中考数学——二次函数的图像与性质(练习)(含答案).docx

第三章 函数
第13讲 二次函数的图像与性质

1

👉题型01 根据二次函数解析式判断其性质
👉题型02 根据二次函数的图像与性质求解
👉题型03 求二次函数解析式
👉题型04 画二次函数的图像
👉题型05 以开放性试题的形式考查二次函数的解析式
👉题型06 二次函数的平移变换问题
👉题型07 二次函数的对称变换问题
👉题型08 根据二次函数的对称性求参数取值范围
👉题型09 二次函数的最值问题
👉题型10 根据二次函数的最值求参数/取值范围
👉题型11 根据二次函数的增减性求参数的取值范围
👉题型12 根据二次函数自变量/函数值的取值范围求函数值/自变量的取值范围
👉题型13 二次函数的图像与各项系数符号
👉题型14 根据二次函数的图像判断式子符号
👉题型15 函数图像综合
👉题型16 已知一元二次方程根的分布情况求参数
👉题型17 二次函数与坐标系交点问题
👉题型18 二次函数与方程、不等式
👉题型19 二次函数与三角形相结合的应用方法

👉题型01 根据二次函数解析式判断其性质
1．（2024·云南昆明·一模）关于二次函数y=−2x+22−3的图象与性质，下列说法正确的是(   )
A．对称轴是直线x=2，最小值是−3
B．对称轴是直线x=2，最大值是−3
C．对称轴是直线x=−2，最小值是−3
D．对称轴是直线x=−2，最大值是−3
2．（2024·四川乐山·二模）如图，二次函数y=ax2+x−6的图象与x轴交于A−3,0，B，下列说法错误的是（　　）

A．抛物线的对称轴为直线x=−12 B．抛物线的顶点坐标为−12,−6
C．A，B两点之间的距离为5 D．当x>−12时，y的值随x值的增大而增大
3．（2024·贵州·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示，下列说法错误的是（    ）
A．二次函数图象关于直线x=1对称
B．−1和3是方程ax2+bx+c=0a≠0的两个根
C．当x<1时，y随x的增大而增大
D．二次函数图象与y轴交点的纵坐标是−3
4．（2020·上海奉贤·一模）已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x
…
0
1
3
4
5
…
y
…
−5
−72
−72
−5
−152
…
关于它的图象，下列判断正确的是（    ）
A．开口向上 B．对称轴是直线x=1
C．一定经过点−1,−152 D．在对称轴左侧部分自左至右是下降的
👉题型02 根据二次函数的图像与性质求解
5．（2024·安徽宣城·模拟预测）下列函数中，y随x增大而减小的是（    ）
A．y=5x B．y=−x2+1
C．y=5x(x<0) D．y=2x+1
6．（2024·云南昆明·一模）二次函数y=x−m2+n的图象如图所示，则一次函数y=mx−n的图象不经过（   ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2024·浙江·模拟预测）已知点Ax1,y1和点Bx2,y2均在函数y=m2−3m+4x2+n的图像上，若x1<0且满足y1<y2，则下列关系可能不正确的是（     ）
A．x2>−x1 B．x2<x1 C．x2>x1 D．x22−x12<0
8．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线y=4，与二次函数y=x2和y=ax2分别交于A、B和C、D四个点，此时，CD=2AB，把直线y=4向上平移bb>0个单位，则CD与AB之间的关系是（    ）

A．CD=2AB B．随着直线y=4向上平移，CD>2AB
C．随着直线y=4向上平移，CD<2AB D．无法判断
9．（2024·广东·模拟预测）已知二次函数 y=ax²−6ax+c（a>0）的图象过 A−1,y1，B3,y2，C5,y3，D7，y4四个点， 则y1，y2，y3，y4大小关系为 ．
10．（2024·广东广州·一模）已知A=m+4m+4m÷m+2m2．化简A；若点m,0是抛物线y=x2+2x−3上的一点，求A的值．
👉题型03 求二次函数解析式
11．（2024·山东泰安·三模）将抛物线y=2x2先向下平移3个单位再向右平移m个单位，所得新抛物线经过点1,5，则新抛物线与y轴交点的坐标 ．
12．（2024·广东·二模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过A−3,0，B5,0两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，当∠DCO+∠DBO=180°时，a= ．

13．（23-24九年级上·吉林·期中）已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线y=−2x2+9x相同，且它的顶点坐标为−1,6，则这条抛物线的解析式为 ．
👉题型04 画二次函数的图像
14．（2022·江西赣州·模拟预测）已知抛物线L1：y=x2+2kx+k−2的顶点为M．

(1)当k=2时，抛物线的对称轴是 ；顶点M坐标是 ；当函数值y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围为 ；
(2)若抛物线L1：y=x2+2kx+k−2关于直线y=−k轴对称后得到新的抛物线L2，其顶点M'(x,y)．
①当k=−1时，请在图中画出相应的L1，L2图象；
②求顶点M'的纵坐标y与横坐标x之间的关系式；
③直接写出当k为何值时，顶点M'恰好落在x轴上．
15．（2024·河南安阳·模拟预测）操作与探究：已知点P是抛物线y=−x2−2x+3上的一个动点．

(1)在如图的平面直角坐标系xOy中画出函数y=−x2−2x+3的图象；
(2)仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题：
①当函数值y≥0时，自变量x的取值范围是 ；
②方程x−1x=−2的根是 （结果保留一位小数）；
③当x<m时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ；
④当−2≤x≤n时，函数值3≤y≤4，直接写出n的取值范围 ．
16．（2020·北京·中考真题）小云在学习过程中遇到一个函数y=16|x|(x2−x+1)(x≥−2)．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当−2≤x<0时，对于函数y1=|x|，即y1=−x，当−2≤x<0时，y1随x的增大而 ，且y1>0；对于函数y2=x2−x+1，当−2≤x<0时，y2随x的增大而 ，且y2>0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当−2≤x<0时，y随x的增大而 ．
（2）当x≥0时，对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：
x
0
12
1
32
2
52
3
⋯
y
0
116
16
716
1
9548
72
⋯
综合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时的函数y的图象．

（3）过点(0，m)（m>0）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数y=16|x|(x2−x+1)(x≥−2)的图象有两个交点，则m的最大值是 ．
👉题型05 以开放性试题的形式考查二次函数的解析式
17．（2024·上海·模拟预测）请写出一个二次函数，符合顶点在第二象限，对称轴左侧上升，交y轴于正半轴
18．（2024·江苏无锡·模拟预测）某个函数同时满足两个条件：①图象过点1，1、2，4；②当x<0时，y随x的增大而减小．这个函数表达式可以是 ．（只要写出一个符合愿意的答案即可）
19．（2024·江苏泰州·三模）若y是x的函数，其图象过点1,4、−2,−2，写出一个符合此条件的函数表达式： ．
20．（2024·广东江门·二模）若一个二次函数的二次项系数为2，且经过点1，0，请写出一个符合上述条件的二次函数表达式： ．
👉题型06 二次函数的平移变换问题
21．（2024·四川遂宁·模拟预测）将解析式为y=x+22+5 的抛物线先向右平移 4 个单位，再向下平移 5 个单位，则平移后的新抛物线的解析式为   ．
22．（2024·贵州贵阳·一模）二次函数 y=x2−6x+5的图象经过平移，其顶点恰好为坐标原点，则平移的最短距离为 ．
23．（2024·山西大同·模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x
…
−1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
−1
m
3
…
若将此抛物线向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度后的抛物线表达式为（    ）
A．y=−x+22 B．y=−x−22
C．y=x+22 D．y=x−22
24．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线W1：y=ax2+bx+3与x轴分别交于A−3,0、B1,0两点，与y轴交于点C，分别连接AC、BC．

(1)求抛物线W1的函数表达式；
(2)将抛物线W1向右平移mm>0个单位得到抛物线W2，两条抛物线相交于点P，分别连接PA、PB，若S△PABS△ABC=712，求m的值．
👉题型07 二次函数的对称变换问题
25．（2024·安徽·二模）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=−1，x2=3，则抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线（    ）
A．x=1 B．x=−1 C．x=2 D．x=−2
26．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）抛物线y=ax+12+2与x轴的一个交点坐标是−3，0，它与x轴的另一个交点的坐标是（    ）
A．12，0 B．1，0 C．2，0 D．3，0
27．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数y=(x−a)(x+2a−1)的对称轴是直线x=−2，则a的值为 ．
28．（2024·浙江宁波·模拟预测）设函数y=ax+m2+n（a≠0，m，n是实数），当x=1时，y=1，x=6时，y=6．则（　　）
A．若m=−3，则a<0 B．若m=−4，则a>0
C．若m=−5，则a<0 D．若m=−6，则a>0
29．（2024·江西景德镇·二模）二次函数y=ax2+bx+3与y轴交于点C，在点C右侧作CD∥x轴，交抛物线于点D，且CD=8，则抛物线的对称轴为 .
👉题型08 根据二次函数的对称性求参数取值范围
30．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数y=ax2+bx+2a<0，点Ak,y1，B6,y2，Ck+4,y1均在该二次函数的图象上，且2<y2<y1，则k的取值范围为 ．
31．（2024·福建三明·一模）已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(m,y1)，B(3,y2)，C(4,y3)，D(n+2,y4)，E(2−n,y4)，若y1>y2>y3，则m的取值范围为 ．
32．（2024·北京延庆·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点A3,m，点B5,n在抛物线y=ax2+bx+ca>0上．设抛物线的对称轴为直线x=t．
(1)若m=n，求t的值；
(2)点Cx0,p在该抛物线上，若对于0<x0<1都有m<n<p，求t的取值范围．
33．（2024·广西钦州·一模）已知抛物线y=ax2+bx+ca>0的对称轴为直线x=t．
(1)当t=2时，
①写出b与a满足的等量关系；
②当函数图象经过点1,3，x1,y1，x1+2,y2时，求y1+y2的最小值；
(2)已知点A−1,m，B3,n，Cx0,p在该抛物线上，若对于3<x0<4，都有m>p>n，直接写出t的取值范围．
👉题型09 二次函数的最值问题
34．（2024·四川眉山·二模）若函数y=x+1（x<−5）x2−4x+7(x≥−5)；当0≤x≤3时，此时该函数的最小值是（    ）
A．3 B．4 C．7 D．52
35．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数y=2x2−2mx+m2−2m（m为常数）的图象经过点(0,8)，其对称轴在y轴右侧，则该二次函数有（    ）
A．最大值0 B．最小值0 C．最大值6 D．最小值6
36．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数y=−x2+2ax−a2+2（a为常数，且a≠0），当−3≤x≤1时，函数的最大值与最小值的差为9，则a的值为（    ）
A．－6 B．4 C．−6或0 D．0或−2
👉题型10 根据二次函数的最值求参数/取值范围
37．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）函数y=x2−2ax−2在−1≤x≤4有最小值−5，则实数a的值是 ．
38．（2023·江苏南京·一模）已知函数y=2x2−m+2x+m（m为常数），当－2≤x≤2时，y的最小值记为a．a的值随m的值变化而变化，当m= 时，a取得最大值．
39．（2024·贵州黔东南·二模）已知二次函数 y=−x²−4x+m的图象经过点 0,−1．

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)当 −1≤x<0时，求二次函数的最大值；
(3)当 m≤x≤0时，二次函数的最大值与最小值的和为2m，求m的值．
40．（2024·浙江温州·三模）已知关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象过点(−1,0)，(3,0)．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求当−2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差．
41．（2024·河北·模拟预测）如图，二次函数y=ax2−4ax+3aa<0的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且OB=OC．

(1)求二次函数的解析式．
(2)平移该二次函数的图象，使平移后的二次函数图象的顶点坐标为m,m2+2 m≥0，若当−1≤x≤2时函数的最大值为7，求m的值．
👉题型11 根据二次函数的增减性求参数的取值范围
42．（2024·福建福州·二模）已知点Am,n、Bm+1,n，是二次函数y=x2+bx+c图象上的两个点，若当x≤2时，y随x的增大而减小，则 m的值可能是（      ）
A．−4 B．−1 C．1 D．2
43．（2024·江苏泰州·二模）已知二次函数y=−2x2+bx，当x<2时，y随x的增大而增大，则b的取值范围是 ．
44．（17-18九年级上·四川成都·期末）已知二次函数y=−x2+2mx+1，当x >4时，函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是
45．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线y=x2−2m−4x+m2−3的对称轴在y轴右侧，当x≥1时，y随x增大而增大，若抛物线上的点纵坐标t≥2，则m的取值范围为
👉题型12 根据二次函数自变量/函数值的取值范围求函数值/自变量的取值范围
46．（2024·广西·一模）在二次函数y=−x2+2x−3的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是（    ）
A．x<1 B．x>1 C．x<−1 D．x>−1
47．（2024·上海闵行·三模）如果二次函数y=x2−4x+1的图象的一部分是下降的，那么x的取值范围是 ．
48．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数y=−2x−tx+t−5+7 (t为常数)，点P(x1，y1)、Q(x2，y2)x1<x2是其图象上两点，若y1>y2，则x1+x2的取值范围为 ．
49．（24-25九年级上·北京·开学考试）已知二次函数y=x+12−4，当0≤x≤2时，函数值y的取值范围为
50．（23-24九年级上·重庆铜梁·阶段练习）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交y轴于点0,5，对称轴为直线x=−2，若y≥5，则x的取值范围是 ．

👉题型13 二次函数的图像与各项系数符号

👉51．（2024·河南信阳·模拟预测）二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则直线y=ax−b不经过的象限是（　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
52．（23-24九年级下·河南鹤壁·期中）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2−bx+a=0的根的情况是（    ）

A．只有一个实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
53．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，这是一次函数y=kx+b的图象，则二次函数y=x2−2kx−b的图象大致为（    ）
A．B．C．D．
54．（2024·贵州六盘水·二模）二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则点Pc,b在第 象限．

题型14 根据二次函数的图像判断式子符号
55．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于点A1，0和B，与y轴的正半轴交于点C．下列结论： ①abc>0；②4a−2b+c>0；③2a−b>0；④3a+c<0，其中正确结论是 ．

56．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−1,0)，B(m,0)，其中m>0，a<0．下列四个结论：①abc>0；②bc=1−1m；③am2+(2a+b)m+a+b+c<0；④am+a=b2−4ac，其中正确的结论是 （填写序号）．
57．（2024·广东惠州·模拟预测）如图是抛物线y=ax2+bx+c的部分图象，图象过点(3，0)，对称轴为直线x=1，下列五个结论：①abc>0；②b2>4ac；③(a+c)2−b2>0；④a+b≥am2+bm (m为任意实数)；⑤4a+c<0．其中，正确结论的序号是 ．

58．（2024·内蒙古通辽·模拟预测）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法：
①abc>0；
②2a+b=0；
③a−b+c=0；
④ 当−1<x<3时，y>0；
⑤4a+c>0．
其中正确的有 ．（填序号）

59．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(−1,0)，与y轴的交点B在(0,−2)和(0,−1)之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①bc>0；②4ac−b2<−4a；③13<a<23；④关于x的方程ax2+bx+c+2=0一定有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 ．（填写序号）

👉题型15 函数图像综合
60．（2024·安徽合肥·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=12ax+12a与二次函数y=ax2−a的图象可能是（    ）
A． B．C． D．
61．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数 y=ax+bx2（a、b为常数，且a>0，b<0）的大致图象是（   ）
A．B．C．D．
62．（2024·江苏淮安·一模）如图，抛物线y=ax2与反比例函数y=kx的图象相交于点P，若点P横坐标为2，则关于不等式ax2>kx的解集为（    ）

A．x>2 B．0≤x<2
C．0<x<2 D．x<0或x>2
63．（2024·湖北武汉·二模）函数y1、y2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数y=y1+y2的大致图象是（    ）
A．B．C．D．
👉题型16 已知一元二次方程根的分布情况求参数
64．（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，设二次函数y=ax2−a+1xa≠0．
(1)若a为整数，二次函数图象过点n,0（其中n是正整数），求抛物线的对称轴．
(2)若Mx1,y1，Nx2,y2为抛物线上两个不同的点．
①当x1+x2=4时，y1=y2，求a的值．
②若对于x1>x2≥2，都有y1>y2，求a的取值范围．
65．（2024·云南德宏·一模）如图，抛物线y=ax2+(a−3)x−3(a>0)与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，且OB=OC．

(1)求这条抛物线的解析式；
(2)若点M(x1,b)与点N(x2,b)在（1）中的抛物线上，且x1<x2，MN=n．求4x12−2x2n+6n的值．
66．（2024·河南·模拟预测）如图，二次函数y=ax2+bxa≠0的图像经过点−1,5，2,−4．

(1)求二次函数的表达式；
(2)若点Mx1,y1，Nx2,y2都在此抛物线上，且0<x1<1，2<x2<3，比较y1与y2的大小，并说明理由；
(3)点P的坐标为n,−3，点Q的坐标为n+3,−3，若线段PQ与该函数图象恰有一个交点，直接写出n的取值范围．
67．（2023·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中，当x=−2和x=4时，二次函数y=ax2+bx−2（a，b是常数，a≠0）的函数值相等．
(1)若该函数的最大值为1，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
(2)若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a，b的值．
(3)记（2）中的抛物线为y1，将抛物线y1向上平移2个单位得到抛物线y2，当－2≤x≤m时，抛物线y2的最大值与最小值之差为8，求m的值．
👉题型17 二次函数与坐标系交点问题
68．（2024·河北邯郸·模拟预测）二次函数y=cx2−4x+2c的图象的最高点在x轴上，则c的值为（ ）
A．2 B．−2 C．±2 D．±2
69．（2024·广东广州·二模）已知二次函数y=x2+a−4x+a−5（a为常数）的图象经过−m，n和m，n两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（    ）
A．0,1 B．0,−1 C．0,−5 D．0,4
70．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）抛物线y=ax2−4ax+c与x轴的一个交点的坐标为1,0，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（  ）
A．3,0 B．−1,0 C．2,0 D．4,0
71．（2024·江苏南京·模拟预测）已知二次函数y=ax2−2ax+7（a≠0，且a为常数）
(1)若a<0，求证：该二次函数图象与x轴有两个公共点；
(2)该函数一定经过两个定点，分别是 ， ；
(3)若该二次函数的图象与函数y=x+7有不少于两个交点，直接写出a的取值范围．
👉题型18 二次函数与方程、不等式
72．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象关于直线x=−1对称，与x轴的一个交点在原点和1,0之间，下列结论错误的是（    ）

A．abc<0 B．b=2a
C．4a−2b+c>0 D．a−b≤mam+b（m为任意实数）
73．（2024·河南周口·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于1,0，3,0，则下列判断错误的是（    ）

A．抛物线的对称轴是直线x=2
B．当x>2时，y随x的增大而减小
C．一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是1和3
D．当y<0时，x<1
74．（2024·河南周口·模拟预测）如图，二次函数y=ax2+bx+32的图象与x轴交于点A−1,0，B3,0，与y轴交于点C，若直线BC的解析式为y=mx+n，则mx≥ax2+bx的解集为（    ）

A．x<0或x≥3 B．x≤0或x>3 C．0<x<3 D．x≤0或x≥3
75．（2023·陕西渭南·一模）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点−1,0，2,0，则关于x的方程ax2+bx+c=0的解为（　　）
A．x1=−1，x2=2 B．x1=−2，x2=1
C．x1=1，x2=2 D．x1=−1，x2=−2
76．（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥窖数语，把图形之妙趣说的淋漓尽致．如图是函数y=ax2+bx+c的图象，那么无论x为何值，函数值y永远为负的条件是（    ）

A．a>0，b2−4ac>0 B．a>0，b2−4ac<0
C．a<0，b2−4ac>0 D．a<0，b2−4ac<0
👉题型19 二次函数与三角形相结合的应用方法
77．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，二次函数y=−x2+2x+3的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点P是此函数图象上在第一象限内的一动点，当S△PCB=3时，点P的坐标为 ．

78．（2023·广西南宁·模拟预测）如图，二次函数y=−14x2+32x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B、C，连接AB、AC．若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合）．过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，点N的坐标为 ．

79．（2023·吉林长春·二模）如图，抛物线y=−x2+4x+5与x轴交于A、B两点（点A在B的左边），与y轴交于点C，点D为此抛物线上的一动点（点D在第一象限），连接BD、CD，则四边形OBDC面积的最大值为 ．

80．（2024·山东青岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A−4,0，B2,0，交y轴于点C0,6，在y轴上有一点E0,−2，连接AE．

(1)求二次函数的表达式；
(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值及此时D点的坐标；
(3)抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为以AE为底的等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标即可；若不存在，请说明理由．

1．（2024·江苏无锡·中考真题）已知y是x的函数，若存在实数m，nm<n，当m≤x≤n时，y的取值范围是tm≤y≤tnt>0．我们将m≤x≤n称为这个函数的“t级关联范围”．例如：函数y=2x，存在m=1，n=2，当1≤x≤2时，2≤y≤4，即t=2，所以1≤x≤2是函数y=2x的“2级关联范围”．下列结论：
①1≤x≤3是函数y=−x+4的“1级关联范围”；
②0≤x≤2不是函数y=x2的“2级关联范围”；
③函数y=kxk>0总存在“3级关联范围”；
④函数y=−x2+2x+1不存在“4级关联范围”．
其中正确的为（    ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
2．（2024·四川资阳·中考真题）已知二次函数y=−12x2+bx与y=12x2−bx的图像均过点A4,0和坐标原点O，这两个函数在0≤x≤4时形成的封闭图像如图所示，P为线段OA的中点，过点P且与x轴不重合的直线与封闭图像交于B，C两点．给出下列结论：

①b=2；
②PB=PC；
③以O，A，B，C为顶点的四边形可以为正方形；
④若点B的横坐标为1，点Q在y轴上（Q，B，C三点不共线），则△BCQ周长的最小值为5+13．
其中，所有正确结论的个数是（   ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为x0<x<12，正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（    ）

A．B．C．D．
4．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，作直线x=ii=1,2,3,⋯与x轴相交于点Ai，与抛物线y=14x2相交于点Bi，连接AiBi+1，BiAi+1相交于点Ci，得△AiBiCi和△Ai+1Bi+1Ci，若将其面积之比记为ai=S△AiBiCiS△Ai+1Bi+1Ci，则a2024= ．

5．（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】
小明作出了⊙O的内接等腰三角形ABC，AB=AC．并在BC边上任取一点D（不与点B，C重合），连接AD，然后将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE．如图①
小明发现：CE与⊙O的位置关系是__________，请说明理由：
【实践探究】
连接DE，与AC相交于点F．如图②，小明又发现：当△ABC确定时，线段CF的长存在最大值．
请求出当AB=310．BC=6时，CF长的最大值；
【问题解决】
在图②中，小明进一步发现：点D分线段BC所成的比CD:DB与点F分线段DE所成的比DF:FE始终相等．请予以证明．

1．（2024·山东德州·中考真题）已知Px1,y1，Qx2,y2是某函数图象上的两点，当1<x2<x1<2时，y2−y1<0．该函数的解析式可能是（   ）
A．y=−2x B．y=2x
C．y=x2−x−1 D．y=−x2−2x+1
2．（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线y=x2+2x−1向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（    ）
A．−4,−1 B．−4,2 C．2,1 D．2,−2
3．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，连接BD，点M从B出发沿BD方向以3cm/s的速度运动至D，同时点N从B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动至C，设运动时间为xs，△BMN的面积为ycm2，y与x的函数图象如图2所示，则菱形ABCD的边长为（    ）

A．22cm B．42cm C．4cm D．8cm
4．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点C0,−2与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且−1<x1<0，2<x2<3，则下列结论：
①a−b+c<0；
②方程ax2+bx+c+2=0有两个不相等的实数根；
③a+b>0；
④a>23；
⑤b2−4ac>4a2．其中正确的结论有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y=−x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m>n>0），下列结论正确的是（　　）

A．m+n=1 B．m−n=1 C．mn=1 D．mn=1
6．（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
x
…
−4
−2
0
3
5
…
y
…
−24
−8
0
−3
−15
…
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ）
A．图象的开口向上 B．当x>0时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x=1
92．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数y=x2−2x−1≤x≤t−1，当x=−1时，函数取得最大值；当x=1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ）
A．0<t≤2 B．0<t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2
7．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a<0）经过−1,1，m,1两点，且0<m<1．下列四个结论：
①b>0；
②若0<x<1，则ax−12+bx−1+c>1；
③若a=−1，则关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=2无实数解；
④点Ax1,y1，Bx2,y2在抛物线上，若x1+x2>−12，x1>x2，总有y1<y2，则0<m≤12．
其中正确的是 （填写序号）．
8．（2024·新疆·中考真题）如图，抛物线y=12x2−4x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD=3．当AD+BC的值最小时，点C的坐标为 ．

9．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3是二次函数y=−x2+4x−1图象上三点．若0<x1<1，x2>4，则y1 y2（填“>”或“<”）；若对于m<x1<m+1，m+1<x2<m+2，m+2<x3<m+3，存在y1<y3<y2，则m的取值范围是 ．
10．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=−49(x−1)2+4的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．

(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)一个二次函数的图像经过B、C、M(t,4)三点，其中t≠1，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段OB上（与点O、B不重合）．
①若D点的坐标为(3,0)，则t=_________；
②求t的取值范围：
③求OD⋅DB的最大值．
11．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−32x+3与x轴，y轴分别交于点C，D，抛物线y=−14(x−2)2+k(k为常数）经过点D且交x轴于A,B两点．

(1)求抛物线表示的函数解析式；
(2)若点P为抛物线的顶点，连接AD，DP，CP．求四边形ACPD的面积．
12．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A(−2,5)，对称轴为直线x=−12．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点B(1,7)向上平移2个单位长度，向左平移m（m>0）个单位长度后，恰好落在y=x2+bx+c的图象上，求m的值；
(3)当−2≤x≤n时，二次函数y=x2+bx+c的最大值与最小值的差为94，求n的取值范围．
13．（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y=x2+2ax+a−3的最值问题展开探究．
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出a=−4，求二次函数y=x2+2ax+a−3的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表：
a
…
−4
−2
0
2
4
…
x
…
*
2
0
−2
−4
…
y的最小值
…
*
−9
−3
−5
−15
…
注：*为②的计算结果．
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取x=−a，就能得到y的最小值．”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”
（2）请结合函数解析式y=x2+2ax+a−3，解释甲同学的说法是否合理？
（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．

第三章 函数
第13讲 二次函数的图像与性质

139

👉题型01 根据二次函数解析式判断其性质
👉题型02 根据二次函数的图像与性质求解
👉题型03 求二次函数解析式
👉题型04 画二次函数的图像
👉题型05 以开放性试题的形式考查二次函数的解析式
👉题型06 二次函数的平移变换问题
👉题型07