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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2012 材料物理基础：固体物理 材料学院,谷坤明,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,材料物理基础,固体物理-2,第1页,倒 格 子,一、倒格子定义,二、倒格子基矢性质,三、结晶学中倒格子,为了以后计算上方便，我们引入一个新概念倒格子。倒格子并非物理上格子，只是一个数学处理方法，它在分析与晶体周期性相关各种问题中起着主要作用。,第2页,研究倒易点阵意义,利用倒易点阵概念能够比较方便地导出晶体几何学中各种主要关系式；,利用倒易点阵能够方便而形象地表示晶体衍射几何学。比如：单晶电子衍射图相当于一个二维倒易点阵平面投影，每一个衍射斑点与一个倒易阵点对应。所以，倒易点阵已经成为晶体衍射工作中不可缺乏分析工具。,倒易矢量也能够了解为波矢k，通惯用波矢来描述电子在晶体中运动状态或晶体振动状态。由倒易点阵基矢所张空间称为倒易空间，可了解为状态空间（k空间）。,第3页,倒格子引入,假设晶格基矢与晶体结构未知,从一些周期性分布点(由X射线衍射等试验测定)，经过一一对应规律（试验格点，倒格子，晶格对应关系傅里叶变换），能够推断出晶格结构。,第4页,几何关系直观观察,自原点引晶面族ABC，晶面间距d，法线OG，在法线上截取一段OP=,，使,d=2,，对每一族晶面都有一点P，以OP为该方向上周期，把P平移，得出一个新点阵，称为该点阵倒易点阵，该点阵称为正点阵。,第5页,一、倒格子定义,假设晶格原胞基矢为 、，原胞体积为 ，建立一个实空间，其基矢为,由这组基矢组成格子称为对应于以 、为基矢正格子倒易格子(简称倒格子），、称为倒格子基矢。,（计算式）,第6页,从数学上讲，倒易点阵和布喇菲点阵是相互对应傅里叶空间。,倒易空间格矢量：,第7页,例1：简立方格子倒格子。,例2：二维四方格子，其基矢为,此时可假设一个垂直于平面单位矢量,再计算 、。,第8页,二、倒格子基矢性质,1、正倒格子基矢关系（定义式）,(,为倒格子原胞体积。）,2、倒格子原胞体积是正格子原胞体积倒数(2),3,倍。,3、倒格矢 是晶面指数为 所对应晶面族法线。,4、倒格矢 与晶面间距 关系为,5、正格矢 与倒格矢 关系,（m为整数）,第9页,倒格矢与正格子晶面关系,现有晶面系（h,1,h,2,h,3,）在基矢(a,1,a,2,a,3,)上截距分别为（a,1,/h,1,a,2,/h,2,a,3,/h,3,）,而,第10页,推论：,1、假如有一矢量与正格矢点乘后等于2整数倍，这个矢量一定是倒格矢。,2、假如有一矢量与正格矢点乘后为一个没有量纲数，这个矢量一定能在倒空间中表示出来。,第11页,三、结晶学中倒格子（晶胞）,若晶胞基矢为 、，其倒格子基矢为,其中 为晶胞体积。,此时倒格矢为,第12页,倒格矢性质：,1）,是密勒指数为 所对应晶面族法线,。,2）,条件：不包含体心和面心一切晶胞。,3）,其中,所以倒格矢 能够代表 晶面。,第13页,例题选做,例二：,例一：,解理面是面指数低晶面还是指数高晶面？为什,么？,第14页,例三：,第15页,晶格周期函数傅里叶展开（掌握思绪）,晶格周期性造成晶体物理性质也含有与晶格相同周期性,若把晶格中任意一点位置矢量r用基矢表示,则V(r)看成是以,1,2,3,为变量、周期为l周期函数，即,第16页,所以V(,1,2,3,)可展成傅里叶级数,其中,h,1,，h,2,，h,3,是整数，展开系数,1,2,3,可用倒格子基矢写出,（数学上：一定区间内周期函数能够展开成傅里叶级数）,第17页,傅里叶级数可直接用r表示出来，即,上式中求和是对全部倒格矢进行。上式表明同一物理量在正格子中表述V(r)和在倒格子中表述V,G,之间恪守傅里叶变换关系。而且这种变换依然保持物理量晶格周期性,（后续学习中用到）,第18页,布里渊区,定义：,在倒格子中，以某一倒格点为坐标原点，作全部倒格子垂直平分面，倒格子空间被这些平面分成许多包围原点多面体区域，这些区域称为布里渊区,在数学和固体物理学中，第一布里渊区是动量空间中晶体倒易点阵原胞,第19页,布里渊区性质,几何特征,形状和晶格相关边界方程,一个布里渊区体积倒格子原胞体积,能够编号,任意一点加任一,K,n,必定跳出布里渊区,电子状态特征（后续章节讨论）,包含N个k点子，这些N个点子在布里渊区里均匀分布，点密度为V/(2,),3,.,区内能级准连续能带，边界处能量跳跃。,一维、二维、三维E,k,关系能够差异很大,第20页,第21页,体心立方晶格第一布里渊区,面心立方晶格第一布里渊区,对称点符号,第22页,确定晶格参数方法,衍射条件,晶体几何结构基本特征是原子排列周期性，原子间距约为10,-8,cm数量级。波长为10,-8,cm电磁波光子能量为h,1.23,10,3,eV,它相当于x射线光子能量。所以，晶格可作为X射线衍射光栅（,衍射条件）,能量约为0.08eV中子以及能量约为3.5eV电子，其德布罗意波长,1，所以，在这个能量范围内中子和电子可在晶格中产生中子衍射和电子衍射。各种衍射图案都携带有反应晶体结构信息。所以，它是分析晶体结构有力工具。,第23页,确定晶格参数方法,三种主要衍射伎俩,x射线衍射,是分折晶体结构惯用方法。对于,电子衍射,、电子波不但受到晶格中电子散射，还受到原子核散射，所以散射很强。因为透射力很弱，它只能透入晶体内一个较短距离、适于研究晶体表面结构。中子含有磁矩，它与固体中磁性电子可发生相互作用，因而,中子衍射,适于研究磁性晶体结构,第24页,确定晶格参数方法,确定衍射极大位置,劳厄方程与布拉格公式,布喇格公式和芳厄公式决定了X射线入射波矢,k,、散射波矢,k,和反射晶面(经过倒格矢G来决定)之间关系，两个公式没有包括衍射条纹强度问题，它与散射中心本身性质相关。,第25页,确定晶格参数方法,确定衍射极大强度,原子散射因子与几何结构因子,决定强度第一个原因是放射中心散射能力,，对比X射线波长，原子含有一定尺寸，因而它组成X射线散射中心。在X射线作用下，从核外不一样区域发射散射波之间存在一定位相差。核外电子分布不一样，散射能力也不一样，原子散射能力可用,原子散射因子,来概括。,决定衍射强度第二个原因是，来自原胞中各个不一样放射中心放射波之间存在干涉作用，,由这一原因所映定放射能力可用,几何结构因子,来概括。,第26页,1.7 晶体X射线衍射,1876年,发觉阴极射线,1895年,X射线,可穿过包装底片，留下手骨印。,1912年,劳厄猜测X射线是电磁波,他两个弟子Freidrich 和 Knipping在Cu,2,SO,4,晶体上取得衍射斑点。,1913年,Brag父子分析衍射斑点与晶格结构间关系,1914年,M.V.Laue,(德国),因从电磁波入手推得劳厄方程获Nobel price。,1915年,S.W.Henry Bragg&S.Lawrence Bragg,(英国),获Nobel price。,至今已经有30多项Nobel price颁发给X射线结构分析成就。,第27页,一、衍射极大条件 劳厄方程,布喇菲格子衍射极大条件,把布喇菲格子格点看做是散射中心，当全部格点散射光发生相干加强时对应于衍射极大。,当波矢为k,0,x射线投射到相距为R两个格点O和A时，会受到两个格点散射而发出散射波。若在某个方向上散射波波矢为k，而|,k,0,|=,k,，设两格点散射波之间光程差,第28页,当,沿,k,方向散射光相干加强。,因为R是晶格平移矢量，依据倒格子定义，可知任意衍射极大方向必须满足,劳厄方程,第29页,劳厄方程等价形式：,如图，虚线表示倒格矢G对应晶面，劳厄方程表示,k,0,，k,与G组成一等腰三角形,说明：若,k,0,为倒格子空间一个矢量，则该式为布里渊区界面方程，即：从某格点出发，凡是波矢端点落在布里渊区界面上X射线，都满足衍射极大条件，且其衍射束是在,k,0,G方向。,第30页,布喇格定律与劳厄方程,（1）布喇格思想：,把晶体对X射线衍射看成是晶面对X射线衍射晶体看作是某晶面系（hkl）一系列平行且等距晶面组成，当相邻晶面所反射两束光之间光程差为入射光波长整数倍时，产生衍射极大,布喇格反射公式,第31页,（2）二者等价性,如图，,G表密代勒指数为(hkl)晶面系，设相邻面间距为d,hkl,，有,劳厄方程写为：,（倒格矢性质）,第32页,劳厄方程图示厄瓦尔图,取任一倒格点为原点，在倒格子空间中画出,k,0,，以,k,0,末端为圆心，以,k,0,为半径画一球面：,因为,从球面上任何一点向球心作出矢量都满足劳厄方程,所以，,落在反射球上各倒格点到球心矢量，都表示在给定入射波,k,0,情况下，晶体可产生衍射极大方向,第33页,原子散射因子、几何结构因子,确定衍射强度问题,（1）原子散射因子,晶体X射线散射是由电子对X射线散射引发，原子与X射线波场相比含有一定线度，核外电子分布不一样造成不一样原子对X射线散射能力不一样,（a）单个电子散射,平面波,球面波,D：观察点到散射电子位置矢径,f,e,:单个电子散射能力参数，散射强度,第34页,（b）n个电子散射,n个电子，任选其中一个为原点O，其它电子位置矢径分别为r1,r2,r3，观察点P到原点位置矢径为D,波程差：,由衍射极大条件：,第35页,P点总散射波为:,假定各散射波平行并忽略因电子位置不一样引发D差异,散射波振幅A,s,为,反应了含有多个电子散射系统散射能力,第36页,定义：,原子散射因子,f,(,s,),采取量子理论电子云观点，,设核外电子分布几率为,(,r,),当从量子力学求得原子中电子分布密度,(,r,)后,标准上可求出原子散射因子,第37页,（2）几何结构因子与消光现象,劳厄方程给出是晶格格点散射波相互干涉结果，对复式格子，需要考虑格点所代表基元内部结构对X射线散射结果,题设：,设一个原胞中有n个原子，以某个原子为坐标原点，其余原子位置分别是r1,r2,r3,（a）第j个原子散射波与原点处原子散射波间波程差为,（b）散射波,第38页,（c）原胞在k方向上散射波振幅,f,j,(,s,)为第j个原子原子散射因子,散射波振幅,反应原胞中原子分布及原子种类对散射强度影响,定义：,几何结构因子,第39页,消光现象,含N个原胞晶体在k方向上满足劳厄方程散射光强度为：,若F(G)=0，即使散射光相干加强，不过会出现消光现象，相当于零光强波因为几何结构因子造成相干加强，结果依然是零。,结论：,假如已知原子散射因子，就可能经过对衍射强度分布分析来确定晶体结构和组成。,注：,在实际X射线衍射强度分析中，晶体特殊对称性起主要作用，在讨论几何结构因子是，应该采取结晶学原胞。,第40页,常见晶体F(G),（1）体心立方结构,（2）面心立方结构,（3）金刚石结构,思索题7：几何结构因子与哪些原因相关？简单立晶体几何结构因子为何？,思绪：,(1)写出晶格中包含,原子（不是格点）,坐标r,i,(2)写出倒格矢,(3)利用公式：,(4)假如是同种原子，原子散射因子能够提出,第41页,X射线衍射试验方法,1劳厄法,劳厄法是用连续谱X射线投射到固定不动单晶试样上，其衍射图样展现在平面底片上一个试验方法,当入射光与晶面之间满足布拉格条件时，将发生衍射极大，在样品周围底片上出现衍射斑点,比如，入射x光方向与晶体内对称轴平行，衍射斑点将含有该轴所含有对称性,劳厄法示意图,第42页,劳厄法特点,因为所用X射线波长是连续改变，若x射线波长介于,min,和,max,之间(,max,可由布拉格公式2dsin,，得到,max,2d，按照厄瓦尔反射球作图法，凡落在最大反射球(对应于,max,)和最小反射球(对应于,min,)区域内倒格点，都满足劳厄方程k-k,0,G。,连续谱X射线大大提升了衍射斑点数目，但也同时带来一些问题，即可能同时有许多波长对同一晶面都满足劳厄方程，在衍射图样上是同一点，造成份析上困难所以劳厄法不宜用来确定品格常数，惯用来确定晶体对称性。,第43页,2.转动单晶法,在此方法中X射线是单色，反射球只有一个但样品单晶是在转动，这么其倒格子将相对反射球转动，于是就有倒格点不停转到反射球上，从而发生布拉格反射。,因为倒格子周期性，这些倒格点可被认为分布在一系列垂直于转轴平面上。同一平面上倒格点当它们转到反射球上时产生反射光方向与转轴夹角固定不变，这么不一样面上倒格点反射线就组成以转轴为轴，夹角各不相同圆锥面若摄影胶片卷成以转轴圆筒，这么衍射斑点都在胶片上形成几条平行,横线,第44页,假如转轴是单晶晶轴，比如立方晶体a轴，此时倒格基矢b(2,a)i也与转轴重合，所以，晶面系Ghb中晶面与转轴垂直这么照片上平行线间距就与晶面间距(晶格常数)有着简单百分比关系，所以通惯用转动单晶法决定基矢和原胞。,旋转单晶法示意图,第45页,3粉末法,此方法样品是由粉状晶粒压成多晶体试验中用单色X射线，而且样品也是不转动不过因为样品中晶粒取向是随机分布，所以同一晶面系空间取向是各种多样，所以布拉格反射条件很轻易得到到满足面那些与入射线夹角相同晶而反射方向也形成了入射线为轴锥面，由此可见，粉末法与转动单晶法非常相同，样品中晶粒随机取向分布，相当于一个转动，只不过转轴是入射线方向而已,第46页,本章小结,概念,晶体、非晶、准晶,晶体周期性,基元、结点、空间点阵、晶体结构、原胞、晶胞、魏格纳原胞、原胞基矢量、晶胞基矢,布拉菲格子、复式格子,晶格结构对称性,对称操作、晶格周期性对对称性影响,8种基本点对称操作，32种点群和230种空间群,七大晶系和14种布拉菲晶胞,第47页,配位数和2种密堆积,倒格子,引入意义,倒格子与正格子关系,布里渊区,定义、特征、画法,确定晶格结构方法,X射线衍射、电子衍射、中子衍射,第48页,计算,晶胞基矢和原胞基矢转换,晶面指数与密勒指数,求法,给定指数画晶面,倒格子,由正格子求倒格子,倒格子相关计算如面间距等,计算特定晶格几何散射因子,第49页,2.1 晶体结合普遍描述,一、双粒子模型,假设晶体中粒子相互作用能能够看成是由一对对粒子相互作用能叠加而得，即我们可先只考虑晶体中一对粒子相互作用能，然后再对晶体中全部粒子求和，就可求出晶体相互作用能。,第二章 晶体结合,第50页,设晶体中任意两个粒子相互作用能可表为：,其中,a、b、m、n,均为大于零常数，可由试验确定。这里第一项为吸引能，第二项为排斥能，若两粒子要稳定结合在一起，则必须满足,n,m,。,第51页,设晶体中有N个粒子，那么晶体总相互作用能为：,其中,r,j,为第j个原子到原点距离（忽略了晶体边界影响）。,以立方晶体来讨论，设,r,为最近邻两原子间距离，则有 ，这里 为与晶体结构相关量。,二、晶体相互作用能,第52页,于是有：,其中 ，,A,、,B,、,m,、,n,待定。,由平衡条件,可求得,r,0,和,U,0 。,这里,r,0,和,U,0,均可由试验测定。,第53页,固体结构稳定意味着，晶体能量比组成晶体粒子处于自由状态时能量总和低,假如以,E,表示晶体在绝对零度时总能量，E,a,表示组成晶体N个自由原子能量总和，则晶体结合能E,b,定义为,或者：构想将晶体拆分成无相互作用单个原子（离子或分子）时，外力所做功称为晶体结合能,W,0。显然，,晶体结合能,第54页,其中，,P,为压强，V为晶体体积,由热力学第一定律,dU=TdS pdV，,若不考虑热效应，即,TdS=0,（实际上只有当,T=0,时才严格成立），有,定义：体积压缩系数,晶体弹性性质,（平衡时）,或,体积压缩模量,1.压缩系数和体弹性模量,第55页,对于固体，普通压强条件下体积改变很小，能够用,V,0,代替,：,2.抗张强度,定义：抗张强度晶体能负荷最大张力，负荷超出抗张强度时，晶体就会断裂，亦即原子间最大吸引力，此时原子间距为,r,m,，有：,设与,r,m,对应体积为,V,m,，利用,第56页,P,m,为,抗张强度,说明：,以上介绍晶体结合能计算经典处理方法，实际上仅仅适用一些特殊晶体，那就是要求组成晶体基本单元(离子、原子团)必须含有封闭电子壳结构因为这些基本单元相互靠近时，不会引发电子分布很大改变只有这时，晶体总相互作用能能够看做是原子对间相互作用能之和不然，还必须计及电子云改变所产生附加能另外，封闭壳层结构电子分布是球对称，这么原子间相互作用就与原子间相对方位无关，只与距离相关只有此时，晶体总相互作用能才能比较轻易地经过对原于对间相互作用能求和得出实际上，经典处理方法仅对离子晶体和分子晶体较为准确,第57页,一、离子晶体：,离子晶体普通由负电性相差较大两种元素原子结合而成。负电性小原子将其外层价电子转移给负电性大原子，形成正负离子，正负离子靠库仑相互作用结合起来。正负离子电子壳层饱和，电子云分布基本上球对称，因而满足球密堆积标准。正负离子间相互作用较强，结合能约为150 kcal/mol。经典晶体：NaCl、LiF等。,2 晶体结合基本类型及特征,第58页,共价晶体普通由负电性相同原子或负电性相近两种原子结合而成。两个原子各出一个未配正确价电子形成电子偶，归这两个原子所共有，电子云密度在两原子之间区域增大，经过静电相互作用将两个带正电原子核吸引在一起。,共价结合特征是含有方向性和饱和性。电子云分布不是球对称，因而不满足球密堆积标准。共价结合键合能相当强，所以。共价晶体普通硬度高，熔点高。结合能：150 kcal/mol。经典晶体：金刚石、SiC等。,二、共价晶体：,第59页,金属晶体由金属原子结合而成。因为金属原子负电性小，轻易失去其价电子而变成正离子，而这些价电子则归整块金属所共有，称为共有化电子。经过共有化电子与带正电离子实之间库仑相互作用将这些带正电离子实结合起来。,因为金属原子失去其价电子后，每一个离子实电子云分布基本上是球对称，符合球密堆标准。金属晶体最主要特征是有共有化电子，因而金属含有高导电性和导热性。,结合能：50kcal/mol。经典晶体：Na、Cu等。,三、金属晶体：,第60页,四、分子晶体：,分子晶体是由含有饱和电结构饱和原子（如惰性元素原子）或饱和分子（价电子已与其它原子形成共价键饱和分子）结合而成。这些饱和原子或饱和分子是经过瞬时电偶极矩感应作用而结合起来，称为分子结合或Van der Waals结合。,分子结合特征：就统计平均而言，电子云分布是球对称，符合球密堆标准。Van der Waals结合相当弱，结合能：1 kcal/mol，熔点很低（Kr:117 K；Ar:84 K）。经典晶体：Ar、CH,4,等。,第61页,氢键晶体由氢原子与其它负电性较大原子（如F、O等）或原子团结合而成。因为氢原子只有一个外层电子，其第一电离能（13.6 eV）远高于同族碱金属原子，因而极难完全失去其外层电子而形成离子键。同时因为氢原子核中只有一个质子，比其它离子实小得多，所以当H原子与另一个负电性大原子形成共价键后，氢核便暴露在外，氢核又可经过库仑相互作用与另一个带负电原子结合在一起。即在一些条件下，一个氢原子可同时吸引两个负电性较大原子，而将这两个原子结合起来。,结合能：10 kcal/mol。经典晶体：H,2,O、HF、KH,2,PO,4,等。,五、氢键晶体：,第62页,
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