一元二次方程解法讲义.doc

龙文教育学科教师辅导讲义
课 题
一元二次方程的解法

教学目标

1. 理解一元二次方程及其有关概念
2. 会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解

重点、难点

1. 一元二次方程的判定，求根公式
2. 一元二次方程的解法与应用

考点及考试要求

1. 一元二次方程的定义,一般形式，配方式
2. 熟练一元二次方程的解法能灵活运用:直接开平法,配方法.，因式分解，公式法去
3. 一元二次方程在实际问题中的综合应用
教学内容

考点一、概念
(1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。
(2)一般表达式：
注：当b=0时可化为这是一元二次方程的配方式

(3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：时，应满足（a≠0）
(4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：
①该项系数不为“0”；
②未知数指数为“2”；
③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：
例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A B C D
变式：当k 时，关于x的方程是一元二次方程。
例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 。
考点二、方程的解
⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；
典型例题：
例1、已知的值为2，则的值为 。
例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为 。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.
例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为 。
说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。
例4、已知是方程的两个根，是方程的两个根，则m的值为 。
例5、已知，，，求
变式：若，，则的值为 。
6、方程的一个根为（ ）
A B 1 C D
7、若 。
考点三、方程解法
（1）基本思想方法：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
（2）方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法

类型一、直接开方法： 就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如
※对于，等形式均适用直接开方法
典型例题：
例1、解方程： （2）
（4） （5）
例2、解关于x的方程：
3. 下列方程无解的是（ ）
A. B. C. D.

类型二、配方法
基本步骤 :1.先将常数c移到方程右边 2.将二次项系数化为1
　　 3.方程两边分别加上一次项系数的一半的平方4.方程左边成为一个完全平方式：
※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
典型例题：
例1、试用配方法说明的值恒大于0，的值恒小于0。
例2、已知x、y为实数，求代数式的最小值。
变式：若，则t的最大值为 ，最小值为 。
例3、已知为实数，求的值。
变式1：已知，则 .
变式2：如果,那么的值为 。
例4、分解因式：

类型三、因式分解法: 把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法
※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，
※方程形式：如， ，
※分解方法:提公因式,利用平方差与完全平方公式,十字相乘法

针对练习：
例1、的根为（ ）
A B C D

例2. （1）(平方差) (2) (提公因式)
（3）（平方差) （4） (完全平方式)
(5） (完全平方式) （6）（十字相乘法）
（7）（十字相乘法） （8）(提公因式)

例3、若，则4x+y的值为 。
例4、方程的解为（ ）
A. B. C. D.
例5、解方程：
例6、已知,则的值为 。
变式：已知,且,则的值为 。
例7、解下列方程
(1) (2x – 3)2 = (3x – 2)2 (2) -= x+2
(4) 5m2 – 17m + 14=0 (5) (x2 +x+1)(x2 +x + 12)=42 (6) 2x2 + (3a-b)x –2a2+3ab- b2 =0

例8、解关于x的方程x2+x – 2+k(x2+2x)=0 （对k要讨论）

类型四、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式的值，当判别式大于等于零时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式,就可得到方程的根。
⑴条件：⑵公式： ,
典型例题：例1、选择适当方法解下列方程：
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸
说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。
例2、在实数范围内分解因式：
（1）； （2）. ⑶
说明：①对于二次三项式的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这
种方法首先令=0，求出两根，再写成=.
②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.

类型五、 “降次思想”的应用
主要内容：⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组。
典型例题：
例1、已知，求代数式的值。
例2、如果，那么代数式的值。
例3、已知是一元二次方程的一根，求的值。
说明：在运用降次思想求代数式的值的时候，要注意两方面的问题：①能对已知式进行灵活的变形；②能利用已知条件或变形条件，逐步把所求代数式的高次幂化为低次幂，最后求解。
例4、用两种不同的方法解方程组
说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再消元。
但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.

考点四、根与系数的关系
⑴前提：对于而言，当满足①、②时，才能用韦达定理。
⑵主要内容：
⑶应用：整体代入求值。

典型例题：
例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三
角形的斜边是（ ）
A. B.3 C.6 D.
说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握、、、之间的运算关系.
例2、解方程组：

说明：一些含有、、的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时，后者显得更为简便.
例3、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

例4、当取何值时，方程的根与均为有理数？

例5、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？

例6、已知，，，求
变式：若，，则的值为 。
例7、已知是方程的两个根，那么 .

测试题目：
一、选择题
1．解方程：3x2+27=0得（   ）.
(A)x=±3  (B)x=-3   (C)无实数根   (D)方程的根有无数个
2．方程（2-3x）+（3x-2）2=0的解是（   ）.
(A),x2=-1   (B)  ,
(C)x1=x2=    (D) ,x2=1
3.方程(x-1)2=4的根是(   ).
(A)3,-3   (B)3,-1   (C)2,-3   (D)3,-2
4.用配方法解方程:正确的是(   ).
(A)   (B)
(C),原方程无实数解  (D) 原方程无实数解
5.一元二次方程用求根公式求解,先求a,b,c的值,正确的是(   ).
(A)   a=1,b=  (B)a=1,b=-,c=2
(C)a=-1,b=- ,c=-2   (D)a=-1,b=,c=2
6．用公式法解方程：3x2-5x+1=0，正确的结果是（   ）.
（A）  （B）  （C）  （D）都不对

二、填空
7．方程9x2=25的根是___________...
8.已知二次方程x2+(t-2)x-t=0有一个根是2,则t=________,另一个根是_________.
9.关于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是0,则m的值为__________.
10.关于x的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.
11.方程(x+2)(x-a)=0和方程x2+x-2=0有两个相同的解,则a=________.
三、用适当的方法解下列关于x和y的方程
12．（x+2）（x-2）=1.   13.(3x-4)2=(4x-3)2

14.3x2-4x-4=0.     15.x2+x-1=0.

16.x2+2x-1=0.   17.(2y+1)2+3(2y+1)+2=0.

18.2x2-   19.x2-bx-2b2=0.

20.a2x2+2abx+b2-4=0(a≠0). 21．（b-c）x2-（c-a）x+（a-b）=0（a≠c）

22．用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0.
（A） 因式分解法  （B）配方法 （C）公式法

23．解方程：
（1）   （2）

24．解关于x的方程：x2-2x+1-k（x2-1）=0

25．已知|2m-3|=1，试解关于x的方程3mx（x+1）-5（x+1）（x-1）=x2

26、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：
（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。
（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

27、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。
（3）两个正方形的面积之和最小为多少?

9 / 9