中考数学——图形的变化(章节测试)(含答案).docx

章节综合训练七 图形的变化
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2024·山西·中考真题）1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ）
A．山西煤炭化学研究所 B．东北地理与农业生态研究所
C．西安光学精密机械研究所 D．生态环境研究中心
2．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，点P(1,2)关于原点的对称点P'的坐标是（    ）
A．(1,2) B．(−1,2) C．(1,−2) D．(−1,−2)
3．（2024·宁夏·中考真题）用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按图1方式摆放，则最后一个小正方体应放在（　　）

A．①号位置 B．②号位置 C．③号位置 D．④号位置
4．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆AB的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长CD=3米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（    ）

A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米
5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）由5个形状、大小完全相同的小正方体组合而成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则搭建该几何体的方式有（    ）

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
6．（2024·湖北·中考真题）如图，点A的坐标是−4,6，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是（    ）

A．4,6 B．6,4 C．−6,−4 D．−4,−6
7．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在△ABC中，O是边AB的中点．按下列要求作图：
①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E；
②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F；
③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；
④作直线OG，交AC于点M．下列结论不一定成立的是（　　）

A．∠AOM=∠B B．∠OMC+∠C=180∘
C．AM=CM D．OM=12AB
8．（2024·四川广元·中考真题）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD=3，BC=1，则AD的长为（    ）

A．5 B．10 C．2 D．22
9．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形ABCD中，BC=2AB，点M，N分别在边BC，AD上．连接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处．则tan∠AMN的值是（    ）

A．2 B．2 C．3 D．5
10．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数y=x3−3x2+3x−1的图象，发现它关于点1,0中心对称．若点A10.1,y1，A20.2,y2，A30.3,y3，……，A191.9,y19，A202,y20都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则y1+y2+y3+⋯⋯+y19+y20的值是（    ）

A．−1 B．−0.729 C．0 D．1
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2024·山东东营·中考真题）如图，将△DEF沿FE方向平移3cm得到△ABC，若△DEF的周长为24cm，则四边形ABFD的周长为 cm．

12．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知∠AOB=50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN= ．

13．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在△ABC中，点A的坐标为0,1，点B的坐标为4,1，点C的坐标为3,4，点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是 ．

14．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，将△ABC沿其底边中线AD向下平移，使A的对应点A'满足AA'=13AD，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．

15．（2024·四川广元·中考真题）已知y=3x与y=kxx>0的图象交于点A2,m，点B为y轴上一点，将△OAB沿OA翻折，使点B恰好落在y=kxx>0上点C处，则B点坐标为 ．

16．（2024·山东济宁·中考真题）如图，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线．

（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F．
（2）以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G．
（3）以点G为圆心，EF长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H．
（4）画射线AH．
（5）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M．
（6）连接MC，MB，MB分别交AC，AD于点N，P．
根据以上信息，下面五个结论中正确的是 ．（只填序号）
①BD=CD；②∠ABM=15°；③∠APN=∠ANP；④AMAD=32；⑤MC2=MN⋅MB．
三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分）
17．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A−1,1，B−2,3，C−5,2．

(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
(2)画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2，并写出点B2的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点B旋转到点B2的过程中所经过的路径长（结果保留π）
18．（2024·吉林·中考真题）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图①中已画出四边形ABCD，图②中已画出以OE为半径的⊙O，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．

(1)在图①中，面出四边形ABCD的一条对称轴．
(2)在图②中，画出经过点E的⊙O的切线．
19．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．

(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆高度为________m；
(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE=1.5m，小李到镜面距离EC=2m，镜面到旗杆的距离CB=16m．求旗杆高度；
(3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：

如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG=1.8m，DG=1.5m．将观测点D后移24m到D'处，采用同样方法，测得C'G'=1.2m，D'G'=2m．求雕塑高度（结果精确到1m）．
20．（2024·山东日照·中考真题）如图，以▱ABCD的顶点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，再分别以点A，E为圆心，大于12AE的长为半径画弧，两弧交于点F，画射线BF，交AD于点G，交CD的延长线于点H．

(1)由以上作图可知，∠1与∠2的数量关系是_______
(2)求证：CB=CH
(3)若AB=4，AG=2GD，∠ABC=60°，求△BCH的面积．
21．（2024·江苏无锡·中考真题）【操作观察】
如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=8，AB=12，AD=13．
折叠四边形纸片ABCD，使得点C的对应点C'始终落在AD上，点B的对应点为B'，折痕与AB，CD分别交于点M，N．

【解决问题】
(1)当点C'与点A重合时，求B'M的长；
(2)设直线B'C'与直线AB相交于点F，当∠AFC'=∠ADC时，求AC'的长．
22．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数y=kx的图象交于M12,4，Nn,1两点．

(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)求△OMN的面积；
(3)若点P是y轴上一动点，连接PM，PN．当PM+PN的值最小时，求点P的坐标．
23．（2025·上海普陀·一模）在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=ax2+bx−3a≠0的顶点A的坐标为(1,−2)，与y轴交于点B．将抛物线沿射线BA方向平移，平移后抛物线的顶点记作M，其横坐标为m．平移后的抛物线与原抛物线交于点N，且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为n．

(1)求原抛物线的表达式；
(2)求m关于n的函数解析式；
(3)在抛物线平移过程中，如果∠NBM是锐角，求平移距离的取值范围．
24．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx−c的图象与x轴交于点A(−3,0)和点B(1,0)，与y轴交于点C．

(1)求这个二次函数的表达式．
(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC:y=x+3交于点D，若点M是直线AC上方抛物线上的一个动点，求△MCD面积的最大值．
(3)如图2，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线l与BC平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2024·内蒙古通辽·中考真题）数学活动课上，某小组将一个含45°的三角尺AEF利一个正方形纸板ABCD如图1摆放，若AE=1，AB=2．将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转α0°≤α≤90°角，观察图形的变化，完成探究活动．

【初步探究】
如图2，连接BE，DF并延长，延长线相交于点G,BG交AD于点M．
问题1　　BE和DF的数量关系是________，位置关系是_________．
【深入探究】
应用问题1的结论解决下面的问题．
问题2　　如图3，连接BD，点O是BD的中点，连接OA，OG．求证OA=OD=OG．
【尝试应用】
问题3　　如图4，请直接写出当旋转角α从0°变化到60°时，点G经过路线的长度．
章节综合训练七 图形的变化
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2024·山西·中考真题）1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ）
A．山西煤炭化学研究所 B．东北地理与农业生态研究所
C．西安光学精密机械研究所 D．生态环境研究中心
【答案】A
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．不中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，点P(1,2)关于原点的对称点P'的坐标是（    ）
A．(1,2) B．(−1,2) C．(1,−2) D．(−1,−2)
【答案】D
【分析】本题考查了关于原点的对称点的坐标．根据关于原点的对称点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数即可求解．
【详解】解：∵关于原点的对称点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，
∴点P(1,2)关于原点的对称点P'的坐标是(−1,−2)．
故选：D．
3．（2024·宁夏·中考真题）用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按图1方式摆放，则最后一个小正方体应放在（　　）

A．①号位置 B．②号位置 C．③号位置 D．④号位置
【答案】B
【分析】本题考查了由三视图判断几何体，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键．根据题意主视图和左视图即可得到结论．
【详解】据主视图、左视图可知，最后一个小正方体应放在②号位置．
故选：B
4．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆AB的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长CD=3米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（    ）

A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米
【答案】D
【分析】本题考查相似三角形的应用举例，设回过程中小杰身高为FH，连接AF并延长交BC于点G，根据题意得到CE∥FH∥AB，证明△DCE∽△DBA,△GHF∽△GBA，得到CEAB=CDBD,FHAB=GHGB，由CE=FH推出CDBD=GHGB，即可得出结论．
【详解】解：设回过程中小杰身高为FH，连接AF并延长交BC于点G，

根据题意得到CE∥FH∥AB，
∴ △DCE∽△DBA,△GHF∽△GBA，
∴ CEAB=CDBD,FHAB=GHGB，
∵ CE=FH
∴ CDBD=GHGB，
∵BD>GB，
∴CD>GH，
∵ CD=3米，
∴ GH<3，
∴返回过程中小杰在灯光下的影长可以是2.5米，
故选：D．
5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）由5个形状、大小完全相同的小正方体组合而成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则搭建该几何体的方式有（    ）

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】C
【分析】本题考查了三视图，解题的关键是理解三视图的定义．根据小正方体一共5个，以及主视图和左视图，画出俯视图即可．
【详解】解：由主视图可知，左侧一列最高一层，右侧一列最高三层，由左视图可知，前一排最高三层，后一排最高一层，可知右侧第一排一定为三层，可得该几何体俯视图如图所示，

故选：C．
6．（2024·湖北·中考真题）如图，点A的坐标是−4,6，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是（    ）

A．4,6 B．6,4 C．−6,−4 D．−4,−6
【答案】B
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化−旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题．
【详解】解：如图所示，

分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为M和N，
由旋转可知，
OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠AOM+∠BON=∠A+∠AOM=90°，
∴∠A=∠BON．
在△AOM和△OBN中，
∠A=∠BON∠AMO=∠ONBOA=OB，
∴△AOM≌△OBN(AAS)，
∴BN=MO，ON=AM．
∵点A的坐标为(−4,6)，
∴BN=MO=4，ON=AM=6，
∴点B的坐标为(6,4)．
故选：B．
7．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在△ABC中，O是边AB的中点．按下列要求作图：
①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E；
②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F；
③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；
④作直线OG，交AC于点M．下列结论不一定成立的是（　　）

A．∠AOM=∠B B．∠OMC+∠C=180∘
C．AM=CM D．OM=12AB
【答案】D
【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出∠AOM=∠B，根据平行线的判定得出OM∥BC，根据平行线的性质得出∠OMC+∠C=180∘，根据平行线分线段成比例得出AMCM=AOOB=1，即可得出AM=CM．
【详解】解：A．根据作图可知：∠AOM=∠B一定成立，故A不符合题意；
B．∵∠AOM=∠B，
∴OM∥BC，
∴∠OMC+∠C=180∘一定成立，故B不符合题意；
C．∵O是边AB的中点，
∴AO=BO，
∵OM∥BC，
∴AMCM=AOOB=1，
∴AM=CM一定成立，故C不符合题意；
D．OM=12AB不一定成立，故D符合题意．
8．（2024·四川广元·中考真题）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD=3，BC=1，则AD的长为（    ）

A．5 B．10 C．2 D．22
【答案】A
【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得AC=AE，∠CAE=90°，DE=BC=1，推出△ACE是等腰直角三角形，CE=4，过点A作AH⊥CE于点H，得到HD=1，利用勾股定理求出AD的长．
【详解】解：由旋转得△ABC≌△ADE，∠CAE=90°，
∴AC=AE，∠CAE=90°，DE=BC=1，
∴△ACE是等腰直角三角形，CE=CD+DE=3+1=4，
过点A作AH⊥CE于点H，

∴AH=12CE=CH=HE=2，
∴HD=HE−DE=2−1=1，
∴AD=AH2+HD2=22+12=5，
故选：A．
9．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形ABCD中，BC=2AB，点M，N分别在边BC，AD上．连接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处．则tan∠AMN的值是（    ）

A．2 B．2 C．3 D．5
【答案】A
【分析】连接AC交MN于点F，设AB=2m，则BC=2AB=4m，利用勾股定理求得AC=AB2+BC2=25m，由折叠得到AM=CM，MN垂直平分AC，则AF=CF=12AC=5m，由AB2+BM2=AM2代入求得AM=52m，则MF=AM2−AF2=52m，所以tan∠AMN=AFMF=2，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接AC交MN于点F，

设AB=2m，则BC=2AB=4m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴AC=AB2+BC2=25m
∵将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处，
∴点C与点A关于直线MN对称，
∴AM=CM，MN垂直平分AC，
∴BM=BC−CM=4m−AM，∠AFM=90°，AF=CF=12AC=5m，
∵AB2+BM2=AM2，
∴2m2+4m−AM2=AM2
∴AM=52m，
∴MF=AM2−AF2=52m
∴tan∠AMN=AFMF=5m52m=2．
故选：A．
【点睛】此题考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
10．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数y=x3−3x2+3x−1的图象，发现它关于点1,0中心对称．若点A10.1,y1，A20.2,y2，A30.3,y3，……，A191.9,y19，A202,y20都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则y1+y2+y3+⋯⋯+y19+y20的值是（    ）

A．−1 B．−0.729 C．0 D．1
【答案】D
【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出y1+y2+y3+⋯y9+y11⋯+y19=0，进而转化为求y10+y20，根据题意可得y10=0，y20=1，即可求解．
【详解】解：∵这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，
∴0.1+1.92=0.2+1.82=⋅⋅⋅0.9+1.12=1，
∴y1+y2+y3+⋯y9+y11⋯+y19=0，
∴y1+y2+y3+⋯⋯+y19+y20=y10+y20，而A101,0即y10=0，
∵y=x3−3x2+3x−1，
当x=0时，y=−1，即0,−1，
∵0,−1关于点1,0中心对称的点为2,1，
即当x=2时，y20=1，
∴y1+y2+y3+⋯⋯+y19+y20=y10+y20=0+1=1，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2024·山东东营·中考真题）如图，将△DEF沿FE方向平移3cm得到△ABC，若△DEF的周长为24cm，则四边形ABFD的周长为 cm．

【答案】30
【分析】本题主要考查了平移的性质、三角形周长等知识点，掌握平移的性质及等量代换成为解题的关键．
由平移的性质可得AD=BE=3cm,DE=AB,再根据△DEF的周长为24cm可得AB+EF+DF=24，然后根据四边形的周长公式及等量代换即可解答．
【详解】解：∵将△DEF沿FE方向平移3cm得到△ABC，
∴AD=BE=3cm,DE=AB,
∵△DEF的周长为24cm，
∴DE+EF+DF=24,即AB+EF+DF=24，
∴四边形ABFD的周长为AB+BF+DF+AD=AB+BE+EF+DF+AD=AB+EF+DF+BE+AD=24+3+3=30cm．
故答案为：30．
12．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知∠AOB=50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN= ．

【答案】80°/80度
【分析】本题考查了轴对称−最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P1P、P2P，
∵ P、P1关于OA对称，
∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM，

同理，∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，∠OP2N=∠OPN，
∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2(∠MOP+∠NOP)=2∠AOB=100°，OP1=OP2=OP，
∴ △P1OP2是等腰三角形．
∴ ∠OP2N=∠OP1M=40°，
∴ ∠MPN=∠MPO+∠NPO=∠OP2N+∠OP1M=80°
故答案为：80°．
13．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在△ABC中，点A的坐标为0,1，点B的坐标为4,1，点C的坐标为3,4，点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是 ．

【答案】1,4
【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的性质．利用数形结合的思想是解题的关键．根据点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD与△ABC全等，画出图形，结合图形的对称性可直接得出D1,4．
【详解】解：∵点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD与△ABC全等，
∴AD=BC，AC=BD，
∴可画图形如下，

由图可知点C、D关于线段AB的垂直平分线x=2对称，则D1,4．
故答案为：1,4．
14．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，将△ABC沿其底边中线AD向下平移，使A的对应点A'满足AA'=13AD，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．

【答案】439/493
【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定和性质，三线合一，根据平移的性质，推出△A'EF∽△A'B'C'，根据对应边上的中线比等于相似比，求出EF的长，三线合一求出A'D的长，利用面积公式进行求解即可．
【详解】解：∵等腰△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，
∴∠ABC=30°，
∵AD为中线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴AD=12AB=1，BD=3AD=3，
∴BC=23，
∵将△ABC沿其底边中线AD向下平移，
∴B'C'∥BC,B'C'=BC=23，A'G=AD=1，
∴△A'EF∽△A'B'C'，
∴EFB'C'=A'DA'G，
∵AA'=13AD，
∴DA'=23AD=23A'G=23，
∴EFB'C'=A'DA'G=23，
∴EF=23B'C'=433，
∴S阴影=12EF⋅A'D=12×433×23=439；
故答案为：439．

15．（2024·四川广元·中考真题）已知y=3x与y=kxx>0的图象交于点A2,m，点B为y轴上一点，将△OAB沿OA翻折，使点B恰好落在y=kxx>0上点C处，则B点坐标为 ．

【答案】0,4
【分析】本题考查了反比例函数的几何综合，折叠性质，解直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出A2,23以及y=43xx>0，根据解直角三角形得∠1=30°，根据折叠性质，∠3=30°，然后根据勾股定理进行列式，即OB=OC=232+22=4．
【详解】解：如图所示：过点A作AH⊥y轴，过点C作CD⊥x轴，

∵y=3x与y=kxx>0的图象交于点A2,m，
∴把A2,m代入y=3x，得出m=3×2=23，
∴A2,23，
把A2,23代入y=kxx>0，
解得k=2×23=43，
∴y=43xx>0，
设Cm，43m，
在Rt△AHO，tan∠1=AHOH=223=33，
∴∠1=30°，
∵点B为y轴上一点，将△OAB沿OA翻折，
∴∠2=∠1=30°，OC=OB，
∴∠3=90°−∠1−∠2=30°，
则CDOD=tan∠3=33=43mm，
解得m=23（负值已舍去），
∴C23，2，
∴OB=OC=232+22=4，
∴点B的坐标为0，4，
故答案为：0，4．
16．（2024·山东济宁·中考真题）如图，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线．

（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F．
（2）以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G．
（3）以点G为圆心，EF长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H．
（4）画射线AH．
（5）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M．
（6）连接MC，MB，MB分别交AC，AD于点N，P．
根据以上信息，下面五个结论中正确的是 ．（只填序号）
①BD=CD；②∠ABM=15°；③∠APN=∠ANP；④AMAD=32；⑤MC2=MN⋅MB．
【答案】①②⑤
【分析】本题为尺规作图几何综合题，涉及到了等腰三角形的性质即判定，矩形的判定，含30°角的直角三角形的定义，锐角三角函数的比值关系，相似三角形的判定及性质等知识点，灵活运用角的等量代换是解题的关键．
根据等腰三角形的性质即可判断出①；过M作MK⊥BC于点K，证出四边形ADKM为矩形，即可通过边的比值关系求出∠MBK=30°，即可求出∠ABM判断②；利用三角形外角和分别求出两个角的值进行比较即可判断③；设AP=x，则PD=AD−x，用含x的式子分别表达出AM和AD的长度后即可判断④；判定出△BMC∽△CMN即可判断⑤．
【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴三角形ABC为等腰直角三角形，∠ABD=∠ACD=45°，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×90°=45°，
∴∠ABD=∠ACD=∠BAD=∠CAD=45°，
∴BD=AD=DC，故①正确；
根据题意作图可得：∠MAC=∠ABD=45°，BM=BC，
过M作MK⊥BC于点K，则∠MKB=90°，如图所示：

∵AD是△ABC的角平分线，由三线合一可得：AD⊥BC，即∠ADC=90°，
∵∠DAM=∠DAC+∠MAC=45°+45°=90°，
∴∠DAM=∠MKB=∠ADC=90°，
∴四边形ADKM为矩形，
∴MK=AD=12BC=12BM，
∴∠MBK=30°，
∴∠ABM=∠ABD−∠MBK=45°−30°=15°，故②正确；
∵∠APN=∠ABM+∠BAD=15°+45°=60°，∠ANP=∠MBK+∠DAC=30°+45°=75°，
∴∠APN≠∠ANP，故③错误；
设AP=x，则PD=AD−x，
∵AM∥BC，
∴∠AMB=∠MBC=30°，
∴tan∠AMB=tan30°=APAM=xAM=33，即AM=3x，tan∠MBC=tan30°=PDBD=AD−xAD=33，即AD=3x+3x2，
∴AMAD=3x3x+3x2=3−1，故④错误；
∵∠BMC=∠BCM=180°−∠MBC2=180°−30°2=75°，
∵∠MNC=∠ANP=75°，
∴∠MNC=∠BCM，
又∵∠BMC=∠CMN，
∴△BMC∽△CMN，
∴MCMB=MNMC，
∴MC2=MN⋅MB，故⑤正确；
综上所述，正确的有：①②⑤；
故答案为：①②⑤．
三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分）
17．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A−1,1，B−2,3，C−5,2．

(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
(2)画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2，并写出点B2的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点B旋转到点B2的过程中所经过的路径长（结果保留π）
【答案】(1)作图见解析，B12,3
(2)作图见解析，B2−3,0
(3)52π
【分析】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
（1）根据题意画出即可；关于y轴对称点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变；
（2）根据网格结构找出点B、C以点A为旋转中心逆时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可；
（3）先求出AB=5，再由旋转角等于90°，利用弧长公式即可求出．
【详解】（1）解：如图，△A1B1C1为所求；点B1的坐标为2,3，

（2）如图，△AB2C2为所求；B2−3,0，
（3）AB=12+22=5，
点B旋转到点B2的过程中所经过的路径长90×5π180=52π．
18．（2024·吉林·中考真题）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图①中已画出四边形ABCD，图②中已画出以OE为半径的⊙O，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．

(1)在图①中，面出四边形ABCD的一条对称轴．
(2)在图②中，画出经过点E的⊙O的切线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，切线的判定，画对称轴等等：
（1）如图所示，取格点E、F，作直线EF，则直线EF即为所求；
（2）如图所示，取格点G、H，作直线GH，则直线GH即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，取格点E、F，作直线EF，则直线EF即为所求；
易证明四边形ABCD是矩形，且E、F分别为AB，CD的中点；

（2）解：如图所示，取格点G、H，作直线GH，则直线GH即为所求；
易证明四边形OGTH是正方形，点E为正方形OGTH的中心，则OE⊥GH．

19．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．

(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆高度为________m；
(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE=1.5m，小李到镜面距离EC=2m，镜面到旗杆的距离CB=16m．求旗杆高度；
(3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：

如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG=1.8m，DG=1.5m．将观测点D后移24m到D'处，采用同样方法，测得C'G'=1.2m，D'G'=2m．求雕塑高度（结果精确到1m）．
【答案】(1)11.3
(2)旗杆高度为12m；
(3)雕塑高度为29m．
【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用．
（1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可；
（2）根据镜面反射性质，可求出∠ACB=∠ECD，得出△ACB∽△DCE，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案；
（3）BG=xm，由题意得：△DGC∽△DBA，△D'G'C'∽△D'BA，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解．
【详解】（1）解：由题意得DE=DF，由题意得：DEAB=EFBC，
∴AB=BC=11.3m，
故答案为：11.3；
（2）解：如图，由题意得，DE=1.5m，EC=2m，BC=16m，

根据镜面反射可知：∠ACB=∠ECD，
∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴∠ABC=∠DEC=90°，
∴△ACB∽△DCE，
∴ABDE=CBCE，即AB1.5=162，
∴AB=12，
答：旗杆高度为12m；
（3）解：设BG=xm，
由题意得：△DGC∽△DBA，△D'G'C'∽△D'BA，
∴CGAB=DGDG+x，C'G'AB=D'G'D'D+DG+x，
即1.8AB=1.51.5+x，1.2AB=224+1.5+x，
∴1.8AB1.2AB=1.51.5+x224+1.5+x，
整理得3.61.5+x=1.825.5+x，
解得x=22.5，经检验符合他
∴AB=1.8×1.5+22.5÷1.5=28.8≈29m，
答：雕塑高度为29m．
20．（2024·山东日照·中考真题）如图，以▱ABCD的顶点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，再分别以点A，E为圆心