)求沙漏恰好完成第一次倒置所需时间．
32．（2022·广东深圳·二模）某学校STEAM社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（图1）制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该实验小组从函数角度进行了如下实验探究：实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到表1．
表1
沉沙时间x(h)
0
2
4
6
8
电子秤读数y（克）
6
18
30
42
54
探索发现：
(1)建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时间x，纵坐标表示精密电子称的读数y，描出以表1中的数据为坐标的各点．

(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．结论应用：应用上述发现的规律估算：
(3)若漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为多少？
(4)若本次实验开始记录的时间是上午7:30，当精密电子秤的读数为72克时是几点钟？
33．（2024·湖南长沙·模拟预测）“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
(1)综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表所示，请分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量Δh．
流水时间tmin
0
10
20
30
40
水面高度hcm（观察值）
30
29
28.1
27
25.8
水面高度的变化量Δh/cm

(2)小组讨论发现：“t=0，h=30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．试利用t=0时，h=30；t=10时，h=29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；
(3)经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
①计算任务2得到的函数解析式的w值；
②请确定经过0,30的一次函数解析式，使得w的值最小；
►题型09 体积问题
34．（2020·浙江绍兴·模拟预测）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个高都为10cm圆柱形容器（甲、丙的底面积相同），用两个相同的管子在容器的6cm高度处连通（即管子底离容器底6cm，管子的体积忽略不计）．现三个容器中，只有甲中有水，水位高2cm，如图①所示．若每分钟同时向乙、丙容器中注入相同量的水，到三个容器都注满水停止，乙、丙容器中的水位h（cm）与注水时间t（min）的图象如图②所示．若乙比甲的水位高2cm时，注水时间m分钟，则m的值为（　　）

A．3或5 B．4或6 C．3或133 D．5或9
35．（2023·河北保定·一模）如图1，一个正方体铁块放置在高为90cm的圆柱形容器内，现以一定的速度往容器内注水，注满容器为止．容器顶部离水面的距离ycm与注水时间xmin之间的函数图象如图2所示．

(1)求直线BD的解析式，并求出容器注满水所需的时间．
(2)求正方体铁块的体积．
36．（2022·山东济宁·三模）如图1，在底面积为100cm2，高为20cm的长方体水槽内放入一个圆柱形烧杯，以恒定不变的速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不变，水槽中水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系如图2，则烧杯的底面积是 cm2

37．（2021·河北石家庄·一模）如图，A、B两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时水箱A中没有水，水箱B中盛满水．现以6dm3/min的流量从水箱B中抽水注入水箱A中，直至水箱A注满水为止．设注水tmin，水箱A的水位高度为yAdm，水箱B中的水位高度为yBdm，根据图中数据解答下列问题（抽水水管的体积忽略不计）

（1）水箱A的容积为______；（提示：容积=底面积×高）
（2）分别写出yA、yB与t之间的函数表达式；
（3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，求出此时两水箱中水位的高度差．
38．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）一透明的敞口正方体容器ABCD ﹣A'B'C'D'装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（∠CBE=α，如图所示）．

探究：如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB'交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②．解决问题：
(1)CQ与BE的位置关系是 ，BQ的长是 dm，α= °（注：sin49°=cos41°=34，tan37°=34）
(2)求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液=底面积SBCQ×高AB）
(3)在图1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出．图3或图4是其正面示意图，若液面与棱C'C或CB交于点P、点Q始终在棱BB'上，设PC=x，BQ=y，分别就图3和图4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围．
39．（2024连云港市模拟）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（厘米）与注水时间（分钟）之间的关系如图2所示，根据图象提供的信息，解答下列问题：

(1)图2中折线ABC表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系；（以上两空选填“甲”或“乙”）
(2)点B的纵坐标表示的实际意义是 ；
(3)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？
(4)若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积．
40．（2021·浙江绍兴·一模）将一块a×b×ca<b<c的长方体铁块（图1）平放在一个长方体水槽底部（图2），现向水槽内匀速注水，直至注满水槽为止，因铁块在水槽内有3种不同的放置方式，所以水槽内的水深h与注水时间t的函数关系用图象来反映，其全过程有三种不同的图象（图3，图4，图5）（注：长度单位：厘米；时间单位：秒）

（1）判断t1与t2的大小关系：t1_________________t2；
（2）水槽深度为_________________厘米；a=_________________厘米，b=_________________厘米；
（3）求铁块的体积．
►题型10 几何问题
41．（2024·山东济南·模拟预测）如图， 四边形AOBC四个顶点的坐标分别是A-1，3，O0，0，B3，-1，C（5，4），在该平面内找一点 P，使它到四个顶点的距离之和PA+PO+PB+PC最小， 则P点坐标为 ．

42．（2024·山东德州·一模）在平面直角坐标系中，M-2,1,N3,4，点Pa,0是x轴上的动点．当PM+PN取得最小值时，a= ．
43．（2024·广西河池·二模）如图，直线y=2x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线AB绕点B顺时针旋转45°与x轴交于点C，则直线BC的解析式为 ．

44．（2023·江苏泰州·二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C分别是直线y=-83x+4与坐标轴的交点，点B(-2,0)，点D是边AC上的一点，DE⊥BC，垂足为E，点F在AB边上，且D、F两点关于y轴上某点成中心对称，连接DF、EF．线段EF长度的最小值为 ．

45．（2023·江苏盐城·三模）如图，菱形ABCD的顶点A(1,0)、B(7,0)在x轴上，∠DAB=60°，点E在边BC上且横坐标为8，点F为边CD上一动点，y轴上有一点P(0,-533)．当点P到EF所在直线的距离取得最大值时，点F的坐标为 ．

►题型11 新考法：新情景问题
46．（2024·内蒙古·中考真题）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为 元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为 元．
47．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有A,B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高20%；
素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的23．
【问题解决】
(1)问题一：求出A,B两种书架的单价；
(2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案；
(3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价13m元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值．
48．（2024·黑龙江大庆·中考真题）“尔滨”火