北师大版九年级上相似三角形知识点练习例题复习资料.doc

课后作业
学生编号

学生姓名

授课教师

辅导学科
九年级数学
教材版本
上教
课题名称
相似三角形
课时进度
总第〔 〕课时
授课时间
7月28日
教学目标
掌握相似三角形的概念、性质及判定方法，能够灵活应用相似三角形的性质与判定方法方法解决实际问题。
重点难点
重点：相似三角形的概念、判定定理与相似三角形的性质
难点：如何根据问题的结论，在较复杂的图形中找到所要证明的相似三角形．
同步教学内容及授课步骤
知识点归纳：
1、三角形相似的判定方法
〔1〕定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
〔2〕平行法：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角
形及原三角形相似。
〔3〕判定定理1：如果一个三角形的两个角及另一个三角形的两个角对应相等，那么这两
个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。
〔4〕判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
〔5〕判定定理3：如果一个三角形的三条边及另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相
似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
〔6〕判定直角三角形相似的方法：
①以上各种判定均适用。
②如果一个直角三角形的斜边与一条直角边及另一个直角三角形的斜边与一条直角边对应成比例，
那么这两个直角三角形相似。
③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形及原三角形相似。

#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项。
　　 如图，△中，∠90°，是斜边上的高，
那么有射影定理如下：
　　 〔1〕〔〕2·，
　　 〔2〕〔〕2· ，
　　 〔3〕〔〕2· 。
　　注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。即 〔〕2+〔〕2=〔〕2。
典型例题：
例1 如图，等腰△中，＝，⊥于D，‖，分别交，于E、 F，求证：2＝·

证明：如图，连结，∵＝，⊥，
∴∠＝∠，垂直平分
∴＝，∠1＝∠2，∴∠∠1＝∠∠2，
即∠3＝∠4，又∥，∴∠G＝∠3，∴∠4＝∠G
又∵∠＝∠，∴△∽△，∴=
∴2＝· ，故2·
【解题技巧点拨】
此题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质与相似三角形的根本图形来得到证明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到，把原来处在同一条直线上的三条线段，，转换到相似三角形的根本图形中是证明此题的关键。

例2 ：如图，是△斜上的高，E是的中点，及的延长线相交于F，求证：=

证法一：如图，在△中，∵∠＝∠，⊥，
∴∠3＝∠C，又E是△的斜边上的中点，
∴＝，∴∠2＝∠C，又∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，
∴∠＝∠，∴△∽△，∴＝ 〔1〕
又是△的斜边上的高，∴△∽△，∴= 〔2〕
由〔1〕〔2〕两式得=，故=
证法二：过点A作∥交延长线于点G，那么= 〔1〕
∵E是的中点，∥，∴D是的中点，又⊥，∴是线段的垂直平分线，∴＝ 〔2〕
由〔1〕〔2〕两式得：=，证毕。

【解题技巧点拨】
此题证法中，通过连续两次证明三角形相似，得到相应的比例式，然后通过中间比“〞过渡，使问题得证，证法二中是运用平行线分线段成比例定理的推论，三角形的中位线的判定，线段的垂直平分线的判定及性质使问题得证．
一、如何证明三角形相似
例1、如图：点G在平行四边形的边的延长线上交、于点E、F，那么△∽ ∽ 。

例2、△中，，∠36°，是角平分线，求证：△∽△

例3：，如图，D为△内一点连结、，以为边在△外作∠∠，∠∠
求证：△∽△

例4、矩形中，3，E、F，是边的三等分点，连结、、，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。

二、如何应用相似三角形证明比例式与乘积式
例5、△中，在上截取，在延长线上截取，使，求证：

例6：：如图，在△中，∠900，M是的中点，⊥于点E，交的延长线于点D。
求证：〔1〕2；〔2〕

例7：如图△中，为中线，为任一直线，交于E，交于F，求证：：2：。

三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行与线段相等。
例8：：如图E、F分别是正方形的边与上的点，且。求证：∠∠

例9、在平行四边形内，、、、各为四角的平分线， 求证：∥，∥

例10、A、C、E与B、F、D分别是∠O的两边上的点，且∥，∥，求证：∥

例11、直角三角形中，∠90°，是正方形，交于F，∥交于G，求证：

例12、△锐角C的平分线交于E，交斜边上的高于O，过O引的平行线交于F，求证：

学生姓名

所属年级
九年级
辅导学科
数学
任课教师

作业时限
90分钟
布置时间
月 日
一、填空题
1.：在△中，P是上一点，连结 ，当满足条件∠ 或∠ 或 2= 时，△∽△．
∶9，面积之与为291，那么面积分别是 。
3.如图，是△的内接正方形，假设＝8，＝4，那么＝ 。
4．如图，直角梯形 中，‖，⊥，⊥，＝4，＝9，那么 ＝ 。
5．△中，＝15，＝9，点D是上的点，且3，E在上，△及△相似，那么的长等于 。
6.如图，在正方形网格上画有梯形，那么∠的度数为 。

7.△中，＝，∠A＝36°，＝1，平分∠交于D，那么＝ ，＝ ，设＝x,那么关于x的方程是 .
8．如图，D是等边△的边上一点，把△向下折叠，折痕为，使点A落在点D处，假设∶＝2∶3，那么∶ 。

二、选择题
9.如图，在正△中，D、E分别在、上，且=，，那么有〔〕
A．△∽△ B．△∽△
C．△∽△ D．△∽△
10．如图，在△中，D为边上一点，∠＝∠A，，＝3，那么的长为〔 〕
A.1 B. C.2 D.

11．如图，□中，G是 延长线上一点，及 交于点E，及交于点F，那么图中相似三角形共有〔 〕
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
12． P是△的斜边上异于B、C的一点，过点P作直线截△，使截得的三角形及△相似，满足这样条件的直线共有〔 〕
A．1条 B.2条 C．3条 D．4条
13．如图，在直角梯形 中，＝7，＝2，3，假设在 上取一点P，使以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似，这样的P点有〔 〕

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

三、解答以下各题
14.如图，长方形中，5，＝10，点P从A点出发，沿作匀速运动，1分钟可以到达B点，点Q从B点出发，沿作匀速直线运动，1分钟可到C点，现在点P点Q同时分别从A点、B点出发，经过多少时间，线段恰及线段垂直？

 15．：如图，正方形内接于△，在斜边上，⊥于H．求证：〔1〕△≌△；〔2〕2＝·

〔答案〕
例1分析：关键在找“角相等〞，除条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角∠G外,由∥可得∠1=∠2，所以△∽△。再∠1=∠2〔对顶角〕，由∥可得∠4=∠G，所以△∽△。
例2分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角那么可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。
证明：∵∠36°，△是等腰三角形，∴∠∠72°又平分∠，那么∠36°
在△与△中，∠C为公共角，∠∠36°∴△∽△
例3分析： 由条件∠∠，∠公用。所以∠∠，要证的△与△，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从条件中可看到△∽△，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。
证明：在△与△中，∠∠, ∠∠∴△∽△∴=即：=
△与△中，∠∠, ∠公用∴∠∠∠∠∴∠∠且=∴△∽△
例4分析：此题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种根本图形：
（1） 如图：称为“平行线型〞的相似三角形
(2)如图：其中∠1=∠2，那么△∽△称为“相交线型〞的相似三角形。
(3)如图：∠1=∠2，∠∠D，那么△∽△，称为“旋转型〞的相似三角形。
观察此题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型〞的相似三角形，及△及△
解：设，那么3a，
由勾股定理可求得， 在△及△中，∠为公共角，且所以△∽△
例5 分析：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及：：，再利用相似三角形或平行线性质进展证明：
证明：过D点作∥，交于K，
又∵，∴：：，而：：
即： ：，∴
例6 证明：〔1〕∵∠900，M是的中点，∴，∠1=∠C，
∵⊥，∴∠∠900-∠B，∴∠1=∠D，
∵∠2=∠2，∴△∽△，∴，∴2，
〔2〕∵△∽△，∴，∴
评注：命题1 如图，如果∠1=∠2，那么△∽△，2。
命题2 如图，如果2，那么△∽△，∠1=∠2。
例7 分析：图中没有现成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考虑作平行线构造相似形。怎样作？观察要证明的结论，紧紧扣住结论中“：〞的特征，作∥交于G，得△∽△，。及结论相比拟，显然问题转化为证。
证明：过D点作∥交于G那么△∽△。〔平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形及原三角形相似〕 〔1〕
∵D为的中点，且∥∴G为的中点那么为△的中位线， 〔2〕将〔2〕代入〔1〕得：
例8 分析：要证角相等，一般来说可通过全等三角形、相似三角形，等边对等角等方法来实现，此题要证的两个角分别在两个三角形中，可考虑用相似三角形来证，但要证的两个角所在的三角形显然不可能相似〔一个在直角三角形中，另一个在斜三角形中〕，所以证明此题的关键是构造相似三角形，
证明：作⊥，垂足为G。设3k那么，2k，
∵∠450，∠900∴∠450∴∴∴
又∠∠900∴△∽△ ∴∠∠
例9 分析：要证明两线平行较多采用平行线的判定定理，但本例不具备这样的条件，故可考虑用比例线段去证明。利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标，选择适当的比例线段。要证明∥，只需证明：：。
证明：在△与△中。
但△≌△，∴，那么，∴∥，同理可证，∥
例10分析：要证明∥，条件中有平行的条件，因而有好多的比例线段可供利用，这就要进展正确的选择。其实要证明∥，只要证明即可，因此只要找出及这四条线段相关的比例式再稍加处理即可成功。
证明：∵∥，∥∴，∴两式相乘可得：
例11 分析：要证明，从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等，但存在较多的平行线的条件，因而可用比例线段来证明。要证明，首先要找出及、相关的比例线段，图中及、相关的比例式较多，那么应选择及、都有联系的比作为过渡，最终必须得到〔“？〞代表一样的线段或相等的线段〕，便可完成。
证明：∵ ∥∥，∴△∽△ 那么有而∥ ∴△∽△
那么有 ∴又∵〔正方形的边长相等〕∴，即。
例12 证明：∵平分∠C，∠2=∠3，故△∽△，∴
又∥，∴又∵△∽△，∴，即∴。
一、∠B、∠、·或° 7.1,12∶8
二、9 10 11 12 13
三、14.分钟 15.(1)〔略〕 〔2〕证△∽△ 16.(1)证△≌△与△≌△；〔2〕证△∽△。 17.50m 40m 18.证△∽△与证△∽△ 19.〔1〕略 〔2〕由〔1〕的结论与证△∽△即得。 20.(1)略 〔2〕36 21.先探索只能及成对应边，那么，得100，64，故△∽△
22.在△中，作∠∠E，交于点G，在△中，作∠∠A，交于点H，直线、就是所求的分割线。
第 - 13 - 页