中考数学——相似三角形及其应用(练习)(含答案).docx

第四章 三角形
第21讲 相似三角形及其应用

1

👉题型01 选择或补充一个条件使两个三角形相似
👉题型02 选择合适的方法证明两个三角形相似
👉题型03 补全判定相似三角形的证明过程
👉题型04 以注重过程性学习的形式考查相似三角形的证明过程
👉题型05 利用相似三角形的性质求解
👉题型06 利用相似的性质求坐标
👉题型07 相似三角形在网格中的应用
👉题型08 相似三角形的性质与判定综合
👉题型09 利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题
👉题型10 利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图象
👉题型11 利用相似三角形的性质与判定求线段比值
👉题型12 利用相似三角形的性质与判定求最值
👉题型13 利用相似三角形的性质与判定解决动点问题
👉题型14 利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题
👉题型15 利用相似三角形列函数关系式
👉题型16 利用三点定形法证明比例式或等积式
👉题型17 尺规作图与相似三角形综合应用
👉题型18 三角板与相似三角形综合应用
👉题型19 平移与相似三角形综合应用
👉题型20 利用相似三角形的性质与判定解决多结论问题
👉题型21 与相似三角形有关的新考法问题
👉题型22 利用相似测量物体的高度
👉题型23 利用相似测量物体（不易测量）的宽度
👉题型24 其它问题

👉题型01 选择或补充一个条件使两个三角形相似
1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，△ADE与△ABC有公共顶点A，∠BAD=∠CAE．请添加一个条件：______，使得△ADE∽△ABC，然后再加以证明．

2．（2024·云南昆明·三模）如图，在△ABC中，点E在AB边上，已知AC∥BD，添加一个条件，使△BDE∽△ABC．你添加的条件是 ．

3．（2024·福建福州·一模）如图，△ABC中，点D是边AB上一点，DE∥BC，连接BE．从下列条件中，选择一个作为附加条件①∠E＝∠ABC；②DEBA=DBBC；③DEAB=BEAC，求证：△EDB∽△ABC．

4．（2023·湖南永州·二模）如图，四边形ABCD是正方形， E是CD的中点，P是BC边上的一点．

(1)给出一个条件，使得△ABP与△ECP相似并写出证明；
(2)在（1）的条件下，已知AB=2，求sin∠BAP的值．
👉题型02 选择合适的方法证明两个三角形相似
5．（2024·广西柳州·三模）如图，△ABC为边长等于4的等边三角形，点F是BC边上的一个动点（不与点B、C重合），FD⊥AB，FE⊥AC，垂足分别是D、E．

(1)求证：△BDF∽△CEF；
(2)若CF=a，四边形ADFE面积为S，求出S与a之间的函数关系式，并写出a的取值范围．
6．（2020·四川成都·一模）如图，在△ABC与△EBD中，∠ABC=∠EBD=90°，AB=6，BC=3，EB=25， BD=5，射线AE与直线CD交于点P．

(1)求证：△ABE∽△CBD；
(2)若AB∥ED，求tan∠PAC的值；
(3)若△EBD绕点B逆时针旋转一周，直接写出线段AP的最大值与最小值．
7．（2023·湖北武汉·二模）如图，在⊙O中，AB为直径，EF为弦，连接AF，BE交于点P，且F为BE的中点．

(1)求证：△FBP∽△FAB；
(2)若tan∠BEF=34，求sin∠ABE的值．
8．（2023·浙江宁波·三模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=4，CD=2，BC=m，P为线段BC上一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E．

(1)请找出一对相似三角形，并说明理由；
(2)若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．
👉题型03 补全判定相似三角形的证明过程
9．（2024·广西·三模）【探究与证明】如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，记△COD的面积为S1，△AOB的面积为S2．

(1)【问题解决】如图①，若AB∥CD，求证：S1S2=OC⋅ODOA⋅OB
小红同学展示出如下正确的证明办法，请在横线上将内容补充完整．
证明：过点D作DE⊥AC交AC于点E，过点B作BF⊥AC交AC于点F，如图①所示：则∠DEO=∠BFO=90°
∴DE____________BF（填写位置关系）∴△DOE∼△____________；∴DEBF=____________；
∵S1=12OC⋅DE；S2=12OA⋅BF；∴S1S2=12OC⋅DE12OA⋅BF=OC⋅DEOA⋅BF=OC⋅ODOA⋅OB．
(2)【探索推广】如图②，若AB与CD不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)【拓展应用】如图③，在OA上取一点E，使OE=OC．过点E作EF∥CD交OD于点F，点H为AB的中点，OH交EF于点G，且OG=2GH，若OEOA=56，求S1S2值．
10．（2024·山西临汾·一模）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
连接三角形顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心．经过研究发现，三角形的重心把中线分成1：2两部分，用数学语言表述为：
如图1，在△ABC中，中线AD,CE相交于点G，则有EG=12CG，DG=12AC．

证明过程如下：如图，连接DE．
∵D，E分别是BC,AB边的中点，∴_________．∴DE∥AC，且DE=12AC．（依据）∴∠DEC=∠ACE，∠EDA=∠DAC．
……
任务：(1)材料中横线部分应填写的结论为________；材料中“依据”的定理内容是________．
(2)请将材料中的证明过程补充完整．
(3)如图2，在△MNH中，点K，L分别在MN,MH边上，连接HK,NL交于点F．若MK=13MN，ML=13MH，则KF与HF的数量关系为_________________．

11．（2024·湖北武汉·模拟预测）阅读：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．即，如图1，，AB是⊙O的切线，直线AD为⊙O的割线，则AB2=AC⋅AD．下面是切割线定理的证明过程（不完整）：
证明：如图1所示，连接BD，连接BO并延长交⊙O于点E，连接CE、BC．
∵AB是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，
∴∠ABC+∠CBE=90°．
∵BE是⊙O的直径，∴∠BCE=90°（____________）．
∴∠E+∠CBE=90°．∴____________，
∵∠E=∠CDB（____________），∴____________，
∵∠BAC=∠DAB，∴△ABC∽△ADB，∴ABAD=ACAB．∴AB2=AC⋅AD．
任务：(1)请在上面横线上补充证明过程，在括号内补充推理的依据；
(2)如图2，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，割线CF与AB于点E，且满足CD:DE:EF=1:2:1，AC=8，求AB的长．
12．（2023·青海西宁·二模）【问题背景】数学综合实践课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论：如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证ABAC=BDCD．

请将小慧的证明过程补充完整：
证明：过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E∴∠BAD=∠E  
又∵∠_____=∠______（           ）∴△__________∽△_________（    ）∴ABCE=BDCD（相似三角形的对应边成比例）
∵AD平分∠BAC ， ∴∠BAD=∠CAD，又∵∠BAD=∠E  ， ∴∠________=∠__________，
∴AC=CE（等角对等边），∴ABAC=BDCD；
【解决问题】如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，连结AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在AB边上的点E处．若AC=1，AB=2，求DE的长．
👉题型04 以注重过程性学习的形式考查相似三角形的证明过程
13．（2021·江苏南京·一模）在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，D是线段AB上一点，且DB＝4，过点D作DE与线段AC相交于点E，使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，求DE的长．请根据下列两位同学的交流回答问题：

甲：过点D作DE∥BC，交AC于点E，则△ADE∽△ABC∴DEBC=ADDB∴DE=ADDB·BC=AD−DBDB·BC=52
乙：这个解答中有两个错误，其中一个是：比例式写错了！
（1）写出正确的比例式及后续解答；
（2）指出另一个错误，并给予正确解答．
14．（2024·山西吕梁·模拟预测）李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（　　）
已知：如图，在△ABC中，点D, E, F分别在边AB, AC, BC上，且DE∥BC,DF∥AC，求证：△ADE∽△DBF．
证明：①又∵DF∥AC，②∵DE∥BC，③∴∠A=∠BDF，④∴∠ADE=∠B，∴△ADE∽△DBF．

A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④①
15．（2024·河北张家口·一模）如图，点D在△ABC的边AC上，添加一个条件，使得△ADB∽△ABC．以下是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（    ）

天冀的做法：添加条件∠ABD=∠C．
证明：∵∠ABD=∠C，∠A=∠A．
∴△ADB∽△ABC（两组角对应相等的两个三角形相似）
往琛的做法：添加条件ABAC=BDCB．
证明：∵∠A=∠A,ABAC=BDCB．
∴△ADB∽△ABC（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似）
A．天翼的做法证明过程没有问题 B．往琛的做法证明过程没有问题
C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．往琛的做法添加的条件有问题
👉题型05 利用相似三角形的性质求解
16．（2024·上海杨浦·一模）如图，在△ABC中，点G是重心，过点G作GD∥BC，交边AC于点D，联结BG，如果S△ABC=36，那么S四边形BGDC= ．

17．（2024·江西·模拟预测）将一把直尺与△ABC按如图所示的方式摆放，AB与直尺的一边重合，AC，BC分别与直尺的另一边交于点D，E．若点A，B，D，E分别与直尺上的刻度4.5，8.5，5，7对应，直尺的宽为1cm，则点C到边AB的距离为 cm．

18．（2024·福建福州·模拟预测）为推进青少年近视的防控工作，教育部等十五部门发布了《儿童青少年近视防控光明行动工作方案（2021—2025年）》．方案中明确强调了校园视力筛查的重要性．视力筛查使用的视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表等．
【素材1】国际通用的视力表以5米为检测距离．如图1，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b mm，在平面直角坐标系中描点．
【素材2】图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角θ．视力值n与分辨视角θ（分）的对应关系近似满足n=1θ0．5≤θ≤10．
【素材3】如图3，当θ确定时，在A处用边长为b1的Ⅰ号“E”测得的视力与在B处用边长为b2的Ⅱ号“E”测得的视力相同．

【探究活动】(1)当检测距离为5米时，
①猜想n与b满足______函数关系（填：一次或二次或反比例）；
②直接写出n与b的函数关系式为______；
③求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
(2)当n≥1．0时，属于正常视力，根据函数增减性求出对应的分辨视角θ的范围．
(3)在某次视力检测中，小何同学发现视力值1.2所对应行的“E”形图边长为3.6 mm，设置的检测距离为3.5米．请问，设置的检测距离与该视力表是否匹配？若匹配，请说明理由；若不匹配，小何同学该如何调整自己的位置？
19．（2020·湖北襄阳·中考真题）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D在边BC上，DE⊥DA且DE=DA，AE交边BC于点F，连接CE．

（1）特例发现：如图1，当AD=AF时，①求证：BD=CF；②推断：∠ACE=_________．；
（2）探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；
（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当EFAF=13时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若CK=163，求DF的长．
👉题型06 利用相似的性质求坐标
20．（2021·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数y=1xx>0的图象上，点C在函数y=−4xx<0的图象上，若点B的横坐标为−72，则点A的坐标为（    ）
A．12,2 B．22,2 C．2,12 D．2,22
21．（2022·江西九江·二模）图，直线l1:y=kx+b与反比例函数l2:y=8x的图象相交于点Q2,m，与y轴交于点C0,−2．

(1)求k，b，m的值．
(2)A是y轴上一点，若∠AQC=90°，求点A的坐标．
22．（2022·湖南常德·一模）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为2,3，双曲线y=kx(x>0)的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE

(1)求△BDE的面积
(2)若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求点F坐标．
👉题型07 相似三角形在网格中的应用
23．（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图．

(1)在图1中画一个格点△ADE，使△ADE∽△ABC．
(2)在图2中找一点F，使∠AFC=2∠ABC．
24．（2023·湖北荆州·一模）小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形叫做格点图形。如图，在7×7的正方形网格中，画出符合要求的格点三角形.

(1)在图1中画出以C为旋转中心顺时针旋转90°的三角形；
(2)在图2中画出以BC为边的三角形，且与△ABC相似（不全等）.
25．（2023·江苏宿迁·二模）如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A1,8,B3,8,C4,7

(1)若D2,3，请在网格图中画一个格点△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比为2∶1；
(2)∠D的正弦值是______．
26．（2024·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，在给定的网格中，分别按下列要求作图．

(1)在图①中，在边AB上找一点D，使BD=BC．
(2)在图②中，在边AC上找一点E，在BC上找一点F，使EF∥AB，且AB=3EF．
(3)在图③中，在△ABC内找一点M，分别连结AM，CM，使△ABM、△ACM、△BCM的面积相等．
👉题型08 相似三角形的性质与判定综合
27．（2024·四川乐山·一模）如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴负半轴上，斜边AC上的中线BD的反向延长线交y轴正半轴于点E，双曲线y = kx（x<0）的图象经过点A，若S△BEC=8，则k等于（    ）

A．4 B．8 C．16 D．32
28．（2025·安徽·模拟预测）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，弦CE与AB交于点F，连接AE，AC，BC．

(1)求证：∠BAC=∠E；
(2)若AB=8，DC=2，CE=310，求CF的长．
29．（2025·上海奉贤·一模）已知，如图，在△ABC中，点D在边AC上，点M、N在边BC上，AB是线段AD与AC的比例中项，∠BAN=∠CAM,AM、AN分别交BD于点E、F．

(1)求证：BDAE=BCAN；
(2)若点O为BD边的中点，连接ON，且BD2=2BN·BC，求证：ON∥AB．
30．（2024·广东东莞·一模）如图1，OB是Rt△ABC中∠ABC的平分线，∠BAC=90°，以AO为半径的⊙O与AC相交于点E，且CE=1．

(1)求证：BC是⊙O切线；
(2)如图2，设⊙O与BC的切点为D，连接AD．当tan∠CAD=13时，求⊙O的半径；
(3)若F是线段AB的中点，连CF与AD交于G，在（2）的条件下，求S△CDGS△ACG的值．
👉题型09 利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题
31．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，正方形ABCD纸片的边长为9，点E，F分别在BC，AD上，以EF为折痕折叠正方形ABCD，使顶点B落在CD边上的点H处，AB的对应边GH交AD于点I，当CH=3时，△FGI的周长是 ．

32．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H．

(1)如图1，求证：△DEP∽△CPH；
(2)如图2，当P为CD的中点，AB=2，AD=3时，求GH的长；
(3)如图3，当AB=AD时，设矩形ABCD的周长为m，△CHP的周长为n，探究n与m的数量关系，并说明理由．
33．（2024·安徽·模拟预测）如图1，E，F分别是等边△ABC边上两点，且△BEF的面积和四边形ACEF的面积相等，将△BEF沿EF折叠得到△B'EF．
（1）若EF∥AC，FG=3，则GH= ；
（2）如图2，若FG=3，EH=4，则GH= ．

34．（2024·全国·模拟预测）专题复习课上，老师带领同学们共同探索“折叠”中的动态变化问题，进一步感悟综合几何图形的解题关键是“化繁为简”．在复杂图形中分解出特殊（基本）图形．进而建立图形要素（线段、基本图形）的解题关系．已知矩形纸片ABCD，AB=6，BC=8．
【操作感知】
（1）如图1，将矩形纸片沿BD折叠、点C落在点C'处，设C'B与AD交于点P，小丽同学关注折叠后得到的△BDP，如图2，利用对称性及平行关系得BP=DP；小强同学观察Rt△BAP中AP，BP与线段DP间的关系后，认为可以求得现有图形中任意线段的长；请你根据同学们的操作观察和思考，求线段DP的长．
【类比分析】
（2）如图4，E是CD边上的一个动点，现将ABCD沿直线BE折叠，点C落在点C'处，当DE为多长时，点C'恰好落在BD上？
【动态探究】
（3）如图5，点E在矩形边BC上以2cm/s．向点B运动，点F在矩形边CD上以1.5cm/s向点D运动，点C沿着EF折叠落在点C'处，过C'作GH∥EF分别交矩形边于点H，G，求经过ts后△HCG的面积（t>0）．

👉题型10 利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图象
35．（2024·山东济宁·一模）如图1，在△ABC中，∠B=36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为ts，AP的长度为ycm，y与t的函数图像如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，求t的值．

36．（2023·湖北恩施·二模）如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=4． 过AC的中点H作AC的垂线DH，过点C作CD∥AB，设两线相交于点D，连接AD．设AB=x，AD=y，则y关于x的函数图像大致为（    ）
  A．  B．  C．  D．  
37．（2023·安徽滁州·二模）如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，动点P从A点出发沿A→D→C→B以2cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从A点出发沿A→B以1cm/s的速度向终点B运动，图2是两动点运动过程中△APQ的面积S（cm2）和运动时间t（s）之间的函数图像．

（1）四边形ABCD的面积为 cm2；
（2）当31.5≤t≤52时的函数表达式为 ．
38．（2022·广东深圳·模拟预测）如图①，已知Rt△ABC的斜边BC和正方形DEFG的边DE都在直线l上（BC＜DE），且点C与点D重合，△ABC沿直线l向右匀速平移，当点B与点D重合时，△ABC停止运动，设DG被△ABC截得的线段长y与△ABC平移的距离x之间的函数图像如图②，则当x＝3时，△ABC和正方形DEFG重合部分的面积为（    ）

A．3 B．763 C．1163 D．23
👉题型11 利用相似三角形的性质与判定求线段比值
39．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接BD交CH于点P，若△BPC为等腰三角形，则DH:HP的值是（   ）

A．2:1 B．2:1 C．2+1:1 D．2−1:1
40．（2024·湖北武汉·模拟预测）问题提出：如图，∠ACB=∠CDE=90°，CBCA=DEDC=k，点A在DE上，连接BE交CD于F点，探究EFFB的值；

问题探究：
（1）先将问题特殊化，如图2，当k=1时，直接写出EFFB的值；
（2）再探究一般情况，如图1，证明（1）中的结论依然成立；
拓展创新：
（3）如图3，BE交AC于点G，若BE=2BC，直接用含k的式子表示CGAG的值．
41．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，已知抛物线y=ax2−2ax+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，且OC=3，直线y=x+b经过B，C两点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D在抛物线上，满足∠CAB=45°+∠BCD，求点D的坐标；
(3)如图2，设抛物线的顶点为T，直线y=kx−k−3与抛物线交于点E，F（点E在点F左侧），G为EF的中点，求TGEF的值．
42．（2024·浙江嘉兴·一模）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中项点”．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2=BD⋅CD，则称点D是△ABC中BC边上的“中项点”．

(1)如图2，△ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“中项点”．
(2)△ABC中，BC=9，tanB=43，tanC=23，点D是BC边上的“中项点”，求线段BD的长．
(3)如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，点H在AB上，连接CH并延长交⊙O于点D．点H是△BCD中CD边上的“中项点”．
①求证：OH⊥AB；
②若OH∥BD，⊙O的半径为r，且r=54BD，求DHCH的值．
👉题型12 利用相似三角形的性质与判定求最值
43．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA=OB=6，点C为平面内一动点，BC=1，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM:MA=1:2．则线段OM的最大值为（    ）

A．35 B．65+23 C．25 D．35+12
44．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）如图，四边形ABCD中，AB=5,AD=3,∠BCD=90°，连接AC,BD，且BD=2CD，则AC的最大值为 ．

45．（2024·山西·模拟预测）综合与探究
在平面直角坐标系中，已知抛物线y=12x2−32x−2与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．连接BC．

(1)求点A和点C的坐标和直线BC的解析式；
(2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，交BC于点E，求DEAE的最大值；
(3)如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
46．（2024·上海虹口·三模）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知OA=3，AC=2．

(1)求S△BCE的值
(2)如图2，连接AF，P为线段AF上一点，过点P作BC的平行线分别交CE，BE于点M，N，交圆O于点K，过点P作PH⊥AB于点H．设PH=x，MN=y．
①求y关于x的函数解析式及其定义域；
②延长PN交半圆O于点Q，求当x为何值时PK⋅PQ的值最大时，并求出最大值．
👉题型13 利用相似三角形的性质与判定解决动点问题
47．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=5，E是AB边上一点，且AE=1，F是AD边上一动点，作∠EFG=90°，交CD边于点G，将△FDG沿着FG所在直线折叠，点D的对应点D'恰好落在BC边上，则DF的长为 ．

48．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，ABBC=23，动点N从A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点M从B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点N，M同时出发，点N运动速度为v1，点M的运动速度为v2，且v1<v2．当点M到达C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形NA'B'M．若在某一时刻，点B的对应点B'恰好与CD的中点重合，则v1v2的值是（   ）

A．25 B．35 C．45 D．34
49．（2024·全国·模拟预测）探究与证明：

【问题发现】
（1）如图1，在正方形ABCD中，E为对角线AC上的动点，过点B作BE的垂线，过点C作AC的垂线，两条垂线交于点F，连接EF，求证：△ABE≌△CBF．
【类比探究】
（2）如图2，在矩形ABCD中，E为对角线AC上的动点，过点B作BE的垂线，过点C作AC的垂线，两条垂线交于点F，连接EF，交BC于点H，若BCAB=m，求CFAE的值．
【拓展延伸】
（3）如图3，在（2）的条件下，延长FE交AD于点G，当m=12时，求FHEG的值．
50．（2024·湖南·模拟预测）如图1，抛物线y1=x2−6x顶点为C．与x轴相交于点O，A．与直线y=x交于点O，B．现将抛物线y1=x2−6x沿y轴作轴反射得抛物线y2，点A，B，C关于y轴的对称点分别是点D，E，F．

(1)求抛物线y2的函数表达式；
(2)如图2，点G是x轴上一动点．连接OF，GF，当tan∠GFO=13时，求点G的坐标；
(3)如图3，点P是抛物线y2在直线OB下方图象上的一个动点，连接BE、PE、PB，PE与直线OB相交于点Q．求S△BPQS△BEQ的最大值．
👉题型14 利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题
51．（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程x2−6x+8=0的两个根OB>OC．请解答下列问题：

(1)求点B的坐标；
(2)若直线y=−x+b分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，tan∠MND=13，求ODOC的值；
(3)在（2）的条件下，在直线EF上是否存在点P（不与点E重合），使△NCE与△NCP相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
52．（2024·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A1,0和B3,0，点D为线段BC上一点，过点D作y轴的平行线交抛物线于点E，连结BE．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当△BDE为直角三角形时，求线段DE的长度；
(3)在抛物线上是否存在这样的点P，使得∠ACP=45°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．  
53．（2024·云南·模拟预测）如图，四边形ACBD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，分别延长AD、CB相交于点E，AB=BE，点F在BE上，且EF·AE=DE·CE．

(1)若AB=3，DE=2，求sinE的值；
(2)求证：DF是⊙O的切线；
(3)点G 是劣弧BC 的中点，连接DG交 BC于点H，若BCBE=35，是否存在常数m，使BH=mBF存在？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
54．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC在x上，OA在y轴上，OA,OC的长分别是x2−7x+12=0的两个根（OC>OA），OD⊥AC于点E，交AB于点D．动点P从点A出发，以每秒一个单位长度的速度AB−BC向点C运动，到点C停止，过点P作OD的平行线，交AC于点M，令△ACP的面积为s．

(1)求点B的坐标；
(2)求s关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围；
(3)在直线AC上是否存在点M，使△ADM是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
👉题型15 利用相似三角形列函数关系式
55．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是1,2，−1,−3．一次函数y=kx+2（k为常数，k≠0）的图像与线段AB交于点C．

(1)若点C与点B重合，求k的值．
(2)若AC=13AB，在图中只用直尺作出点C．
(3)若AC=mAB（m为常数，0<m<12），直接写出k与m之间的关系式．
56．（2024·山东青岛·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点O，动点P从点B开始沿BC边以2cm/s的速度运动，动点Q从点A开始沿AD边以1cm/s的速度运动，过点Q作QM∥AC，QM交CD于点M，交BD于点N，点E，F分别是PQ，PM与AC的交点．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设动点的运动时间为ts，解答下列问题：

(1)当t为何值时，MP∥BD?
(2)设△PQM的面积为Scm2，求出S与t的关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使NP平分∠BNM?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
57．（2024·湖北十堰·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．平行四边形DEFG顶点D在边AC上，顶点E，F在边AB上，顶点G在边BC上

(1)如图（1），若四边形DEFC是矩形，设DG=x，DE=y，求y与x的关系式；
(2)如图（2），若四边形DEFG是正方形，求CD的长；
(3)小涵同学在图（3）中画菱形DEFG，探索发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化，请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．
58．（2024·安徽合肥·二模）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线AC、BD的交点与坐标原点重合，AD与y轴的交点为E．已知点A−2,1，且BD=2AC．

（1）双曲线y=kx恰好经过点D，则k的值为 ；
（2）若经过点E的直线与（1）中的双曲线仅有一个交点，则这条直线的关系式为 ．
👉题型16 利用三点定形法证明比例式或等积式
59．（2024·湖南娄底·模拟预测）探究与证明
已知四边形ABCD中，M，N分别是AB，AD边上的点，DM与CN交于点Q．
【图形认知】（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，且DM⊥CN于点Q，求证：DM=CN；
【探究证明】（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，且DM⊥CN，求证：DMCN=ADCD；
【拓展运用】（3）如图3，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG，若AB=2，BC=3，EF=2103，求三角形DEG的面积．

60．（2024·广东揭阳·模拟预测）如图，已知O是△ABC边AB上的一点，以O为圆心、OB为半径的⊙O与边AC相切于点D，且BC=CD，连接OC，交⊙O于点E，连接BE并延长，交AC于点F．

(1)求证：BC是⊙O切线；
(2)求证：OA⋅AB=AD⋅AC；
(3)若AC=16，tan∠BAC=43，F是AC中点，求EF的长．
61．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）已知：如图，在△ABC中，点M、N分别在边AC、BC上，点P是AN上一点，且∠ABM=∠APM=∠C．

(1)求证：AM·AC=AP·AN；
(2)求证：∠ABP＝∠ANB．
👉题型17 尺规作图与相似三角形综合应用
62．（2024·安徽池州·模拟预测）在如图所示的正方形网格图中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．解决下列问题：

(1)已知△ABC的三个顶点都在格点上，将△ABC向右平移2个单位，得到△A1B1C1，请在网格图中画出△A1B1C1．若A1B1与AC相交于点P，则AP:PC= ；
(2)用无刻度的直尺画图：在A1C1上求作点M，使A1M:MC1=3:4．（保留作图痕迹）
63．（2024·江苏淮安·三模）小明同学在学习过《对称图形-圆》、《图形的相似》两章内容后，结合所学的知识，想尝试解决以下尺规作图问题，聪明的你请帮助他完成．
问题背景：已知点P 是四边形ABCD中AB边上一点．
(1)请用圆规和无刻度的直尺作出满足下列条件的点P，不写作法，但需保留作图痕迹．．
问题1．如图1，∠A=∠B=90°，△APD∽△BPC；
问题2．如图2，∠A=∠B=90°，△ADP∽△BPC；
问题3．如图3，∠A=∠B=45°，△ADP∽△BPC．
(2)在问题3的基础上，若AD=6，BC=10，AB=17，则AP= ．
64．（2024·辽宁营口·一模）如图，△ABC内接开⊙O，AB=AC，AD是⊙O的直径，交BC于点E．连接BD．

(1)尺规作图：过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F（用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，保留作图痕迹，不必写作图过程）
(2)求证：DF是⊙O的切线；
(3)已知AC=10，AF=15，求DF的长．
65．（2024·江苏南京·一模）在 △ABC中， ∠C=2∠B．

(1)设 BC=a,AC=b,AB=c，求证： c²−ab−b²=0，在小明和小红的思路中，请选择一种继续完成证明．
(2)如图③， 已知线段m，n．求作：满足已知条件的△ABC，且 AB=m,AC=n，（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．）
(3)若△ABC有一条边的长度为4， 设 ABAC=k,ABC的周长为l，直接写出l关于k的函数表达式，以及l的取值范围．
👉题型18 三角板与相似三角形综合应用
66．（2024·江西赣州·二模）在平面直角坐标系中，将一块直角三角板按如图所示放置，其中∠ACB=90°，∠A=30°，B0,1，C3,0，则点A的坐标为 ．

67．（2024·广东广州·二模）