中考数学——反比例函数的图像、性质及应用(含4种解题技巧))(含答案).docx

第三章 函数
第12讲 反比例函数的图像、性质及应用
（思维导图+3考点+4命题点18种题型（含4种解题技巧））

1
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 反比例函数的图像与性质
考点二 反比例函数与一次函数
考点三 反比例函数的实际应用
04题型精研·考向洞悉
命题点一 反比例函数的图像与性质
►题型01 反比例函数的定义
►题型02 判断反比例函数的图像
►题型03 由反比例函数图像的对称性求点的坐标
►题型04 根据反比例函数的图像确定其解析式
►题型05 判断反比例函数所在象限
►题型06 已知反比例函数经过象限求参数取值范围
►题型07 由反比例函数增减性求值
►题型08 由反比例函数的性质比较大小
►题型09 求反比例函数解析式
►题型10 与反比例函数有关的规律有关的探究问题
►题型11 以开放性试题的形式考查反比例函数的图像与性质
命题点二 反比例系数k的几何意义
►题型01 已知反比例系数求图形面积
►题型02 已知图形面积求反比例系数
命题点三 反比例函数与实际问题
►题型01 反比例函数与实际问题
►题型02 新考法：新考法问题
►题型03 新考法：跨学科问题
命题点四 反比例函数与一次函数
►题型01 一次函数与反比例函数综合
►题型02 反比例函数与几何图形综合

01考情透视·目标导航
中考考点
考查频率
新课标要求
反比例函数图像上点的坐标特征
★
结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的解析式；
能画反比例函数的图像，根据图像和表达式y=kx (k≠0)探索并理解k>0和k<0时图像的变化情况.
反比例函数的增减性
★★
反比例函数的图像共存
★★
反比例函数解析式的确定
★
反比例函数中比例系数k的几何意义
★★★
反比例函数的实际应用
★★
能用反比例函数解决简单实际问题.
【考情分析1】对反比例函数的图像和性质的考查一般包含对反比例函数的增减性、中心对称性及系数k的几何意义的考查，难度中等，试题多以选择题、填空题的形式出现，当利用反比例函数的增减性比较函数值的大小时，应注意图像是否在同一象限内.
【考情分析2】反比例函数与一次函数综合是中考的常考内容，试题多以解答题形式出现，难度中等，一般情况下是两函数图像相交，通过交点坐标同时满足两函数解析式来确定函数的解析式及交点坐标，体现了函数与方程的关系.
【考情分析3】利用反比例函数解决实际问题考查较少，试题形式多样，难度不大，但较为典型，常结合物理、化学等科目内容进行考查，涉及密度、浓度等问题，故解题时除必须掌握的数学知识外，其他学科知识也要有所了解.
【备考建议】反比例函数是非常重要的函数，年年都会考，总分值为12分左右，考生在复习该考点时，需要掌握其各性质规律，并且多注意其与几何图形结合题的思考探究.

02知识导图·思维引航

03考点突破·考法探究
考点一 反比例函数的图像与性质
1. 反比例函数的有关概念
定义：一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数. 其中x是自变量，y是x的函数.
待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式.
2 .双曲线
定义：反比例函数的图像由两条曲线组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
3. 反比例函数的性质
表达式

图像

k＞0
k＜0
图像无限接近坐标轴，但不相交
图像无限接近坐标轴，但不相交
经过象限
一、三象限（x、y同号）
二、四象限（x、y异号）
增减性
在每个象限内，y随x的增大而减小
在每个象限内，y随x的增大而增大
【易错易混】
1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。
3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．
4. 反比例函数的对称性
反比例函数的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴为直线y=x或y= -x，对称中心为原点.
5. 反比例函数中k的几何意义（2种基础模型）
【模型结论1】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为12k.

【模型结论2】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为k.

1．（2024·云南·中考真题）已知点P2,n在反比例函数y=10x的图象上，则n= ．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）若点A−3,a、B1,b、C2,c都在反比例函数y=−4x的图象上，则a、b、c的大小关系为 ．
3．（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数y=kx−kk≠0与y=kx的大致图象为（    ）
A．B．C． D．
4．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数y=−1xx<0图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例y=4xx>0的图象交于点B，则AOBO的值为（    ）

A．12 B．14 C．33 D．13
5．（2024·贵州·中考真题）已知点1,3在反比例函数y=kx的图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点−3,a，1,b，3,c都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由．
考点二 反比例函数与一次函数
1.一次函数与反比例函数的交点问题
1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定．
①k值同号，两个函数必有两个交点；

②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；

2）【热考】从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
2. 反比例函数与一次函数关系
从图像可以看出,在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方,所以的解集为或 ；在②，④部分,反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或.

1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点A(m,0)且垂直于x轴的直线l与反比例函数y=−4x的图像交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（    ）

A．m<−2或m>2 B．−2<m<2且m≠0
C．−2<m<0或m>2 D．m<−2或0<m<2
2．（2024·安徽·中考真题）已知反比例函数y=kxk≠0与一次函数y=2−x的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（    ）
A．−3 B．−1 C．1 D．3
3．（2023·浙江金华·中考真题）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于点A2，3，Bm，−2，则不等式ax+b>kx的解是（    ）

A．−3<x<0或x>2 B．x<−3或0<x<2
C．−2<x<0或x>2 D．−3<x<0或x>3
4．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=mx的图像相交于点A−1,n、B2,1．

(1)求一次函数、反比例函数的表达式；
(2)连接OA、OB，求△OAB的面积．
5．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，正比例函数y=−33x的图象与反比例函数y=kx的图象的一个交点是Am,3．点P23,n在直线y=−33x上，过点P作y轴的平行线，交y=kx的图象于点Q．

(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)求△OPQ的面积．
考点三 反比例函数的实际应用
1. 用反比例函数解决问题的两种思路：
1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式；
2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题.
2. 列反比例函数解决问题的步骤：
1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系；
2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式；
3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值；
4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围；
5）解：用函数解析式去解决实际问题．
利用反比例函数解决实际问题，要做到：
1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型；
2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义；
3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
【易错点】
1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上；
2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义．

1．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点O25cmL1=25cm处挂一个重9.8NF1=9.8N的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足FL=F1L1．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（　　）

A．  B．  C．  D．  
2．（2024·湖北·模拟预测）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流I/A．与电阻RΩ的关系图象，该图象经过点P880，0.25．根据图象可知，下列说法正确的是（　　）
A．当I<0.25时，R<880
B．I与R的函数关系式是I=200RR>0
C．当R>1000时，I>0.22
D．当880<R<1000时，I的取值范围是0.22<I<0.25
3．（2024·海南·中考真题）某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，即I=UR，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为 （V）．

4．（2024·江苏连云港·中考真题）杠杆平衡时，“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为1600N和0.5m，动力为F(N)，动力臂为l(m)．则动力F关于动力臂l的函数表达式为 ．
5．（2023·宁夏·中考真题）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压p （KPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．

(1)当气球内的气压超过150KPa时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式V=43πr3，π取3）；
(2)请你利用p与V的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
04题型精研·考向洞悉
命题点一 反比例函数的图像与性质
►题型01 反比例函数的定义
1．（2024·重庆·中考真题）反比例函数y=−10x的图象一定经过的点是（　　）
A．1,10 B．−2,5 C．2,5 D．2,8
2．（2023·海南·中考真题）若反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点2,−1，则k的值是（    ）
A．2 B．−2 C．12 D．−12
3．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知反比例函数y=14x的图像经过点a,7，则a的值为 ．
►题型02 判断反比例函数的图像
1．（2023·江苏扬州·中考真题）函数y=1x2的大致图像是(   )
A．   B．   C．   D．  
2．（2024·江苏淮安·模拟预测）小明同学利用计算机软件绘制了某一函数的图象，如图所示．由学习函数的经验，可以推断这个函数可能是（    ）

A．y=1x B．y=x+1x
C．y=x2+1x D．y=−xx+1
3．（23-24九年级上·江苏南通·期末）函数y=−2|−x|的图象为（　　）
A．B．C．D．
4．（2023·河北廊坊·三模）若函数y=5xx>0和函数y=−3xx<0在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则坐标系的纵轴是（    ）

A．y1 B．y2 C．y3 D．y4
5．（2023·河南信阳·一模）参照学习函数y=2x的过程与方法，探究函数y=2x−2x≠2的图象与性质．
x
…
−2
−1
0
12
1
32
2
52
3
72
4
5
6
…
y=2x
…
−1
−2
■
4
2
43
1
45
23
47
12
25
13
…
y=2x−2
…
−12
−23
−1
m
−2
−4
■
4
2
43
1
23
12
…

(1)m=__________________．
(2)请画出函数y=2x−2x≠2的图象；
(3)观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x<2时，y随x的增大而___________；（填“增大”或“减小”）
②y=2x−2的图象是由y=2x的图象向__________平移__________个单位长度而得到的；
③图象关于点__________中心对称．（填点的坐标）
►题型03 由反比例函数图像的对称性求点的坐标

1）反比例函数图像关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上；
2）若（a，b）在反比例函数图像上，则（b，a）在也在该图像上.
1．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，若函数y=kxk≠0的图象经过点3,y1和−3,y2，则y1+y2的值是 .
2．（2021·广西河池·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数y=2x与反比例函数y=kxk≠0的图象交于Ax1,y1，Bx2,y2两点，则y1+y2的值是 ．
3．（2024·北京·模拟预测）直线y=kx(k<0)与双曲线y=−2x交于Ax1,y1,Bx2,y2两点（A在第二象限），则2x1y2+3x2y1的值为 ．
4．（2024·重庆·三模）在如图所示的平面直角坐标系中，反比例函数y=kx的图象与正比例函数y=ax的图象交于A，B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，已知AB=10，AC=3，则k的值为 ．

►题型04 根据反比例函数的图像确定其解析式
1．（2023·贵州贵阳·一模）反比例函数y=kx（k≠0）的图象如图所示，则k的值可能是（    ）

A．5 B．12 C．−5 D．−12
2．（2024·山东济宁·模拟预测）如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=−k2x的图象上，若点A的坐标为–1,−1，则k的值为（    ）

A．2 B．−2 C．4 D．–4
3．（2021·四川甘孜·中考真题）如图，点A，B在反比例函数y=kx（k>0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，OA⊥AB，则k的值为 ．

4．（2023·浙江杭州·三模）两位同学在描述同一反比例函数的图象时，圆圆说：“这个反比例函数图象上任意一点到两坐标轴的距离之积是20．芳芳说：“这个反比例函数图象与直线y=-x有两个交点”．你认为这两个同学所描绘的反比例函数对应的表达式是 ．
►题型05 判断反比例函数所在象限
1．（2023·湖南永州·中考真题）已知点M2,a在反比例函数y=kx的图象上，其中a，k为常数，且k>0﹐则点M一定在（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024·安徽六安·模拟预测）若关于x的一元二次方程3x2−6x+n=0无实数根，则反比例函数y=n−3x的图象所在的象限分别位于（    ）
A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限
3．（2024·安徽六安·模拟预测）直线y=ax+b（a，b是常数且a≠0）经过第二、三、四象限，则反比例函数y=a+bx的图象位于（    ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
4．（2024·广东广州·一模）已知一次函数y=ax+b经过点−2,−3，正比例函数y1=ax不经过第三象限，则反比例函数y2=bx的图象位于（    ）
A．第一、第二象限 B．第一、第三象限
C．第二、第三象限 D．第二、第四象限
►题型06 已知反比例函数经过象限求参数取值范围
1．（2024·湖北荆门·模拟预测）已知：多项式x2−kx+1是一个完全平方式，且反比例函数y=2k−3x的图象位于二、四象限，k的值为 ．
2．（2024·江苏南京·三模）如图，图像①、②、③分别是反比例函数y=ax、y=bx、y=cx（a、b、c为常数）的部分图像，比较a、b、c的大小关系 ．（用“>或<”连接）

3．（2024·河南商丘·模拟预测）若反比例函数y=kx的图象位于第一、三象限，则关于x的一元二次方程x2−kx−k=0的根的情况是（    ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
4．（2024·辽宁本溪·二模）如图，点A在反比例函数y=3xx>0的图象上，点B在反比例函数y=kxx>0的图象上，AB⊥x轴于点M，且AM：MB=2：3，则k的值为（　　）

A．4.5 B．−4.5 C．7 D．−7
►题型07 由反比例函数增减性求值

1) 当k＞0时，同象限：，整体：.
2) 当k＜0时，同象限：，整体：
1．（2024·浙江·中考真题）反比例函数y=4x的图象上有Pt,y1，Qt+4,y2两点．下列正确的选项是（    ）
A．当t<−4时，y2<y1<0 B．当−4<t<0时，y2<y1<0
C．当−4<t<0时，0<y1<y2 D．当t>0时，0<y1<y2
2．（2024·江苏镇江·二模）反比例函数y=kx（k>0），当1≤x≤3时，函数y的最大值与最小值之差为6， 则k= ．
3．（2022·湖北武汉·中考真题）在反比例y=k−1x的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式x2−kx+4是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为 ．
4．（2024·陕西西安·一模）已知反比例函数y=3−mx．
(1)若该反比例函数图象在每一个象限内，y都随着x的增大而减小，求m的取值范围；
(2)若点A2,3在此反比例函数图象上，求反比例函数的解析式．
►题型08 由反比例函数的性质比较大小
1．（2024·山东济宁·中考真题）已知点A−2,y1,B−1,y2,C3,y3在反比例函数y=kx(k<0)的图象上，则y1,y2,y3的大小关系是（    ）
A．y1<y2<y3 B．y2<y1<y3 C．y3<y1<y2 D．y3<y2<y1
2．（2024·天津·中考真题）若点Ax1,−1,Bx2,1,Cx3,5都在反比例函数y=5x的图象上，则x1,x2,x3的大小关系是（    ）
A．x1<x2<x3 B．x1<x3<x2
C．x3<x2<x1 D．x2<x1<x3
3．（2024·广西·中考真题）已知点Mx1,y1，Nx2,y2在反比例函数y=2x的图象上，若x1<0<x2，则有（    ）
A．y1<0<y2 B．y2<0<y1 C．y1<y2<0 D．0<y1<y2
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）反比例函数y=1x的图象向右平移2024个单位长度得到一个新的函数，当自变量x取1，2，3，4，5，…，（正整数）时，新的函数值分别为y1，y2，y3，y4，y5，…，其中最小值和最大值分别为（   ）
A．y2024，y2025 B．y44，y45 C．y43，y44 D．y1，y2
►题型09 求反比例函数解析式
由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式.
1．（2024·福建·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx的图象与⊙O交于A,B两点，且点A,B都在第一象限．若A1,2，则点B的坐标为 ．

2．（2024·湖南株洲·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线l与反比例函数y=kxx>0交于A，B，与x轴交于点C4,0，与y轴交于点D0,2．若点A，B恰好是线段CD的三等分点，则k= ．

3．（2024·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A2,3,B(m,−2)两点在反比例函数y=kx的图象上．

(1)求k与m的值；
(2)连接BO，并延长交反比例函数y=kx的图象于点C．若一次函数的图象经过A，C两点，求这个一次函数的解析式．
4．（2024·江苏盐城·中考真题）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图．

请根据图中信息，求：
(1)反比例函数表达式；
(2)点C坐标．
►题型10 与反比例函数有关的规律有关的探究问题
1．（2022·陕西渭南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系的第一象限中，y1=4x和y2=8x，点A1,a在y1=4x上，AB∥x轴交y2=8x于点B，BA1∥y轴交y1=4x于点A1，A1B1∥x轴交y2=8x于点B2，…，按照此规律作图，则B2的点坐标为 ．

2．（2019·辽宁·一模）如图，点B11,33在直线l2:y=33x上，过点B1作A1B1⊥l1交直线l:y=3x于点A1，以A1B1为边在△OA1B1外侧作等边三角形A1B1C1，过C1的反比例函数为y=k1x；再过点C1作A2B2⊥l1，分别交直线l1和l2于A2,B2两点，以A2B2为边在△OA2B2外侧作等边三角形A2B2C2，过C2的反比例函数为y=k2x，…，按此规律进行下去，则第n个反比例函数的kn= ．（用含n的代数式表示）

3．（2021·山东威海·二模）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAP1B的顶点A,B分别在x轴，y轴上，点P1在反比例函数y=kx(x>0)图象上，过P1A的中点B1作矩形B1AA1P2，使顶点P2落在反比例函数y=kx图象上，再过P2A1的中点B2作矩形B2A1A2P3，使顶点P3落在反比例函数y=kx图象上，…，依此规律，作出矩形B18A17A18P19时，落在反比例函数y=kx图象上的顶点P19的坐标为 ．

4．（2024绵阳市模拟）如图1～4所示，每个图中的“7”字形是由若干个边长相等的正方形拼接而成，“7”字形的一个顶点P落在反比例函数y=1x的图象上，另“7”字形有两个顶点落在x轴上，一个顶点落在y轴上．
（1）图1中的每一个小正方形的面积是 ；
（2）按照图1→图2→图3→图4→…这样的规律拼接下去，第n个图形中每一个小正方形的面积是 ．（用含n的代数式表示）

5．（2024·山东青岛·中考真题）如图，点A1,A2,A3,⋯,An,An+1为反比例函数y=kxk>0图象上的点，其横坐标依次为1,2,3,⋯,n,n+1．过点A1,A2,A3,⋯,An作x轴的垂线，垂足分别为点H1,H2,H3,⋯,Hn；过点A2作A2B1⊥A1H1于点B1，过点A3作A3B2⊥A2H2于点B2，…，过点An+1作An+1Bn⊥AnHn于点Bn．记△A1B1A2的面积为S1,△A2B2A3的面积为S2,⋅⋅⋅,△AnBnAn+1的面积为Sn．

(1)当k=2时，点B1的坐标为______，S1+S2=______，S1+S2+S3=______，S1+S2+S3+⋯+Sn=______（用含n的代数式表示）；
(2)当k=3时，S1+S2+S3+⋯+Sn=______（用含n的代数式表示）．
►题型11 以开放性试题的形式考查反比例函数的图像与性质
1．（2024·湖北武汉·中考真题）某反比例函数y=kx具有下列性质：当x>0时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是 ．
2．（2023·河北·中考真题）如图，已知点A(3,3),B(3,1)，反比例函数y=kx(k≠0)图像的一支与线段AB有交点，写出一个符合条件的k的数值： ．

3．（2023·山东日照·中考真题）已知反比例函数y=6−3kx（k>1且k≠2）的图象与一次函数y=−7x+b的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积x1⋅x2>0，请写出一个满足条件的k值 ．
4．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC面积为4，反比例函数y=kx(k≠0)与边BC、AB有交点，请写出一个符合条件的k的整数值 ．

命题点二 反比例系数k的几何意义
►题型01 已知反比例系数求图形面积
1．（2023·广西·中考真题）如图，过y=kx(x>0)的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交y=−1x的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1，S2，S3，S4，若S2+S3+S4=52，则k的值为（    ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（2022·湖南郴州·中考真题）如图，在函数y=2xx>0的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数y=−8xx<0的图像于点B，连接OA，OB，则△AOB的面积是（    ）

A．3 B．5 C．6 D．10
3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为5,0，2,6，过点B作BC∥x轴交y轴于点C，点D为线段AB上的一点，且BD=2AD．反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点D交线段BC于点E，则四边形ODBE的面积是 ．

4．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF．反比例函数y=kxk>0的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA=2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．

5．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，点Aa,5a和Bb,5b在反比例函数y=kxk>0的图象上，其中a>b>0．过点A作AC⊥x轴于点C，则△AOC的面积为 ；若△AOB的面积为154，则ab= ．

►题型02 已知图形面积求反比例系数
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线y1=kx(x>0)上，连接AO并延长，交双曲线y2=k4x(x<0)于点B，点C为x轴上一点，且AO=AC，连接BC，若△ABC的面积是6，则k的值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD=14AB，反比例函数y=kxk>0的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD,OM,DM．若△ODM的面积为3，则k的值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5  
3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，反比例函数y=kx(x<0)的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B−1,3，S▱ABCO=3，则实数k的值为 ．

4．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，点A是反比例函数y=kxx>0的图象上一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，延长AC至点B，使BC=2AC，点D是y轴上任意一点，连接AD，BD，若△ABD的面积是6，则k= ．

5．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx（k为大于0的常数，x>0）图象上的两点Ax1,y1,Bx2,y2，满足x2=2x1．△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是 ．

命题点三 反比例函数与实际问题
►题型01 反比例函数与实际问题
1．（2023·浙江台州·中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：gcm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，ℎ=20cm．

(1)求h关于ρ的函数解析式．
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，ℎ=25cm，求该液体的密度ρ．
2．（2022·山东枣庄·中考真题）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x（天）
3
5
6
9
……
硫化物的浓度y（mg/L）
4.5
2.7
2.25
1.5
……

(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
3．（2024·湖南郴州·模拟预测）某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．

(1)求部分双曲线BC的函数表达式；
(2)参照上述数学模型，假设某人晚上20:00喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上9:00能否驾车出行？请说明理由．
►题型02 新考法：新考法问题
1．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1  国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1  检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．

素材2  图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角θ，视力值n与分辨视角θ（分）的对应关系近似满足n=1θ0.5≤θ≤10．
探究2  当n≥1.0时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角θ的范围．
素材3  如图3，当θ确定时，在A处用边长为b1的I号“E”测得的视力与在B处用边长为b2的Ⅱ号“E”测得的视力相同．
探究3  若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
2．（2022·山东临沂·中考真题）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：
第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点O，并用细麻绳固定，在支点O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；
第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．
(1)图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点О右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm．写出y关于x的函数解析式；若0<y<48，求x的取值范围．

(2)调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点О右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．
xkg
……
0.25
0.5
1
2
4
……
ycm
……

……

3．（2023·山东济南·中考真题）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为am．

【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a=10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy=8，满足条件的x,y可看成是反比例函数y=8x的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y=10，满足条件的x,y可看成一次函数y=−2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的x,y就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数y=8xx>0的图象与直线l1：y=−2x+10的交点坐标为1,8和_________，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB=___________m，BC=__________m．

（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若a=6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y=−2x+a．发现直线y=−2x+a可以看成是直线y=−2x通过平移得到的，在平移过程中，当过点2,4时，直线y=−2x+a与反比例函数y=8xx>0的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线y=−2x+a过点2,4时的图象，并求出a的值．
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y=−2x+a与y=8x图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
4．（2024·浙江金华·模拟预测）建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面（图2）由两条曲线EG，FH（反比例函数图象的一部分）和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形ABDC与四边形GMNH均为矩形，AB=2m，BE=2m，AC=20m，GM=10m