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第四章 三角形
第20讲 图形的相似与位似
1
👉题型01 利用比例的性质求解
👉题型02 黄金分割
👉题型03 由平行线分线段成比例判断式子正误
👉题型04 平行线分线段成比例
👉题型05 平行线分线段成比例—A型
👉题型06 由平行线分线段成比例—X型
👉题型07 平行线分线段成比例与三角形中位线综合
👉题型08 平行线分线段成比例常的辅助线—平行线
👉题型09 平行线分线段成比例常的辅助线—垂线
👉题型10 位似图形的识别
👉题型11 求两个位似图形的相似比
👉题型12 求位似图形的对应坐标
👉题型13 已知位似图形的相似比求线段长度
👉题型14 求位似图形的周长
👉题型15 求位似图形的面积
👉题型16 在坐标系中画位似中心
👉题型17 在坐标系中画位似图形
👉题型01 利用比例的性质求解
1．（2023·上海宝山·一模）已知线段a、b，如果a:b=2:3，那么下列各式中一定正确的是（ ）
A．2a=3b B．a+b=5 C．a+ba=52 D．a+3b+2=1
2．（2023·安徽亳州·模拟预测）如图，点P把线段AB分成两部分，且BP为AP与AB的比例中项．如果AB=2，那么AP= ．
3．（2022·江苏淮安·一模）在比例尺为1：40000的南京交通旅游图上，玄武湖隧道约长7cm，它的实际长度约为 km．
4．（2024·安徽芜湖·一模）已知四个数a，b，c，d成比例，且a=3，b=2，c=4，那么d的值为（ ）
A．2 B．3 C．43 D．83
5．（2024·福建南平·一模）如图，线段AB上的点C满足关系式：AC2=BC·AB，且AB=2，则AC 的长为（ ）
A．5−1或3−5 B．5−12 C．5−1 D．3−5
👉题型02 黄金分割
1．（2024·天津和平·一模）如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，设雕像下部BC高xm，则下列结论不正确的是（）
A．雕像的上部高度AC与下部高度BC的关系为：AC:BC=BC:2
B．依题意可以列方程x2−2x−4=0
C．依题意可以列方程x2=22−x
D．雕塑下部高度为5−1
2．（2024·宁夏吴忠·一模）如图，在正五边形AFGBE中，连接它们的对角线，其中点C是对角线AB与对角线EG的交点，已知点C为BD的黄金分割点，BE=2，则CD的长度为（ ）
A．3+5 B．3−5 C．−1+5 D．1+5
3．（2024广东模拟预测）如果一个等腰三角形的顶角为36°，那么可求其底边与腰之比等于5−12，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，△ABC看作第一个黄金三角形；作∠ABC的平分线BD，交AC于点D，△BCD看作第二个黄金三角形；作∠BCD的平分线CE，交BD于点E，△CDE看作第三个黄金三角形……以此类推，第2024个黄金三角形的腰长是（ ）
A．5−122023 B．5−122024 C．3+522023 D．3+522024
👉题型03 由平行线分线段成比例判断式子正误
1．（2020·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC边上，连接DE、EF，若DE∥BC,EF∥AB，则下列结论错误的是（ ）
A．AEEC=BFFC B．ADBF=ABBC C．EFAB=DEBC D．CECF=EABF
2．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图，直线a∥b∥c，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论正确的是（ ）
A．ACCE=BDBF B．ACAE=BFDF C．ACDF=BDCE D．ACBD=CEDF
4．（2024深圳市模拟）如图，在△ABC中，EG∥BD，FG∥AC，下列结论一定正确的是（ ）
A．ABAE=AGAD B．AEBE=CFDF C．DFCF=DGAD D．FGAC=EGBD
5．（2024·广东广州·二模）如图，在三角形ABC中，D 、F 是AB边上的点，E 是 AC边上的点，DE∥BC ，EF∥DC ，则下列式子中不正确的是（ ）
A．AFAD=AEAC B．ADAB=AEAC C．EFCD=AFFD D．AD2=AB⋅AF
👉题型04 平行线分线段成比例
1．（2023·江苏南京·三模）如图，已知直线AD∥BE∥CF，如果ABBC=23，DE=4，那么线段EF的长是 ．
2．（2024·辽宁·二模）如图，AD∥BE∥CF，若AB=4,BC=8,DE=3，则DF的长是（ ）
A．1.5 B．6 C．9 D．12
3．（2024宁波市模拟）如图，已知l1∥l2∥l3，它们依次交直线l4、l5于点A、B、C和点D、E、F，如果DE:DF=3:5，AC=12，那么BC的长等于（ ）
A．2 B．4 C．245 D．365
👉题型05 平行线分线段成比例—A型
1．（2024·广东广州·一模）如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A在数轴上表示的数是−2，则点B在数轴上表示的数是 ．
2．（2020·北京·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC=∠AOF；
（2）若sinC=13，BD=8，求EF的长．
3．（2024浙江部分城市模拟）如图，点D，E，F分别在△ABC的边上，ADBD=13， DE∥BC，EF∥AB，M是DF的中点，连结CM并延长交AB于点N，则MNCM的值是（ ）
A．15 B．29 C．16 D．17
4．（2023·安徽·中考真题）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G．若AF=2，FB=1，则MG=（ ）
A．23 B．352 C．5+1 D．10
5．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E．
(1)若∠EAC=25°，求∠ACD的度数．
(2)若OB=2,BD=1，求CE的长．
👉题型06 由平行线分线段成比例—X型
1．（2024·山西朔州·三模）如图，在▱ABCD中，点E为AB的中点，点F为AD上一点，EF与AC相交于点H．若FH=3，EH=6，AH=4，则CH的长为 ．
2．（2020·山东菏泽·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，点P在对角线BD上，且BP=BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为 ．
3．（2023·吉林长春·三模）【阅读理解】构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题．
例如：如图，D是△ABC边AB上一点，E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，则易证E是线段DF的中点．
【经验运用】
请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题．
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且满足AE=CF，连接EF交AC于点G．
求证：①G是EF的中点；
②CG与BE之间的数量关系是：____________________________；
【拓展延伸】
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=2BC，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且满足AE=2CF，连接EF交AC于点G．探究BE和CG之间的数量关系是：____________________________；
4．（2023邵阳市模拟）如图，在△ABC中，BC=4，D为AC延长线上一点，AC=3CD，∠CBD=∠A，过D作DH∥AB，交BC的延长线于点H．
(1)试说明：△HCD∽△HDB．
(2)求DH的长．
👉题型07 平行线分线段成比例与三角形中位线综合
1．（2024·江西吉安·二模）如图，“赵爽弦图”是一个由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正方形，若E是AF的中点，AD=5，连接BF并延长交CD于点M，则DM的长为（ ）
A．34 B．1 C．54 D．52
2（2024·四川内江·二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC、BD相交于点O，M为AO的中点，ME∥AB交BO于E，MF∥OD交AD于F，若∠MEF=∠MFE，则AD的值为（ ）
A．4 B．33 C．32 D．6
3．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点D是BC边上一点，且BD=3CD，连接AD，并取AD的中点E，连接BE并延长，交AC于点F，则EF的长为 ．
4．（2024罗湖区模拟）已知正方形ABCD的边长为a，延长BC到点E，使CE=BC，取CD的中点F，连接DE、BF，DE与BF的延长线相交于点G，则BG的长为（ ）
A．53a B．253a C．63a D．263a
👉题型08 平行线分线段成比例常用的辅助线—平行线
1．（2023南充高级中学二模）如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F．若AD=3AF，则AEAC= ．
2．（2024·天津和平·三模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为AB的中点，连接CE，S△BEC=12．
（Ⅰ）△ACE的面积为 ；
（Ⅱ）若点F为OD的中点，连接EF交OA于点G，OG=1，则线段CE的长为 ．
3．（2024·四川成都·一模）如图，已知△ABC为等腰三角形，且AB=AC，延长AB至D，使得AB：BD=m：n，连接CD，E是BC边上的中点，连接AE，并延长AE交CD与点F，连接FB，则BF：FD= ．
👉题型09 平行线分线段成比例常用的辅助线—垂线
1．（2024南山区模拟）如图，在四边形ACBD中，对角线AB、CD相交于点O，∠ACB=90°，BD=CD且sin∠DBC=35，若∠DAB=2∠ABC，则ADAB的值为 ．
2．（2023·广东深圳·一模）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐．如图，A，B，C为直线l与五线谱的横线相交的三个点，则ABBC的值是 ．
3．（2023·天津南开·一模）如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB=45°，延长FC、AE交于点M，连接BM，若C为FM中点，BM=10，则FG的长为 ．
4．（2024·江苏南通·一模）如图，直线AB交双曲线y=kx于A，B两点，交x轴于点C，且AB=3BC，连接OA．若S△OAC=152，则k的值为 ．
👉题型10 位似图形的识别
1．（2024·山西大同·一模）下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（ ）
A． B． C．D．
2．（2024·宁夏银川·一模）大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（ ）
A．平移变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．位似变换
3．（2023·河北廊坊·三模）在研究相似问题时，嘉嘉和淇淇两同学的观点如下：
嘉嘉：将边长为1的正方形按图1的方式向外扩张，得到新正方形，它们的对应边间距为1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似；
淇淇：将边长为1的正方形按图2的方式向外扩张，得到新正方形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对 C．嘉嘉对，淇淇不对 D．嘉嘉不对，淇淇对
4．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，在5×5网格图中，每个小正方形的边长均为1，三角形①、②均为格点三角形，则下列关于三角形①、②的说法正确的是（ ）
A．一定不相似，周长比为1:2 B．一定位似，位似比为1:2
C．一定相似，面积比为1:4 D．一定相似，相似比为1:4
👉题型11 求两个位似图形的相似比
1．（2024·重庆渝中·二模）如图，△ABC与△DEF关于点O位似，位似比为3:4，已知AC=3， 则DF的长等（ ）
A．3 B．163 C．283 D．4
2．（2024北京大学附属中学零模）2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形，点O是位似中心，点A'是线段OA的中点，那么以下结论正确的是（ ）
A．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为1:1
B．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为1:2
C．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比为3:1
D．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为4:1
3．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，△ABC与△DEF是位似三角形，点O为位似中心．OA=AD，则△ABC与△DEF的位似比为（ ）
A．1:1 B．2:3 C．1:2 D．1:3
4．（2024·四川成都·三模）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA:AD=1:2，则AC:DF= ．
👉题型12 求位似图形的对应坐标
1．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A1,2,B2,1,C3,2，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A'B'C'，则顶点C'的坐标是（ ）
A．2,4 B．4,2 C．6,4 D．5,4
2．（2020·浙江舟山·中考真题）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为13的位似图形△OCD，则点C坐标（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣43，﹣1） C．（﹣1，﹣43） D．（﹣2，﹣1）
3．（2023巴中区二模）在平面直角坐标系中，已知点A-4,2，B-6,-4，以原点O为位似中心，相似比为2，把△ABO放大，则点B的对应点B'的坐标（ ）
A．-3,-2 B．-3,-2或3,2 C．-12,-8 D．-12,-8或12,8
👉题型13 已知位似图形的相似比求线段长度
1．（2024宝丰区模拟）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，若A点坐标为1，2，C点坐标为2，4，AB=5，则线段CD长为（ ）
A．2 B．4 C．25 D．5
2．（2023·黑龙江绥化·一模）在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在第一象限内，按照位似比2:3，将△OAB放大得到△OCD，且A点坐标为2，3，B点坐标为3，3，则线段CD长为 ．
👉题型14 求位似图形的周长
1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，△ABC和△A1B1C1是以点P为位似中心的位似图形，若AP=12A1P，△ABC的周长为6，则△A1B1C1的周长是（ ）
A．8 B．12 C．18 D．24
2．（2024·重庆开州·模拟预测）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，若OD:OA=2:3，则△DEF与△ABC的周长之比为（ ）．
A．2:3 B．4:9 C．9:4 D．3:2
3．（2024·广东·模拟预测）《墨子·天志》记载：“轮匠执其规、矩，以度天下之方圆．”知圆度方，感悟数学之美．如图，以正方形ABCD的对角线交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若四边形A'B'C'D'的外接圆半径为4，A'B':AB=2:1，则正方形ABCD的周长为 ．
👉题型15 求位似图形的面积
1．（2023·四川资阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，且OF=3OC，则△ABC与△DEF的面积之比是 ．
2．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，OB=2BE．若△ABC的面积为4，则△DEF的面积是 ．
3．（2023·辽宁沈阳·二模）在平面直角坐标系中，点O，A，B的坐标分别为0,0，3,0，2,−3，△A'B'O与△ABO关于点O位似，A'与A，B'与B是对应顶点，且△A'B'O的面积等于△ABO面积的916，则点B'的坐标为 ．
4．（2023·重庆九龙坡·二模）如图，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为O．△ABC与△A'B'C'的面积之比为9:1，若OA'=2，则OA的长度为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．20
5．（2024·四川成都·二模）如图，△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若OB':B'B=3:2，则△A'B'C'的面积与△ABC的面积之比为（ ）
A．3:5 B．4:9 C．4:25 D．9:25
👉题型16 在坐标系中画位似中心
1．（2022·河北邯郸·三模）如图，△ABC与△DEF是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（ ）
A．（8，2） B．（9，1） C．（9，0） D．（10，0）
2．（2023·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于点P成位似图形，则该位似中心点P的坐标是 ．
3．（2021·安徽芜湖·一模）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O0,0，A2,1，B1,−2．
(1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的位似比为2:1；
(2)画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2；
(3)判断△OA1B1和△O2A2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标．
👉题型17 在坐标系中画位似图形
1．（2023·广东深圳·一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A(4,8),B(4,4),C(10,4)，△A1B1C1与△ABC关于原点O位似，A,B,C的对应点分别为A1,B1,C1，其中B1的坐标是(2,2)．
(1)△A1B1C1和△ABC的相似比是 ；
(2)请画出△A1B1C1；
(3)BC边上有一点M(a,b)，在B1C1边上与点M对应点的坐标是 ；
(4)△A1B1C1的面积是 ．
2．（2022·广东广州·二模）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A0,3、B3,4、C2,2（正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度）．
(1)△ABC的面积是____________；
(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A1BC1，使△A1BC1与△ABC位似，且位似比为2：1，此时点C1的坐标是___________．
3．（2020·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A−2,−2，B−5,−4，C−1,−5．
(1)请在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
(2)以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在平面直角坐标系中画出△A2B2C2．
(3)①点B1的坐标为 ．②求△A2B2C2的面积．
1．（2024·广西·中考真题）如图，边长为5的正方形ABCD，E，F，G，H分别为各边中点，连接AG，BH，CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为（ ）
A．1 B．2 C．5 D．10
2．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，反比例函数y=kxk≠0的图象经过点A、B及AC的中点M，BC∥x轴，AB与y轴交于点N．则ANAB的值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．25
3．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5．正方形DEFG的边长为5，它的顶点D，E，G分别在△ABC的边上，则BG的长为 ．
4．（2024·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在PO的延长线上，使得POQO=12，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，例如：如图1，A(2,4),B(2,2),P−1,−32是线段AB外一点，Q2,3在PO的延长线上，且POQO=12，因为点Q在线段AB上，所以点P是线段AB的“延长2分点”．
(1)如图1，已知图形W1：线段AB，A2,4，B2,2，在P1−52,−1,P2−1,−1,P3−1,−2中，______是图形W1的“延长2分点”；
(2)如图2，已知图形W2：线段BC，B2,2，C5,2，若直线MN:y=−x+b上存在点P是图形W2的“延长2分点”，求b的最小值：
(3)如图3，已知图形W3：以Tt,1为圆心，半径为1的⊙T，若以D−1,−2，E−1,1，F2,1为顶点的等腰直角三角形DEF上存在点P，使得点P是图形W3的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围．
1．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在△ABC中，O是边AB的中点．按下列要求作图：
①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E；
②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F；
③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；
④作直线OG，交AC于点M．下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠AOM=∠B B．∠OMC+∠C=180∘
C．AM=CM D．OM=12AB
2．（2024·山东·中考真题）如图，点E为▱ABCD的对角线AC上一点，AC=5，CE=1，连接DE并延长至点F，使得EF=DE，连接BF，则BF为（ ）
A．52 B．3 C．72 D．4
3．（2023·江苏·中考真题）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
画法
图形
1．以A为端点画一条射线；
2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE；
3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．
这一画图过程体现的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等B．两条平行线之间的距离处处相等
C．垂直于同一条直线的两条直线平行D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
4．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD．下列说法错误的是（ ）
A．直线PQ是AC的垂直平分线 B．CD=12AB
C．DE=12BC D．S△ADE:S四边形DBCE=1:4
5．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F，AEBE=25，BF=8，则DE的长为（ ）
A．165 B．167 C．2 D．3
6．（2023·四川遂宁·中考真题）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC、△DEF成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）
A．(−1,0) B．(0,0) C．(0,1) D．(1,0)
7．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且BCAB=5−12，若NP=2cm，则BC的长为 cm（结果保留根号）．
8．（2024·四川成都·中考真题）盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是38，则xy的值为 ．
9．（2023·浙江温州·中考真题）图1是4×4方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为2，现将它剪拼成一个“房子”造型(如图2)，过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域(点A，E，D，B在圆上，点C，F在AB上)，形成一幅装饰画，则圆的半径为 ．若点A，N，M在同一直线上，AB∥PN，DE=6EF，则题字区域的面积为 ．
10．（2023·湖南益阳·中考真题）如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=4，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接DE，分别以D，E为圆心，以大于12DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF，交DE于点M，过点M作MN∥AB交BC于点N．则MN的长为 ．
11．（2023·湖南岳阳·中考真题）如图，在⊙O中，AB为直径，BD为弦，点C为BD的中点，以点C为切点的切线与AB的延长线交于点E．
（1）若∠A=30°,AB=6，则BD的长是 （结果保留π）；
（2）若CFAF=13，则CEAE= ．
12．（2023·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O0，0，A1，0，B2，3，C−1，2，若四边形OA'B'C'与四边形OABC关于原点O位似，且四边形OA'B'C'的面积是四边形OABC面积的4倍，则第一象限内点B'的坐标为 ．
13．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB'C'的相似比为1∶2，点A是位似中心，已知点A(2,0)，点C(a,b)，∠C=90°．则点C'的坐标为 ．（结果用含a，b的式子表示）
14．（2024·上海·中考真题）在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在边AB上，且AE=13AB．
(1)如图1所示，点F在边CD上，且DF=13CD，联结EF，求证：EF∥BC；
(2)已知AD=AE=1；
①如图2所示，联结DE，如果△ADE外接圆的心恰好落在∠B的平分线上，求△ADE的外接圆的半径长；
②如图3所示，如果点M在边BC上，联结EM、DM、EC，DM与EC交于N，如果BC=4，且CD2=DM⋅DN，∠DMC=∠CEM，求边CD的长．
15（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=10，∠BAD=60°，P为边AB上的动点．连接PC，将PC绕点P逆时针旋转60°得到PE，过点E作EF∥AB，EF交直线AD于点F．连接PF、DE，分别取PF、DE的中点M、N，连接MN，交AD于点Q．
(1)若点P与点B重合，则线段MN的长度为______．
(2)随着点P的运动，MN与AQ的长度是否发生变化？若不变，求出MN与AQ的长度；若改变，请说明理由．
16．（2023·江苏徐州·中考真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉璧，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．
(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 ；
(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？
②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．
17．（2023·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x+5与y轴交于点A，与反比例函数y=kx的图象的一个交点为B(a,4)，过点B作AB的垂线l．
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
(3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
第四章 三角形
第20讲 图形的相似与位似
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👉题型01 利用比例的性质求解
👉题型02 黄金分割
👉题型03 由平行线分线段成比例判断式子正误
👉题型04 平行线分线段成比例
👉题型05 平行线分线段成比例—A型
👉题型06 由平行线分线段成比例—X型
👉题型07 平行线分线段成比例与三角形中位线综合
👉题型08 平行线分线段成比例常的辅助线—平行线
👉题型09 平行线分线段成比例常的辅助线—垂线
👉题型10 位似图形的识别
👉题型11 求两个位似图形的相似比
👉题型12 求位似图形的对应坐标
👉题型13 已知位似图形的相似比求线段长度
👉题型14 求位似图形的周长
👉题型15 求位似图形的面积
👉题型16 在坐标系中画位似中心
👉题型17 在坐标系中画位似图形
👉题型01 利用比例的性质求解
1．（2023·上海宝山·一模）已知线段a、b，如果a:b=2:3，那么下列各式中一定正确的是（ ）
A．2a=3b B．a+b=5 C．a+ba=52 D．a+3b+2=1
【答案】C
【分析】根据比例的性质进行判断即可．
【详解】解：A、由a:b=2:3，得3a=2b，故本选项错误，不符合题意；
B、当a=4，b=6时，a:b=2:3，但是a+b=10，故本选项错误，不符合题意；
C、由a:b=2:3，得a+ba=52，故本选项正确，符合题意；
D、当a=4，b=6时，a:b=2:3，但是a+3b+2=78，故本选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质及式子的变形，用到的知识点：在比例里，两外项的积等于两内项的积，比较简单．
2．（2023·安徽亳州·模拟预测）如图，点P把线段AB分成两部分，且BP为AP与AB的比例中项．如果AB=2，那么AP= ．
【答案】3−5/−5+3
【分析】根据黄金分割的定义结合已知条件得BP=5−12AB，即可得出结论．
【详解】解：∵点P把线段AB分成两部分，且BP为AP与AB的比例中项，
∴BP2=AB•AP，
∴根据黄金分割的定义可得出：BP=5−12AB=5−12×2=5−1，
∴AP=AB−BP=2−5−1=3−5，
故答案为：3−5．
【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．
3．（2022·江苏淮安·一模）在比例尺为1：40000的南京交通旅游图上，玄武湖隧道约长7cm，它的实际长度约为 km．
【答案】2.8
【分析】根据旅游图上的距离与实际距离的比就是比例尺，列出比例式求解即可．
【详解】解：设它的实际长度是xcm，根据题意得：
7：x=1：40000，
解得：x=280000，
280000cm=2.8km．
故它的实际长度约为2.8km．
故答案为：2.8．
【点睛】本题主要考查了比例尺的定义，实际就是比例的问题，解题的关键是由题意列出比例式求解．
4．（2024·安徽芜湖·一模）已知四个数a，b，c，d成比例，且a=3，b=2，c=4，那么d的值为（ ）
A．2 B．3 C．43 D．83
【答案】D
【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，利用成比例线段的定义得到a:b=c:d，然后根据比例的性质求d的值．
【详解】解：根据题意得a:b=c:d，
即3：2=4：d，
解得d=83．
故选：D．
5．（2024·福建南平·一模）如图，线段AB上的点C满足关系式：AC2=BC·AB，且AB=2，则AC 的长为（ ）
A．5−1或3−5 B．5−12 C．5−1 D．3−5
【答案】C
【分析】本题主要考查黄金分割，设AC=x，则BC=AB−AC=2−x，x2=22−x，整理得x2+2x−4=0，然后解方程即可．
【详解】解：设AC=x，则BC=AB−AC=2−x，
∵AC2=BC·AB，
∴x2=22−x，
整理得 ，x2+2x−4=0，
解得，x=5−1或x=−5−1（不符合题意，舍去）
∴AC=5−1，
故选：C．
👉题型02 黄金分割
1．（2024·天津和平·一模）如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，设雕像下部BC高xm，则下列结论不正确的是（）
A．雕像的上部高度AC与下部高度BC的关系为：AC:BC=BC:2
B．依题意可以列方程x2−2x−4=0
C．依题意可以列方程x2=22−x
D．雕塑下部高度为5−1
【答案】B
【分析】本题考查了黄金分割，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：由题意得：AC:BC=BC:AB，
∵AB=2，
∴AC:BC=BC:2，
∵BC=x m，
∴AC=AB−BC=(2−x)m，
∴(2−x):x=x:2，
∴x2=2(2−x)，
整理得：x2+2x−4=0，
解得：x=5−1或x=−5−1（舍去），
∴BC=(5−1)m，
∴雕塑下部高度为(5−1)m，
故A、C、D都正确，B不正确，
故选：B
2．（2024·宁夏吴忠·一模）如图，在正五边形AFGBE中，连接它们的对角线，其中点C是对角线AB与对角线EG的交点，已知点C为BD的黄金分割点，BE=2，则CD的长度为（ ）
A．3+5 B．3−5 C．−1+5 D．1+5
【答
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