数学精神与方法(第三讲).doc

2006年 公共选修课·通识教育
数学精神与方法
第三讲 有限无限纵横谈（二）
杜乃林 副教授 （武汉大学数学与统计学院）
EMAIL：hanlin066@

§2.4 ZFC系统的逻辑套路
今日数学的基础是建立在集合论之上的，而集合论中出现的悖论使数学家们认为有必要做出关于集合的基本假设（即提出一组适当的集合论公理），以便彻底避免各式各样的、已发觉的和潜在的悖论或不相容现象的出现，以使数学的各种系统和方法能够建立在一个统一的牢固的逻辑基础之上。为此，数学家和逻辑学家提出并发展了多种集合论的形式化系统，其中最有名的要数ZFC系统和GBN系统。
在此，我们将向大家简介ZFC系统，它是由上节说到的ZF系统发展完善而成的。
逻辑套路图
ZFC系统有两方面内容：一是形式语言和逻辑演算，二是非逻辑公理。本节介绍第一方面的内容。

关于ZFC系统
ZFC系统是一种受到数学界偏爱的形式系统。“形式”这个词常常用于这样的场合，该处用到了一些符号，而这些符号的作用和属性又完全由一组给定的规则所确定。在一个形式系统中，符号没有任何意义；在处理它们时，我们必须注意不要在系统规定之外对它们的属性作任何假设。 不过，形式符号可以加以解释，解释可以有多种版本，但这些解释并不是系统的一部分。
ZFC系统像其他形式系统一样，有两方面内容，一是它的形式语言和逻辑演算（包括逻辑公理和演绎规则），二是非逻辑公理（用于“规划”集合概念的特殊公理，又称集合论公理）。这两方面内容，前者体现出“逻辑数学化”倾向，而后者则体现出“数学逻辑化”倾向，如今两者已融合成一个有机的开放的整体。
ZF系统的形式语言
一 ZF符号库

二 ZF公式库

关于形式语言的注释

ZF系统的逻辑演算
一 ZF的逻辑公理模式（附带等词公理模式

关于ZF的逻辑公理模式的注释

ZF系统的逻辑演算
二 ZF的逻辑演绎规则

关于ZF的逻辑逻辑演绎规则的注释

ZF系统的逻辑证明
现在ZF形式系统的纯逻辑要素——符号库、公式库、公理模式、演绎规则——都已建立起来，那么怎样运用这些逻辑要素去进行逻辑演绎（即证明推理）呢？

形式证明的实例

简单评注
ZFC系统有两方面内容：一是它的形式语言和逻辑演算，二是它的非逻辑公理。以上所讲是第一方面内容的简介，目的在于帮助同学们了解数学系统的逻辑结构——这方面内容体现出ZFC系统的“逻辑套路”。尽管形式语言与逻辑演算的表述方式完全可以说是“数学化”的，但是就其本质而言，这方面的内容是没有多少数学价值的。ZFC系统的数学价值将由其第二方面的内容——非逻辑公理——体现出来。那么这组非逻辑公理又说了些什么呢？且听下回分解。
思考题
1． 试述ZF系统的MP规则和GEN规则。
2． 什么是ZF系统的形式证明？你觉得形式证明与你习惯的数学证明有哪些不同点？
3． 形式证明的价值在哪里？
4． 为什么说ZF系统的形式语言与逻辑演算体现不出它的数学价值？

§2.5 ZFC系统的数学价值
逻辑主义有一个重大的不可否认的成就：它成功地根据合理的简单标准（完备性例外），把全部经典数学都归约为单一的形式系统。这一成就被形式主义者——绝大多数数学家——大加赞赏，尽管他们并不像逻辑主义者那样认为“数学已被全部归约为逻辑”。
数学家们认为：数学确实有逻辑以外的题材，那就是表达式，而且她的最重要的简单真理是直观的——而非逻辑的——产物。
对于ZFC系统，可以说现代数学建立在以其为基础的结构之上，它是否可以全部归约为逻辑呢？数学界和哲学界一般认为，答案是否定的，原因就在于它有一组公理（共九条）是非逻辑性的，我们称之为ZFC的非逻辑公理组。这组公理体现着数学家来自心灵的共同信条，这正是ZFC系统的数学价值之所在。
ZFC-系统的非逻辑公理
（ZF1）两个集合相等，当且仅当它们有相同的元素。（外延公理）
（ZF2）没有元素的集合存在。（空集公理）
（ZF3）给出任何集合x和y，总存在着集合z，它的元素是x和y。 （配对公理）
（ZF4）给出任何集合x，总存在着集合y，它以x的元素的元素为元素。 （并集公理）
（ZF5）给出任何集合x，总存在着集合y，它以x的一切子集为元素。（幂集公理）
（ZF6）若对于任意的x，恰好存在唯一的y，使得公式A(x,y)成立，那么对于任意的集合z，存在集合u，使得
u = { v | 存在w∈z ，使得A(w,v)成立 }。
（替换公理模式）
（ZF7）存在一个集合x，它含有无穷多个元素。 （无穷公理）
（ZF8）每个非空集合x含有一个元素y，y作为集合与x无公共元素。 （基础公理）
（AC） 对任何由两两不交的非空集合组成的集合x，总存在一个集合y，它与x的每个成员恰有一个公共元素。 （选择公理）
关于ZF-系统的非逻辑公理的评注
公理（ZF1）－（ZF8）和（AC）的建立归功于策墨罗和弗伦克尔，但所谓ZF-系统却是指非逻辑公理只取（ZF1）－（ZF8）的形式集合论系统。
公理（ZF2）断言了空集的存在。可以证明空集是唯一的，记之为ø。
公理（ZF3）断言：对任何集合x和y，存在一个集合{ x , y }。 注意{ x , y }是由x和y所唯一确定的，但x和y间没有次序问题，这就是说， { x , y } = { y , x }。
有了此等无序对的概念，我们可以定义单元集和序偶的概念如下：
{ x } = { x , x }， （ x , y ）= { x , { x , y } }。
需指出：表述（ZF6）需要利用序偶的概念。
在（ZF6）中，命 A(x,y) 代表 A(x)∧(x=y)，
则可推出策墨罗的有限抽象原则：对任一给定的谓词公式A(x)和任何集合z，存在集合u使得
u = {v∈z| A(v)}。
（ZF2）和（ZF7）是分别断言集合存在和无限集合存在的公理；实质上，它们断言的正是空集ø和自然数集N存在。这两条公理实难作为逻辑公理看待，它们是干脆的数学公理。因此，将集合论完全划归逻辑范畴不可能得到数学界的认可。一般认为：逻辑主义自定的目标——数学化为逻辑，成为逻辑的一部分——不可能实现。
如果在ZF系统中不引入无穷公理（ZF7），那么我们得到的是一个有限数学的框架，也就是说，我们处理的数学对象只能限于有限集合。在这样的框架里，我们无法断定“全体自然数”是否构成一个集合。 “自然数的全体”是否为一个集合？这问题其实是“自然数的全体”作为一个数学对象我们该怎样看待的问题。在这个问题上，数学界的看法是统一的： “自然数的全体” 构成一个集合。这是现代数学基础的任何令人可接受的模式都必须俯就的基本要求——本质上讲，这意味着数学学科不能不认可“数学归纳原理”。 “数学归纳原理”是一条数学原理，它不能归约为逻辑。无穷公理的价值正是在集合论的公理系统中给出“数学归纳原理”的位置。
注意，公理（ZF8）所断言的是：任一非空集合x必有∈-极小元，即，存在y∈x，对任意的u∈y，u不∈x。
利用（ZF8）我们立即可证如下命题：
“ 对任意的集合x，x不∈x。”
事实上，对任意的集合x，集合{x}非空；于是，{x}有∈-极小元，此∈-极小元只能是x，故x不∈x。
让我们引入“集宇宙”这个术语：集宇宙由全体集合构成，记作Ω。这样一来，上述命题可富有启发性地表述为
Ω={x|x不∈x}。
进一步，立即可证下述命题成立：
“集宇宙Ω不是集合”
公理（ZF1）－（ZF8）在描述集合的基本真理性方面已经经受住了时间的考验。
ZF-系统引出的基本数学概念

欧拉（Leonhard Euler 1707-1783）瑞士 人，是科学史上最多产的一位杰出的数学家，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。
笛卡尔(René Descartes 1596~1650)，法国哲学家、数学家、物理学家。他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。
狄利克莱（Dirichlet）（1805-1859） 德国数学家。 他是解析数论的创始人之一。他在分析学和数学物理方面也有很多重大贡献。
关于选择公理

选择公理的各种等值形式人们研究的很多，不同的形式适应于不同的应用，这足以表明它是一条基本的数学原则。由哥德尔定理我们知道，选择公理与ZF-系统是相容的；那么，一个自然的问题是：它是不是ZF-系统的一条定理呢？这个问题历经半个多世纪的研究，终于在1963年由美国的一位年青的数学家科恩所解决。科恩证明：（AC）不能作为ZF-系统的定理而推演出来。将科恩和哥德尔的结果合在一起的结论是（AC）和它的否定都不是ZF-系统的定理，它们之中任意一个都可以相容地补加到ZF-系统中作为新公理使用。从这样的结论看，（AC）的可接受或不可接受必然是一个直觉问题，它乃是也只能是数学家们的基本信条之一。选择公理被证明是一条数学原理，不能归约为逻辑。
哥德尔（Kurt Gödel,1906-1978）。奥地利─美国数学家、逻辑学家。美国《时代》杂志评选出对２０世纪人类思想产生重大影响的１００人中，哥德尔列为第４。
思考题
1． ZFC系统的非逻辑公理有哪些条款？其中哪几条最能体现数学价值而又不能归约为逻辑？
2． 函数概念是基于ZFC系统的哪几条非逻辑公理建立起来的？
3． 谈谈你对选择公理的看法。