中考数学——直角三角形(练习)(含答案).docx

第四章 三角形
第19讲 直角三角形

1

👉题型01 由直角三角形的性质求解
👉题型02 根据已知条件判定直角三角形
👉题型03 利用勾股定理求解
👉题型04 判断勾股数问题
👉题型05 以直角三角形三边为边长的图形面积
👉题型06 勾股定理与网格问题
👉题型07 勾股定理与折叠问题
👉题型08 勾股定理与无理数问题
👉题型09 利用勾股定理证明线段的平方关系
👉题型10 勾股定理的证明方法
👉题型11 赵爽弦图
👉题型12 利用勾股定理构造图形解决实际问题
👉题型13 在网格中判断直角三角形
👉题型14 利用勾股定理逆定理求解
👉题型15 利用勾股定理解决实际问题
👉题型16 利用勾股定理逆定理解决实际问题
👉题型17 最短距离问题

👉题型01 由直角三角形的性质求解
1．（2023·山东济南·三模）将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则∠BOC的度数是 ．

2．（2024·山西·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧分别相交于点E，F，连接EF交边BC于点D，连接AD．若BD=8，则△ACD的周长为 ．

3．（2024·河北·模拟预测）如图，在Rt△ABC，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点E，交AD于点F，下列说法不一定正确的是（   ）

A．∠ABE=∠CBE B．2∠ABE=∠CAD
C．BF=2DF D．AF=AE
4．（2024·贵州贵阳·二模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，若OB=4，S菱形ABCD=16，则OE的长为（　　）

A．25 B．4 C．2 D．5
👉题型02 根据已知条件判定直角三角形
5．（23-24七年级下·陕西西安·期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件：
①∠A=∠C−∠B；
②a+ba−b=c2；
③a=32，b=42，c=52；
④∠A:∠B:∠C=3:4:5，其中可以判定△ABC是直角三角形的有 个．
6．（2024·陕西·模拟预测）如图，在△ABC中，O为边BC上一点，⊙O过点C，且与AB相切于点D，连接CD，OD，AD=AC．

(1)求证：△ABC为直角三角形．
(2)延长DO与⊙O交于点E，连接CE，若AD=DE=6，求CE的长．
7．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，在等边△ABC中，AB=10，P为BC上一点（不与点B，C重合），过点P作PM⊥BC于点P，交线段AB于点M，将PM绕点P顺时针旋转60°，交线段AC于点N，连接MN，有三位同学提出以下结论：
嘉嘉：△PNC为直角三角形．
淇淇：当AM=2时，AN=7．
珍珍：在点P移动的过程中，MN不存在平行于BC的情况．
下列说法正确的是（    ）
A．只有嘉嘉正确 B．嘉嘉和淇淇正确
C．淇淇和珍珍正确 D．三人都正确
👉题型03 利用勾股定理求解
8．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点C在x轴的负半轴上，AC=3，BO=4，函数y=kx(x<0)的图象经过顶点B，则k的值为 ．

9．（2024·河南鹤壁·模拟预测）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与弦AB相交于点C，OB⊥OP，若OB=3，OC=1，则PA的长为 ．

10．（2024·贵州·模拟预测）下面是多媒体上的一道试题：
如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF=CE，连接BD，DF．求证：四边形BFDE是矩形．

下面是两位同学的对话：

(1)请你选择一位同学的说法，并证明；
(2)若BE=23，DE=2，求菱形ABCD的周长．
11．（2024·四川眉山·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A1,0，B1−a,0，C1+a,0 a>0，点P在以D4,4为圆心，1为半径的圆周上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最小值是（    ）．

A．3 B．4 C．6 D．23
👉题型04 判断勾股数问题
12．（2024·四川德阳·二模）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其股是 （结果用含m的式子表示）．
13．（2024·山东淄博·二模）观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；…根据上面的规律，写出第8组勾股数： ．
14．（2024·河北沧州·一模）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个正整数为勾股数．
(1)若a，b为一个直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，a，b，c为勾股数，且a=n+7，c=n+8，n为正整数，求b的值（用含n的式子表示），并直接写出符合题意的最小的b值．
(2)当n是大于1的整数时，判断2n， n2−1，n2+1是否是勾股数，并说明理由．
15．（2024·四川成都·模拟预测）一个直角三角形的边长都是整数，则称这种直角三角形为“完美勾股三角形”，k为其面积和周长的比值．当k=2时，满足条件的“完美勾股三角形”的周长为 ；当0<k≤1时，若存在“完美勾股三角形”，则k= ．
👉题型05 以直角三角形三边为边长的图形面积
16．（2024·河北唐山·三模）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为5、13、30，则正方形C的面积为（    ）

A． 12 B．18 C．10 D．20
17．（2024·甘肃天水·二模）我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论．勾股定理与图形的面积存在密切的关系，如图，这是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，若△PEF的面积为6，则阴影部分的周长为 ．

18．（2021·浙江金华·中考真题）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E,F,G,H,M,N都在同一个圆上．记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，则S1S2的值是（    ）

A．5π2 B．3π C．5π D．11π2
19．（2023·河北石家庄·模拟预测）如图所示，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，分别以三条边BC，AC，AB为一边，在△ABC的外部作正五边形，三个五边形的面积分别记作S1，S2，S3，则下列结论不正确的是（    ）

A．S1+S2=S3 B．S1S2=13 C．S1S3=14 D．S3=32S2
20．（2022·浙江宁波·模拟预测）如图①，分别以RtΔPMN的各边为一边向外作三个三角形，使∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，再按图②的方式将两个较小的三角形放在最大的三角形内，使AB=MN，AD=PM，BF=PN，∠GFB=∠A=∠2．若要求出ΔCEH的面积，则需要知道下列哪个图形的面积（   ）

A．四边形CAFG B．四边形EDBC C．ΔGFB D．ΔHFD
👉题型06 勾股定理与网格问题
21．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形格点的位置上，连接AB，CD相交于点P，根据图中提示所添加的辅助线，可以求得tan∠BPC的值是（   ）

A．12 B．55 C．2 D．5
22．（2024·云南昆明·模拟预测）如图是由边长为1的小正方形构成的8×6的网格，其中点O，A，B均在格点上，将扇形AOB围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 ．

23．（2024·广东清远·模拟预测）如图，象棋盘中各个小正方形的边长为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照马走日的规则，走两步后的落点与出发点间的最远距离为 ．

24．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，△ABC的顶点坐标分别为A4,4，B4,1，C2,1．将△ABC关于原点O中心对称得到△A1B1C1．

(1)画出△A1B1C1；
(2)点B1的坐标为______，点C、C1之间的距离是______．
👉题型07 勾股定理与折叠问题
25．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，E是AB中点，F是BC上一点，沿着EF折叠△B'EF，若AB'=2，则CF= ．

26．（2024·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是−5,0，点B的坐标是0,12，点M是OB上一点，将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B'处，则点M的坐标为（   ）

A．0,5 B．0,103 C．0,23 D．0,132
27．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，将△ABC沿EF折叠，使点B落在AC边上的点D处，若ADCD=12，则DEDF的值为 ．

28．（2024·浙江·模拟预测）综合与实践
【问题情境】
在一次数学探究课上，老师带领大家一起研究特殊三角形的性质.
圆圆小组对直角三角形进行了各种类型的折叠探究，并尝试用数学方法说明发现的结论.
类型 1．如图1，沿着DE折叠，使点B与点A重合，折痕交AB于点E，交BC于点D，他们发现：点D的位置与AC 和BC的长有关．
问题1.若BC=3，AC=1，则BD=________．

【变式探究】
类型2．如图2，点D为CB上一点，沿着AD折叠，AC恰好落在AB上，点C的对称点为C'，折痕交BC于点 D．
问题 2．①若 ABAC=53，则 BDCD= ．
②请猜测 ABAC与 BDCD有何关系，并证明．

【拓展思考】
方方小组对等腰三角形进行了各种折叠探究.如图3，在等腰三角形ABC中，BC为底边，∠A为钝角，点D为边AC上一点，将△ABD沿直线BD翻折得到△A'BD．
问题3．若AD=CD=4，A'C=6，求BD的长．

👉题型08 勾股定理与无理数问题
29．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在数轴上点A表示原点，点B表示的数为2，AB⊥BC，垂足为B，且BC=3，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴正半轴于点D，则点D表示的数为 ．

30．（2024·甘肃天水·一模）如图，在数轴上，OB=1，过O作直线l⊥OB于点O，在直线l上截取OA=2，且A在OC上方．连接AB，以点B为圆心，AB为半径作弧交直线OB于点C，则C点对应的数为 ．

31．（2020·山西·三模）嘉淇学习了“数轴上的点与实数是一一对应的关系”后，便尝试在数轴上找一个表示无理数的点．如图，数轴的原点为O，Rt△AOB中，∠OAB=90°，边AO在数轴上，AB=3，以点O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴负半轴于点C，则点C所表示的数介于（　　）

A．−1和−2之间 B．−2和−3之间
C．−3和−4之间 D．−4和−5之间
32．（2023·广东深圳·二模）数形结合是解决代数类问题的重要思想，在比较2+1与5的大小时，可以通过如图所示几何图形解决问题：若要比较2+3与17的大小，以下数形结合正确的是（    ）
  A．  B．  
C．  D．  
👉题型09 利用勾股定理证明线段的平方关系
33．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，四边形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，则下列结论错误的是（    ）

A．AC平分∠BCD B．BC+CD=2AC
C．OA2+OC2=OB2+OD2 D．AC2−AB2=BC⋅CD
34．（2024·河北·模拟预测）如图1，正方形A'B'C'D与斜边为BC的Rt△ABC按如图所示的方式放在同一平面内，使点A'与A重合，点D在BC上，BC∥A'C'，其中AC=AC'=6，正方形A'B'C'D固定不动．

(1)求A'D的长和∠C的度数．
(2)将△BAC绕点A按顺时针方向旋转，当AC与A'C'重合后，立刻沿射线A'C'方向平移，点D在BC边上时停止．
①求边AB旋转结束时扫过的面积；
②求平移结束时，正方形A'B'C'D与Rt△ABC重叠部分的面积S．
(3)如图2，若将（2）中的旋转和平移同时进行，设边AB与边A'D的交点为M，边AC与边C'D的交点为N，AM=a，AC'=kAA'，直接写出在运动过程中DM2+DN2的值．（用含a，k的式子表示）
35．（2024·江苏盐城·三模）【阅读发现】
小明在阅读数学课外读物时，读到了海伦――秦九韶公式．他了解到海伦公式和秦九韶公式分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式有什么关系呢？于是小明进行了下列思考：
两个公式：
海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设p=12a+b+c，那么这个三角形的面积S=pp−ap−bp−c；
秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积S=14a2b2−a2+b2−c222；

【尝试应用】
（1）已知一个三角形的三边长分别4，5，6．请任选一个公式算出这个三角形的面积为______；请用学过的知识来解这个三角形的面积．
（2）已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，试求出这个三角形面积的一般表达形式．（用a，b，c表示）
【发现关联】
思考关联：请你由秦九韶公式S=14a2b2−a2+b2−c222推导到海伦公式：S=pp−ap−bp−c，p=12a+b+c．
👉题型10 勾股定理的证明方法
36．（2022·河北邯郸·三模）在证明勾股定理时，甲、乙两位同学分别设计了如下方案：
甲
乙
如图，用四个全等的直角三角形拼成，其中四边形ABDE和四边形CF均是正方形，通过用两种方法表示正方形ABDE的面积来进行证明．

如图是两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，顶点F在BC边上，顶点C，D重合，通过用两种方法表示四边形ACBE的面积来进行证明．

对于甲、乙分别设计的两种方案，下列判断正确的是（    ）
A．甲、乙均对 B．甲对、乙不对 C．甲不对，乙对 D．甲、乙均不对
37．（2023·辽宁阜新·二模）动手实践、归纳和猜想是我们发现数学结论的重要一环，你也来试试吧！

(1)如图，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，得到我们学习过的一个重要公式，
请你写出来：面积等式为____________，结论为____________；
(2)n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以m+n个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当n=3,m=3时，如图，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y=7．
①当n=4,m=2时，如图，y=______；
当n=5,m=______时，y=9；
②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y=______（用含m、n的代数式表示）．
38．（2022·江苏盐城·三模）2000多年来，人们对勾股定理的证明频感兴趣，不但因为这个定理重要、基本还因为这个定理贴近人们的生活实际所以很多人都探讨、研究它的证明，新的证法不断出现，如图2是将图1中的直角三角形通过旋转、平移得到的正方形ABCD．

(1)请你利用图2证明勾股定理；
(2)如图3，以MN为直径画圆O，延长CF交DM于点E，判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(3)若b=3a，则图3中阴影部分的面积为____________（用含a的式子表示）
39．（2022·广东佛山·三模）几千年来，在勾股定理的多种证明方法中，等面积法是典型的一种证法，清代数学家李锐运用这一方法借助三个正方形也证明了勾股定理．如图，四边形ABCD，四边形DEFG，四边形CGHI均为正方形，EF交BG于点L，DG交IH于点K，点B，L，C，G在同条直线上，若S△ADE=16，S△GHK=9，记四边形DELC的面积为S1，四边形CGKI的面积为S2，则S1S2的值为（   ）

A．209 B．34 C．7745 D．169
40．（2024·陕西西安·模拟预测）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，点H是DE的中点，阴影部分的面积为27，则AD的长为 ．

41．（2024·广东清远·模拟预测）三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用 4 个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图 ”．Rt△ABC中，∠ACB=90°， AC=b ，BC=a，AB=c ，大正方形的面积=小正方形的面积+4 个直角三角形的面积，化简证得勾股定理：a2+b2=c2．

(1)若b=2a ，则S小正方形:S大正方形= ；
(2)如果大正方形的面积是 13，a=2 ，求小正方形的面积．
👉题型11 赵爽弦图
42．（2024·河北·模拟预测）如图1，嘉嘉用四个全等的直角三角形拼接了一个“赵爽弦图”，其中大正方形ABCD的面积为25，小正方形EFGH的面积为1．

（1）如图2，连接DG，CF，BE，AH得到一个风车图案（阴影部分），则风车图案的周长为 ．
（2）如图3，连接AC，交BG于点P，交DE于点M，则S△AFP−S△CGP= ．
43．（2024·山东济南·二模）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个大小相同的“赵爽弦图”（如图1）中的两个小正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成边长为10的正方形ABCD，则空白部分面积为

44．（2024·浙江杭州·一模）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．

（1）连接BF，若F恰为AG中点，则∠BFG的度数为 °；
（2）连接CF，若△ABF与△FEC的面积相等，DF=2，则AF的长为 ．
👉题型12 利用勾股定理构造图形解决实际问题
45．（2023·四川泸州·一模）我国古代伟大的数学家刘徽将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成．若a=6，b=8，则该矩形的面积为（　　　　）

A．96 B．1532 C．1994 D．90
46．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图是一所大型游乐场，工人在对游乐设施进行测试．大摆锤从高为9m的房屋A处，划过90°到达与房屋A水平距离为17m，高为2m的房屋B处，求大摆锤的长度ON= m．

47．（2024·贵州·模拟预测）意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，图2是将图1沿直线FD剪开，将右半部分上下翻转得到的图形，其中四边形AFEG，四边形CDBG与四边形A'E'B'C'均为正方形，若图1中空白部分面积为37，线段AB的长为7，则图2中两个直角三角形的面积和为（    ）

A．6 B．12 C．15 D．25
48．（2022·江西九江·二模）俊俊和霞霞共同合作将一张长为2，宽为1的矩形纸片进行裁剪（共裁剪三次），裁剪出来的图形刚好是4个等腰三角形（无纸张剩余）．霞霞说：“有一个等腰三角形的腰长是1”；俊俊说：“有一个等腰三角形的腰长是2−1”；那么另外两个等腰三角形的腰长可能是 ．
👉题型13 在网格中判断直角三角形
49．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，网格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB，CD的端点均在小正方形的顶点上：

(1)在图中画出以AB为斜边的等腰直角△ABE，点E在小正方形的顶点上；
(2)在图中画出以CD为腰的等腰△CDF，其△CDF的面积为4，点F在正方形的顶点上；
(3)连接EF，请直写出线段EF的长．
50．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，△ABC的顶点均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，只用无刻度的直尺，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法．

(1)图①中，△ABC的形状是 ．
(2)图②中，在AB边上取一点D，连接CD，使CD=12AB．
(3)图③中，在AB边上取一点E，连接CE，使CE为∠ACB的平分线．
51．（2024·江苏无锡·一模）如图，在网格图中（每个小正方形的边长为1），点A、B、C、D均为格点，给出下列三个命题：

①点A到点B的最短距离为10；
②点A到直线CD的距离为455；
③直线AB、CD所交的锐角为45°；
其中，所有正确命题的序号为 ．（填序号）
52．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在7×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD是BC边上的中线，则AD的长为（   ）

A．22 B．352 C．292 D．262
👉题型14 利用勾股定理逆定理求解
53．（2024·湖南·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC交BC于点D，CE∥AD，交BA的延长线于点E．

(1)试判断线段CE与线段AD之间的数量关系，并说明理由．
(2)若AD=2，AE=22，请证明△AEC是等腰直角三角形．
54．（2024·广东广州·一模）如图，点E为菱形ABCD的边AD上一点，且AE=3，DE=2，点F为对角线AC上一动点，若△DEF的周长最小值为6，则sin∠BCD= ．

55．（2023·贵州铜仁·三模）如图，平行四边形ABCD中以点B为圆心，适当长为半径作弧，交BA，BC于F，G，分别以点F，G为圆心大于12FG长为半作弧，两弧交于点H，作BH交AD于点E，连接CE，若AB=10，DE=6，CE=8，则BE的长为（　　）

A．241 B．402 C．45 D．85
56．（2023·山东济宁·一模）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A=90°，AB=9，BC=7，CD=6，AD=2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长可能是①252②454③10④354其中正确的序号是 ．

👉题型15 利用勾股定理解决实际问题
57．（2024·河南周口·模拟预测）如图，A，B两地之间被一座大山挡在中间，导致一直没有直通的公路，需要绕行C地，严重阻碍了A，B两地间的区域经济发展．为促进区域经济发展，A，B两地准备通过开挖隧道的方式修建一条直通AB两地的公路．已知AC=60km，BC=90km，∠C=60°，求AB的长．（结果保留根号）

58．（2024·福建三明·三模）综合实践：阅读下列材料，解答问题．
任务：如图1，现要测量某校旗杆的高度（系在旗杆顶端的绳子垂到地面，并多出一小段）．

工具：一把皮尺（测量长度达不到旗杆长一半）．
李明学习小组测量过程和部分求解过程如下（如图2）：

测量过程：
步骤1：测得多出一小段绳子的长度为am；
步骤2：将绳子拉直，绳子末端与地面接触点为A，测得A点到旗杆底部C点距离AC=bm．
部分求解过程：
设旗杆高度BC=ℎ，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴BC2+AC2=AB2．
∵AC=b，AB=ℎ+a，
∴ℎ2+b2=ℎ+a2
(1)根据李明学习小组求解过程，请直接写出旗杆高度ℎ=　　（用含a，b的代数式表示）；
(2)李明学习小组求解过程，所用到的几何知识是　　；
(3)请你利用所提供的工具，通过2次测量，设计另外一种方案，写出你的测量和求解过程．（测量得到的长度用字母m，n表示）
59．（2024·安徽·一模）甲、乙两船同时从A码头开出，45分钟后，甲船到达B码头，乙船到达C码头；已知甲船航行的速度是12海里/时．乙船航行的速度是16海里/时，甲船航行的方向是北偏东40°，乙船航行的方向是南偏东50°，求甲、乙两船之间的距离BC ．

60．（22-23八年级上·广东深圳·期中）如图所示，一艘轮船由A港口沿着北偏东60°的方向航行100km到达B港口，然后再沿北偏西30°方向航行100km到达C港口．

(1)求A，C两港口之间的距离；（结果保留根号）
(2)C港口在A港口的什么方向．
👉题型16 利用勾股定理逆定理解决实际问题
61．（2024·广东清远·二模）综合与实践
主题：检测雕塑(下图)底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB．
素材：一个雕塑，一把卷尺．
步骤1：利用卷尺测量边AD，边BC和底边AB的长度，并测量出点B,D之间的距离；
步骤2：通过计算验证底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB．

解决问题：
(1)通过测量得到边AD的长是60厘米，边AB的长是80厘米，BD的长是100厘米，边AD垂直于边AB吗？为什么？
(2)如果你随身只有一个长度为30cm的刻度尺，你能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？如果能，请写出你的方法，并证明．
62．（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB=15m，CD=8m，AD=17m．从点A修了一条垂直BC的小路AE（垂足为E），E恰好是BC的中点，且AE=12m．

(1)求边BC的长；
(2)连接AC，判断△ADC的形状；
(3)求这块空地的面积．
👉题型17 最短距离问题
63．（2024·广东·模拟预测）综合与实践
“转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题：
问题情境：
如图1，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段AC，若圆柱的高AB为2cm．底面直径BC为8cm．

问题解决：
（1）判断最短路线的依据是______；
（2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线AC的长（结果保留根号和π）；
拓展迁移：
如图2，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是OM的中点，母线OM=8，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹．
（3）请求出蚂蚁爬行的最短距离．
64．（2023·湖北十堰·一模）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为12m的半圆，其边缘AB=CD=20m（边缘的宽度忽略不计），点E在CD上，CE=4m.一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（    ）

A．28m B．24m C．20m D．18m
65．（2023·湖北十堰·三模）如图，地面上有一个长方体盒子，一只蚂蚁在这个长方体盒子的顶点A处，盒子的顶点C'处有一小块糖粒，蚂蚁要沿着这个盒子的表面A处爬到C'处吃这块糖粒，已知盒子的长和宽为均为20cm，高为30cm，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ）cm．

A．1017 B．50 C．1029 D．70  
66．（2024·四川德阳·二模）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18cm，底面周长为12cm，在容器内壁离容器底部7cm的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1cm的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 cm．

1．（2024·江苏常州·中考真题）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离d后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”．

(1)如图1，B、C、D是线段AE的四等分点．若AE=4，则在图中，线段AC的“平移关联图形”是________，d=________（写出符合条件的一种情况即可）；
(2)如图2，等边三角形ABC的边长是2．用直尺和圆规作出△ABC的一个“平移关联图形”，且满足d=2（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，点D、E、G的坐标分别是−1,0、1，0、0，4，以点G为圆心，r为半径画圆．若对⊙G上的任意点F，连接DE、EF、FD所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足d≥3，直接写出r的取值范围．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）在△ABC中，点D在边AB上，若CD2=AD⋅DB，则称点D是点C的“关联点”．

(1)如图（1），在△ABC中，若∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．试说明：点D是点C的“关联点”．
(2)如图（2），已知点D在线段AB上，用无刻度的直尺和圆规作一个△ABC，使其同时满足下列条件：①点D为点C的“关联点”；②∠ACB是钝角（保留作图痕迹，不写作法）．
(3)若△ABC为锐角三角形，且点D为点C的“关联点”．设AD=m，DB=n，用含m、n的代数式表示AC的取值范围（直接写出结果）．
3．（2024·江苏镇江·中考真题）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在AC上，已知AB=AC，sin∠BAC≈45，点D、F、G、J在AB上，DE、FM、GH、JK均与BC所在直线平行，DE=FM=GH=JK=20cm，DF=FG=GJ=30cm．点N在AC上，AN、MN的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时AB、AC重合，点E、M、H、N、K、C在AB上的位置如图所示．
【分析问题】
（1）如图5，用图中的线段填空：AN=MN+EM+AD−_________；
（2）如图4，sin∠MEN≈_________，由AN=EN+AE=EN+AD，且AN的长度不变，可得MN与EN之间的数量关系为_________；
【解决问题】
（3）求MN的长．

4．（2024·吉林长春·中考真题）【问题呈现】
小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边△ABC中，AB=3，点M、N分别在边AC、BC上，且AM=CN，试探究线段MN长度的最小值．
【问题分析】
小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】
如图②，过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P，作射线AP．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：

（1）证明：AM=MP；
（2）∠CAP的大小为 度，线段MN长度的最小值为________．
【方法应用】
某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，△ABC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形，AB=AC=CD=2米，∠ACB=30°．MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM=DN．钢丝绳MN长度的最小值为多少米．
5．（2024·河南·中考真题）综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．

(1)操作判断
用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）．
(2)性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．
如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB=AD，AC是它的一条对角线．
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若BC=m，DC=n，∠BCD=2θ，求AC的长（用含m，n，θ的式子表示）．
(3)拓展应用
如图3，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，分别在边BC，AC上取点M，N，使四边形ABMN是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN的长．

1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE．若OE=3，则菱形的边长为（    ）

A．6 B．8 C．10 D．12
2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，若∠B=25°，则∠CAD °．

3．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，将△ABC沿其底边中线AD向下平移，使A的对应点A'满足AA'=13AD，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．

4．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点A为“彭城风华”观演场地，点B为“水族展览馆”，点C为“徐州汉画像石艺术馆”．已知∠BAC=60°，∠BCA=45°，AC=1640m．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB（精确到1m）．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）

5．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=25，AC=2，分别以点A，B为圆心，大于12 AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线MN分别交AB，BC于点D，E，连接CD，AE．

(1)求CD的长；
(2)求△ACE的周长．
6．（2024·山东淄博·中考真题）《九章算术》中提到：今有户高多于广六尺八寸．两隅相去适一丈．问户高、广各几何？其大意为：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）若设门的高和宽分别是x尺和y尺．则下面所列方程组正确的是（    ）
A．x=y−6.8x2+102=y2 B．x=y−6.8x2+y2=102
C．x=y+6.8x2+102=y2 D．x=y+6.8x2+y2=102
7．（2024·海南·中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=120°，边AB在数轴上，将AC绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（    ）

A．1 B．1−3 C．0 D．3−23
8．（2024·江