中考数学——一次方程(组)及其应用 (思维导图+5考点+3命题点15种题型(含5种解题技巧))(含答案).docx

第二章 方程与不等式
第05讲 一次方程（组）及其应用
（思维导图+5考点+3命题点15种题型（含5种解题技巧））

1
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 一元一次方程基础
考点二 解一元一次方程
考点三 二元一次方程（组）基础
考点四 解二元一次方程（组）
考点五 一次方程（组）及其应用
04题型精研·考向洞悉
命题点一 一元一次方程（组）的相关概念
►题型01 等式的性质
►题型02 一元一次方程的相关概念
►题型03 二元一次方程的相关概念
命题点二 解一元一次方程（组）
►题型01 一元一次方程的解法
►题型02 代入法解二元一次方程组
►题型03 加减法解二元一次方程组
►题型04 整体法解二元一次方程组
►题型05解二元一次方程组--同解方程组
►题型06解二元一次方程组—已知二元一次方程组的解的情况求参数
►题型07中考最热考法之以注重过程性学习的形式考查一次方程(组)
命题点三 一元一次方程（组）的应用
►题型01 列一元一次方程组
►题型02 一元一次方程的应用
►题型03 二元一次方程组的应用
►题型04 中考最热考法之以跨学科背景考查一元一次方程的实际应用
►题型05中考最热考法之以真实问题情境为背景考查二元一次方程组的实际应用

01考情透视·目标
中考考点
考查频率
新课标要求
一元一次方程
及其解法
★★
掌握等式的基本性质；能解一元一次方程.
二元一次方程
及其解法
★★
掌握消元法，能解二元一次方程组；
*能解简单的三元一次方程组；
一次方程（组）
的应用
★★
能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程
【考情分析1】一元一次方程属于初中的基础内容，试题形式多样，难度不大，主要以解决实际问题为考查背景，多出现在销售、行程、工程等问题中，确定题目中的等量关系，正确地列出方程是解题的关键.此外，准确的计算能力也是得分所必不可少的技能.
【考情分析2】中考对二元一次方程组的考查包括解方程组和利用二元一次方程组解决实际问题，其关键是“消元”思想，即将“二元”转化为“一元”，这也体现在用二元一次方程组可解决的问题用一元一次方程也可以解决，考查形式多样，难度不大，多以解决实际问题为出题背景.

02知识导图·思

03考点突破·考法探究
考点一 一元一次方程基础
一、一元一次方程的相关概念
一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程.
一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a、b是常数，且a≠0）.
方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.
解方程：求方程的解得过程叫做解方程.
【易错易混】
1）方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程；
2）方程的解是通过解方程求得的.
3）方程的解可能不止一个（如x=2和x=-2都是方程x2=4的解），也有可能无解（如x2=-4无解）.
二、等式的性质
等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.即：
如果a=b，那么a±c=a±c
等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：
如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b(c≠0)，那么 ac = bc
等式的性质3：如果a=b，则b=a （对称性）
等式的性质4：如果a=b，b=c，则a=c （传递性）
【易错易混】
1）利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算.
2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立.

1．（2023·湖南永州·中考真题）关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1，则m的值为（    ）
A．3 B．-3 C．7 D．-7
2．（2024·山东济南·模拟预测）若关于x的方程m-1x2+2x-1=0有根，则m的取值范围是 ．
3．（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（    ）

A．x=y B．x=2y C．x=4y D．x=5y
4．（2022·青海·中考真题）下列说法中，正确的是（    ）
A．若ac=bc，则a=b B．若a2=b2，则a=b
C．若ac=bc，则a=b D．若-13x=6，则x=2
5．（2022·山东滨州·中考真题）在物理学中，导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U，导体的电阻R之间有以下关系：I=UR去分母得IR=U，那么其变形的依据是（    ）
A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质2
考点二 解一元一次方程
基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为x=ba.
步骤
具体做法
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
移项
把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边
合并同类项
把方程变为ax=b（a≠0 )的形式
系数化为1
将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x=ba
【补充说明】解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号.

1．（2024·海南·中考真题）若代数式x-3的值为5，则x等于（    ）
A．8 B．-8 C．2 D．-2
2．（2024·河北·模拟预测）下面是嘉淇同学解一元一次方程5x6-1=3x-23的过程，请认真阅读并回答相应的问题．
解：去分母，得5x-6=23x-2，……第一步
去括号，得5x-6=6x-2，……第二步
移项，得5x-6x=-2-6，……第三步
合并同类项，得-x=-8，……第四步
解得x=8．
以上解题步骤中，开始出错的一步是（     ）
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
3．（2024·贵州贵阳·二模）已知关于x的方程2x-m=0的解是x=-3，则m的值为 ．
4．（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知y=1是方程py-1=-3-p的解，则代数式p3-p-1p的值为 ．
5．（2024·陕西西安·模拟预测）解方程：3x-1=2-2x
考点三 二元一次方程（组）基础
1.二元一次方程
二元一次方程概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
二元一次方程的三要素：1）有且只有两个未知数；2）含有未知数的项的次数为1；3)方程两边都是整式.
二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
2.二元一次方程组
二元一次方程组的概念：方程组有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程叫做二元一次方程组.
一般形式：，（其中不同时为0，不同时为0）.
二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
【易错易混】
1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解.
2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值.
3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数.
4.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．

1．（2023·浙江衢州·中考真题）下列各组数满足方程2x+3y=8的是（    ）
A．x=1y=2 B．x=2y=1 C．x=-1y=2 D．x=2y=4
2．（2020·湖南益阳·中考真题）同时满足二元一次方程x-y=9和4x+3y=1的x，y的值为（ ）
A．x=4y=-5 B．x=-4y=5 C．x=-2y=3 D．x=3y=-6
3．（2023·江苏无锡·中考真题）下列4组数中，不是二元一次方程2x+y=4的解是（    ）
A．x=1y=2 B．x=2y=0 C．x=0.5y=3 D．x=-2y=4
4．（2020·浙江绍兴·中考真题）若关于x，y的二元一次方程组x+y=2A=0的解为x=1y=1，则多项式A可以是 （写出一个即可）．
15．（2022·四川雅安·中考真题）已知{x=1y=2是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 ．
5．（2021·四川广安·中考真题）若x、y满足x-2y=-2x+2y=3，则代数式x2-4y2的值为 ．
考点四 解二元一次方程（组）
1.代入消元法
定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：
1）变形.从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来；
2）代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程；
3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
4）求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解.
【易错易混】
1）方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化为整数系数.
2）当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程(或)，求出另一个未知数的值比较简单
2.加减消元法
定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
1）变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数；
2）加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
4）求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．

1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点Px,y在直线y=-34x+4上，坐标x,y是二元一次方程5x-6y=33的解，则点P的位置在（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023·四川眉山·中考真题）已知关于x,y的二元一次方程组3x-y=4m+1x+y=2m-5的解满足x-y=4，则m的值为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2023·河北衡水·模拟预测）如图，“●、■、▲”分别表示三种不同的物体，已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡，如果在“？”处只放“■”，那么应放“■”（    ）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4．（2023·四川泸州·中考真题）关于x，y的二元一次方程组2x+3y=3+ax+2y=6的解满足x+y>22，写出a的一个整数值 ．
5．（2024·浙江·中考真题）解方程组：2x-y=54x+3y=-10
考点五 一次方程（组）及其应用
用一元一次方程（组）解决实际问题的一般步骤：
审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量；
设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量；
列：根据题中相等关系，列出方程（组）；
解：解所列出的方程（组）；
验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）；
答：写出答案，包括单位.

1．（2024·四川·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》记载了一道题，大意是：几个人合买一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元．设有x人，该物品价值y元，根据题意，可列出的方程组是（    ）
A．8x=y+37x=y-4 B．8x=y+37x=y+4
C．8x=y-37x=y-4 D．8x=y-37x=y+4
2．（2024·广东深圳·中考真题）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（    ）

A．7x+7=y9x-1=y B．7x+7=y9x+1=y
C．7x-7=y9x-1=y D．7x+7=y9x+1=y
3．（2024·海南·中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价．

4．（2024·陕西·中考真题）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4h；若爸爸单独完成，需2h．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了3h，求这次小峰打扫了多长时间．
5．（2024·江苏徐州·中考真题）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题．
04题型精研·考向洞悉
命题点一 一元一次方程（组）的相关概念
►题型01 等式的性质

等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.
即：如果a=b，那么a±c=a±c
等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等.
即： 如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b(c≠0)，那么 ac = bc
解题方法：灵活运用等式的性质.
1．（2024·山东潍坊·模拟预测）已知等式3a=2b+5，则下列等式中成立的是（      ）
A．3ac=2bc+5 B．3a-5=2b C．a=23b+15 D．3a+1=2b+6
2．（2021·黑龙江哈尔滨·模拟预测）下列等式成立的是（    ）
A．-x+yz=-x+yz B．-x+yz=--x-yz
C．-x-yz=-x+yz D．-x-yz=-x-yz
3．（2023·广东佛山·模拟预测）下面各式的变形正确（   ）
A．由2x3=4x-89-5，得6x=4x-8-5 B．由0.6x-1=0.3x+0.35，得6x-1=3x+35
C．由2x-7=3x+2，得2x-3x=2+7 D．由5x+33=-6（x+5），得5x+33=-6x+30
4．（2024·贵州贵阳·一模）用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（     ）

A．如果a+c=b+c，那么a=b B．如果a=b，那么a+c=b+c
C．如果2a=2b，那么a=b D．如果a=b，那么2a=2b
5．（2023·河北保定·一模）如左图的天平架是平衡的，其中同一种物体的质量都相等，如右图，现将不同质量的一“○”和一个“”从通道的顶端同时放下，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，此时两个托盘上物体的质量分别为y甲g和y乙g，则下列关系可能出现的是（    ）

A．y甲=y乙 B．y甲=2y乙 C．5y甲=6y乙 D．3y甲=5y乙
►题型02 一元一次方程的相关概念
1．（2024·四川攀枝花·模拟预测）下列各数中，是方程2x-1=3x+1的解的是（    ）
A．x=2 B．x=-2 C．x=1 D．x=1和-2
2．（2024·广西河池·三模）关于x的方程2x+a=4的解是x=1，则a的值为（   ）
A．-8 B．0 C．2 D．8
3．（2021·贵州·一模）已知关于x的方程k2-4x2+k-2x=k+6是一元一次方程，则方程的解为（    ）
A．-2 B．2 C．-6 D．-1
4．（2023·贵州贵阳·模拟预测）（1）当m=______时，关于x的方程m-1x2+2x-6=0是一元一次方程；
（2）解一元二次方程x2+2x-6=0．
►题型03 二元一次方程的相关概念
1．（2024·江苏无锡·一模）请写出一个解为x=2y=-3的二元一次方程组 ．
2．（2024·河南·模拟预测）已知关于x，y的二元一次方程ax+y=9的一个解是x=2y=3，则a的值为
3．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知二元一次方程x+3y=14，请写出该方程的一组整数解 ．
4．（2021·四川凉山·中考真题）已知x=1y=3是方程ax+y=2的解，则a的值为 ．
命题点二 解一元一次方程（组）
►题型01 一元一次方程的解法
步骤
具体做法
注意事项
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
1）不要漏乘不含分母的项；
2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母.
3）如果分子是多项式，去分母后要加括号.
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项;
2) 不要弄错符号.
移项
把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边
1）移项时不要丢项;
2）将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在方程同一边改变项的位置时不变号.
合并同类项
把方程变为ax=b（a≠0 )的形式
1）系数的符号处理要得当；
2）字母及其指数不变.
系数化为1
将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x=ba
1)未知数的系数为整数或小数时,方程两边同除以该系数;
2)未知数的系数为分数时,方程两边同乘该系数的倒数.
1．（2024·辽宁·模拟预测）在解方程x+1=4x+8时，经过移项后的式子为（    ）
A．3x=-7 B．x+18=4x C．x=-73 D．x=4x+7
2．（2024·广西·模拟预测）点A-m,2m+1在函数y=-x+1的图象上，则m= ．
3．（2024·浙江宁波·模拟预测）定义一种新运算：x*y=x+yy≥0x-yy<0，若m*-2=-2m，则m= ．
4．（2024·河北邯郸·三模）已知关于x的方程4x+2m=3x+1的解比方程3x+2m=6x+1的解大5，求这两个方程的解．
►题型02 代入法解二元一次方程组
1．（2022·辽宁沈阳·中考真题）二元一次方程组x+2y=5y=2x的解是 ．
2．（2024·甘肃武威·二模）已知x-12+2x-4y+6=0，则x-y2023= ．
3．（2024·四川绵阳·三模）如果方程组2x+3y=7y=2x-3的解也是方程3x+my-8=0的一个解，则m的值为 ．
►题型03 加减法解二元一次方程组
1．（2023·内蒙古通辽·中考真题）点Q的横坐标为一元一次方程3x+7=32-2x的解，纵坐标为a+b的值，其中a，b满足二元一次方程组2a-b=4-a+2b=-8，则点Q关于y轴对称点Q'的坐标为 ．
2．（2024·广西·中考真题）解方程组：x+2y=3x-2y=1
3．（2023·湖南常德·中考真题）解方程组：x-2y=1①3x+4y=23②
►题型04 整体法解二元一次方程组

解题思路：当二元一次方程组的结构比较复杂，但又有一定的规律时，可以考虑利用整体消元法，从而使原方程组变成结构比较简单、求解方便的二元一次方程组.例如：
1．（2023·浙江·模拟预测）已知关于x、y的二元一次方程组ax+by=5cx+dy=-1的解为x=1y=2，则关于x，y的方程组a(x-3)+b(y+1)=5c(x-3)+d(y+1)=-1的解为（    ）
A．x=4y=1 B．x=1y=2 C．x=-2y=1 D．x=-2y=-1
2．（2024·山西大同·模拟预测）阅读下列材料，并完成相应的任务．
换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，变量求出结果之后，返回去求原变量的结果，换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果，下面以一个例题来说明．
例1：计算：20163-2015×2016×2017．
解：设2016=x，则原式=x3-x-1⋅xx+1=x3-xx2-1=x=2016．
请你利用上述方法解答下列问题：
(1)计算：123456789×123456786-123456788×123456787；
(2)已知方程组2a-3b=133a+5b=30.9的解是a=8.3b=1.2，则方程组2x+2-3y-1=133x+2+5y-1=30.9的解是 ．
►题型05解二元一次方程组--同解方程组

解题方法：若方程组解相同，则联立两个不含参数的方程，解得x，y的值，再代入含参数的方程组，即可求出参数的取值.
1．（2020·广东·中考真题）已知关于x，y的方程组ax+23y=-103x+y=4与x-y=2x+by=15的解相同．
（1）求a，b的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为26，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
2．（2024·广东江门·一模）已知方程组5x-2y=3mx+5y=4与x-4y=-35x+ny=1有相同的解．
(1)求m和n值，
(2)已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2m-7x-3n=0的两个实数根，第三边BC的长为5，求△ABC的面积．
►题型06解二元一次方程组—已知二元一次方程组的解的情况求参数

解题方法：正常解方程组，用参数表示解，再将解代入到满足的条件中，从而求出参数值.
1．（2023·四川南充·中考真题）关于x，y的方程组3x+y=2m-1x-y=n的解满足x+y=1，则4m÷2n的值是（    ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．（2022·山东聊城·中考真题）关于x，y的方程组2x-y=2k-3x-2y=k的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（    ）
A．k≥8 B．k>8 C．k≤8 D．k<8
3．（2024·山东济宁·一模）已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组x-2y=2k2x-y=k-3的解满足2023<x-y<2025，则整数k值为（    ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
4．（2021·江苏扬州·中考真题）已知方程组2x+y=7x=y-1的解也是关于x、y的方程ax+y=4的一个解，求a的值．
►题型07中考最热考法之以注重过程性学习的形式考查一次方程(组)
1．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程7x3=4x-16+1时，第一步出现了错误：
解：2×7x=4x-1+1，
……
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
(2)写出你的解答过程．

2．（2023·山西大同·模拟预测）（1）计算：--12023+-23×12-4cos60°；
（2）下面是小辉和小莹两位同学解方程组x-3y=-1,2x+3y=7的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：令x-3y=-1①2x+3y=7②
小辉：由②得，3y=7-2x．③…………第一步
将③代入①得，x-7-2x=-1．……第二步
整理得，x-7-2x=-1．………………第三步
解得x=-6．…………………………第四步
将x=-6代入③，解得y=193．………第五步
∴原方程组的解为x=-6,y=193.……………第六步
小莹：①+②得，3x=6．………………第一步
解得x=2，…………………………第二步
将x=0代入①得，2-3y=-1．…………第三步
整理得，-3y=-1+2．………………第四步
解得y=-13…………………………第五步
∴原方程组的解为x=2,y=-13.…………第六步
任务一：请你从中选择一位同学的解题过程并解答下列问题．
①我选择___________同学的解题过程，该同学第一步变形的依据是___________；
②该同学从第___________开始出现错误，这一步错误的原因是___________；
任务二：直接写出该方程组的正确解；
任务三：除以上两位同学的方法，请你再写出一种方法（不用求解）．
3．（2024·浙江杭州·一模）某同学解方程0.10.2x-0.10.3x=1的过程如下框：
解：0.10.2x-0.10.3x=1
两边同时乘以10，得12x-13x=10……①
合并同类项，得16x=10……②
系数化1，得x=60……③
请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程．
4．（2024·江西吉安·二模）解方程组2x-3y=13x+6y=-16，下面是两同学的解答过程：
小春：
解：将方程x+6y=-16变形为x=-6y-16,⋯．
小冬：
解：将方程2x-3y=13两边同乘2，得到4x-6y=26，再与另一个方程相加，得到5x=10,⋯．
(1)小春解法的依据是______，运用的方法是______；小冬解法的依据是______，运用的方法是______．（填序号）
①等式的性质1；②等式的性质2；③加法的结合律；④代入消元法；⑤加减消元法．
(2)请选择你认为更简捷的解法，完成解答过程．
命题点三 一元一次方程（组）的应用
►题型01 列一元一次方程组
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（    ）
A．13x-4=14x-1 B．13x+4=14x-1
C．13x-4=14x+1 D．13x+4=14x+1
2．（2024·福建·中考真题）今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长4.7%，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为x亿元，则符合题意的方程是（    ）
A．1+4.7%x=120327 B．1-4.7%x=120327
C．x1+4.7%=120327 D．x1-4.7%=120327
3．（2024·湖北·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两．牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（    ）
A．5x+2y=102x+5y=8B．2x+5y=105x+2y=8C．5x+5y=102x+5y=8 D．5x+2y=102x+2y=8
4．（2024·山东威海·中考真题）《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长x尺，井深y尺，则符合题意的方程组是（    ）
A．3x-y=44x-y=1B．3x+4=y4x+1=yC．x3-y=4x4-y=1 D．x3+4=yx4+1=y
5．（2023·吉林·中考真题）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为 ．
6．（2022·贵州贵阳·中考真题）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程x+4y=23，则 表示的方程是 ．
►题型02 一元一次方程的应用
1．（2024·海南·中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价．

2．（2024·辽宁·中考真题）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为36m3、工作期间需同时排水，乙池的排水速度是8m3/h．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍．
(1)求甲池的排水速度．
(2)工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于24m3，那么最多可以排水几小时？
3．（2024·北京·中考真题）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km，A，B两类物质排放量之和不超过50mg/km.已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92mg/km.经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，A，B两类物质排放量之和为40mgkm，判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由.
4．（2024·河北·中考真题）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为-4，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12．

(1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求ABAC的值；
(2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值．
►题型03 二元一次方程组的应用
1．（2023·安徽·中考真题）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元，已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价．
2．（2023·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题：如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由10块形状大小相同的长方形墙砖砌成．

(1)求一块长方形墙砖的长和宽；
(2)求电视背景墙的面积．
3.（2021·湖南邵阳·中考真题）为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史·感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品购买了做为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．

请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．
4．（2021·湖北黄石·中考真题）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和兔？根据以上译文，回答以下问题：
（1）笼中鸡、兔各有多少只？
（2）若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过40只．鸡每只值80元，兔每只值60元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？
►题型04 中考最热考法之以跨学科背景考查一元一次方程的实际应用
1．（2024·辽宁·模拟预测）数学课外活动小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示，在轻质木杆O处用一根细线悬挂，左端A处挂一重物，右端B处挂钩码，每个钩码质量是500g．若OA=15cm，OB=30cm，挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．若轻质木杆的质量忽略不计，设这个重物的质量为xg，根据题意可列方程为（    ）

A．15x=30×500×3 B．30x=15×500×3
C．3×15x=30×500 D．3×30x=15×500
2．（2024·山西晋中·三模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．某野外作业人员，因工作需要，用橇棍撬动一块2000N的大石头，经过分析后，撬棍的阻力臂是动力臂的14则所需要的动力至少为 N．

3．（2024·江苏泰州·二模）【背景知识】杠杆原理：杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂．
【知识应用】杆秤是利用杠杆原理来称物体质量的简易衡器，传说木杆秤是鲁班发明的．由秤杆、秤锤、提纽、秤盘等组成．
如图1．已知秤锤质量为0.2kg，秤盘与拎着的提纽间力臂长2cm，当秤杆平衡时，秤锤与提纽间力臂长22cm，求秤盘中物体的质量．

【拓展应用】天平也是利用杠杆原理来称物体质量的衡器，天平是一种等臂杠杆，当天平平衡时，物体质量=砝码质量．
如图2所示的天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同．把一个物体放在该天平的一个托盘里，在另一个托盘里放砝码使天平平衡，称得物体质量为a；再作第二次测量，把物体换到天平的另一个托盘里，此时称得物体的质量为b．试用含a、b的代数式表示该物体的真实质量，并说明理由．

4．（2024·河北唐山·二模）某科学研究实验基地内装有一段长91m的笔直轨道AB，现将长度为1m的金属滑块在上面往返滑动一次．如图，滑块首先沿AB方向从左向右匀速滑动，滑动速度为9m/s，滑动开始前滑块左端与点A重合，当滑块右端到达点B时，滑块停顿2s，然后再以小于9m/s的速度匀速返回，直到滑块的左端与点A重合，滑动停止．设滑动时间为ts时，滑块左端离点A的距离为l1m，右端离点B的距离为l2m．

(1)当t=10s时，l1的值为 ；
(2)记d=l1-l2，d与t具有函数关系．已知整个滑动过程总用时27s（含停顿时间）．
①滑块返回的速度为 ms；
②滑块从点B到点A的滑动过程中，求d与t的函数解析式（不写t的取值范围）；
③若d=18m，直接写出t的值．
5．（2024·陕西西安·模拟预测）在进行氯化钠溶液配置实验中，小明配置了一瓶质量分数为20%的氯化钠溶液，小兰配置了一瓶质 量分数为25%的氯化钠溶液，两人用已配制好的溶液混合恰好得到质量分数为22%的氯化钠溶液，已知小明配置的溶液质量比小兰配置的溶液质量多7克，求两人配置的氯化钠溶液质量各有多少克？（提示：氯化钠质量=氯化钠溶液质量×质量分数）
►题型05中考最热考法之以真实问题情境为背景考查二元一次方程组