沪科版轴对称与等腰三角形总复习资料.docx

一对一辅导教案
学生姓名

性别

年级
初二
学科
数学
授课教师

上课时间
年 月 日
寒假一对一课程
课时： 课时
教学课题
轴对称知识点的回顾巩固复习
教学目标
1、回顾轴对称的相关知识概念和性质特点。

2、掌握轴对称的性质和判定，以及运用。

3、熟练解决有关轴对称的综合运用问题。

教学重点及难点
熟练掌握轴对称的相关性质运用和技巧
教学过程
知识点一：轴对称
（一）轴对称图形和轴对称
　　1、轴对称图形
　　（1）定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对
　 　　　称图形，这条直线就是它的对称轴。。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。例
　 　　　如，等腰三角形是轴对称图形，它的底边的垂直平分线是它的对称轴．其它如等边三角形、矩
　 　　　形、圆、菱形、等腰梯形等都是轴对称图形．如图1．

　　（2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
　　2、轴对称
　　（1）定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够及另一个图形重合，那么就说这两个图形关
　 　　　于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点，也可以说这两
　 　　　个图形关于这条直线成轴对称。如上右图。

　　（2）成轴对称的两个图形的性质：
　 　　　①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
　 　　　②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
　 　　　③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.

　　3、轴对称图形及轴对称的区别和联系
　　（1）区别：轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及
　 　　　两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的。
　　（2）联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这轴对称；如果把成
　 　　　轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．

（二）线段的垂直平分线
　　1．线段的垂直平分线的性质：
　　线段垂直平分线上的点及这条线段两个端点的距离相等。反过来，及一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
　　2．线段的垂直平分线的作法：　
　　① 分别以点 A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于C、D两点；
　　② 作直线 ；则直线即为线段的垂直平分线。

知识点二：作轴对称图形
　　1．作轴对称图形：
（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，
　 　　　就可以得到原图形的轴对称图形；
　　（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称
　　 　　点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
　　2．用坐标表示轴对称：
　　点（）关于x轴对称的点的坐标为（）；点（）关于y轴对称的点的坐标为（）.
知识点三：等腰三角形
（一）等腰三角形
　　1、定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形。
　　2、等腰三角形性质
　　（1）等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
注意：常结合三角形内角和定理及推论解决角度的计算问题。
　　（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）。

　 　　特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°。
　　3、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）。
（二）等边三角形
　　1、定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。
　　2、等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°。
　　3、等边三角形的判定：
　　（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
　　（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
　　（3）有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形。
　　4、直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边
　 　　的一半。
规律方法指导：
　　1、要注意轴对称图形及轴对称概念的区别及联系。
　　2、线段的垂直平分线的两个性质是定理和逆定理的关系。
　　3、点（）关于x轴对称的点的坐标为（）；点（）关于y轴对称的点的坐标为（）。程
　 　　度较好的学生可以考虑再拓展：点关于直线，等的对称。
　　4、等腰三角形“三线合一”的性质可以这么理解：①等腰三角形；②顶角的平分线；③底边上的中
　 　　线；④底边上的高，以其中任意两个作为条件，就能推出其他两个结论。
　　5、推理证明是本章的难点，要克服这个难点，可以结合所要求证的结论一起考虑，即“两头凑”，帮
　 　　助我们克服这一困难。
重点考点：
1. 垂直平分线、角平分线的定义以及性质运用：
练一练：
（1） 用直尺和圆规作已知线段的中垂线。
（2） 用直尺和圆规作已知角的角平分线。

经典练习选讲：
1．如图，、分别是△外角∠及∠的平分线，它们相交于点P，⊥于点D，⊥于点F．求证：为∠的平分线．

2.如右图所示，已知＝，垂直平分交、于D、E两点，若＝12，＝l0，∠A＝49°，求∠度数。

2、轴对称变换：
定义：由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换；
利用坐标表示轴对称：利用平面直角坐标系中及已知点关于x轴或y轴对称点的坐标的规律，可以在平面直角坐标系中作出及一个图形关于x轴及y轴对称的图形。（由点到线，到面）
*点（x，y）关于x轴对称的点是（x，－y），关于y轴对称的点是（－x，y）,
关于原点对称的点是（－x，－y）, 关于对称的点是（y，x）。
例题：1、如图:
(1)求点A关于y轴对称的点的坐标；
(2)求点B关于x轴对称的点的坐标；

2、

3、轴对称作图，找点，使得距离之和最短问题

相应经典练习选讲：

（1）.如图：D，E为两边，的中点，将沿线段折叠，使点A落在点F处，若B＝50，则

（2）.把一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后的C点落在B’M或B’M的延长线上，那么的度数为。

（3） .如图所示，梯形中，，1，B＝60，直线为梯形的对称轴，P为上一点，那么＋的最小值为。
（4） 在正方形中，M，N为和中点，将点C沿直线对折，
使C落在上为F，求。

5、已知直线l为8，点P（x，y）在l上，且x＞0，y＞0，点A的坐标为（6，0）．
（1）设△的面积为S，求S及x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）当9时，求点P的坐标；
（3）在直线l上有一点M，使的和最小，求点M的坐标．

6、如图：在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出及△关于直线l成轴对称的△′C′；
（2）△的面积为　　　　　　；
（3）在直线l上找一点P，使的长最短，则这个最短长度为　　　　　　个单位长度．（在图形中标出点P）

4、等腰三角形：
（1） 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角；
（2） 等腰三角形的性质：a：两腰相等；b：两底角相等；c：顶角平分线，底边上的中线，高三线重合（三线合一），d：对称性；
（3） 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等（“等角对等边”）；
（4） 等边三角形的定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形；

*等边三角形是一种特殊的等腰三角形

等边三角形的性质：a：等边三角形的三个内角相等，并且每个角都等于60度；b：等边三角形每一条边上都是三线合一；
（5） 等边三角形的判定：a：三个角都相等的三角形是等边三角形；b：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

经典练习选讲：
题型一：等腰三角形的性质
（1）如图：在中，＝，D为边上一点，
且，则A等于。

（2）等腰三角形两边长为5和9，周长为；等腰三角形两边长为4和9时，周长为；若等腰三角形周长为40，一边长为14，其他两边长为。

（3）等腰三角形中一个角为40°，则另外两个角为,如果一个角为100°，那另外两个角为.

（4）如图所示：在△中，1＝2＝3，△为等边三角形，求的度数

（5）如图,△中平分∠交于D，且2，∠900，∠900，∠∠22.5064,求的长.

第（4）题图

第5题图

（6）如图,△中 在的延长线上,∠∠,求证⊥。

第6题图

（7）如图所示：在△ 中，，求的度数。

第（7）题图

（8）如图，是等腰△的顶角平分线，P是上一点，连接,并分别将它们延长，交于点F,交于点E
(1)说出点E关于的对称点，并说明理由；
(2)找出图中及△全等的三角形，并说明理由；
(3)若64,求图中阴影部分的面积。

第（8）题

题型二：等腰三角形的三线合一
（1）如图，在等腰△中，∠90°，D为的中点，⊥，垂足为
E，过点B作∥交的延长线于点F，连接．
（1）求证：⊥；
（2）连接，试判断△的形状，并说明理由．

第（1）题图
（2）如图，⊥⊥2,
求证：平分∠

第2题图

(3)如图，∠90°，D、E分别在、上，⊥，且，点F是的中点，及相交于点M．
（1）求证：∠∠；
（2）及垂直吗？并说明理由．
第3题图

等边三角形和等腰直角三角形的性质应用及判定
（1）如图，在等边△中，点分别在边上，及交于点F.
求证：(1);(2)求∠的度数。
（2）如图，在△中，∠90°，∠60°，D是延长线上一点，且,则

（3）已知，如图，是等腰直角三角形的斜边，是
∠A的平分线，求证：

（4）两个全等的含30°，60°的三角板和三角板，如图所示放置，三点在一条直线上，连接,取的中点M,连接,试判断△的形状，并说明理由。

等腰三角形巩固提高
1. 如图，在△中，，∠26°，求∠B和∠C的度数．

2、如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若11P22P3=…13P1414A，则∠A的度数是　．

2、如图，点D，E在△的边上，＝，＝，
求证＝

3、如图，△中，D、E分别是、上的点，及交于点O.给出下列三个条件：
①∠∠;②∠∠;③.
A
E
B
C
O
D
(1) 上述三个条件中，哪两个条件可判定△是等腰三角形（用序号写出所有情形）
(2) 选择第（1）小题中的一种情形，证明△是等腰三角形

A
C
B
F
E
O
3、如图，△中，∠及∠的平分线交于点O，过点O作∥，交于点E，交于点F求证：.

4、如图，∠A＝∠B，∥，交于E，求证△是等腰三角形

5、如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△和△都是等边三角形．交于F，交于H，
①求证：△≌△；
②求证：；
③判断△的形状并说明理由．

6、如图．在四边形中，∠∠180°，，E、F分别是边、延长线上的点，且∠∠，求证：﹣．

7、已知：如图，平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（4，0），B（0，-4），P为y轴上B点下方一点，（m＞0），以为边作等腰直角三角形，其中，点M落在第四象限．
（1）求直线的解析式；
（2）用m的代数式表示点M的坐标；
（3）若直线及x轴交于点Q，判断点Q的坐标是否随m的变化而变化，写出你的结论并说明理由．

8、如图，在等边△中，点D、E分别在边、上，且，及相交于点P，⊥于点Q．
（1）求证：△≌△；
（2）请问及有何关系？并说明理由．（备注：在直角三角形中，30°所对直角边是是斜边的一半）

观察探究：
1、已知如图（1）：△中，，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作∥分别交、于E、F．
（1）写出线段及、间的数量关系？（不证明）
（2）若≠，其他条件不变，如图（2），图中线段及、间是否存在（1）中数量关系？请说明理由．
（3）若△中，≠，∠B的平分线及三角形外角∠的平分线交于O，过O点作∥交于E，交于F，如图（3），这时图中线段及，间存在什么数量关系？请说明理由．

2、已知∠40°，平分∠，点A、B在射线、上，点C是射线上的一个动点，连接交射线于点D，设∠．
（1）填空：若∥，
①当∠∠时，（如图①），则x的度数为　　　　　　；
②当∠∠时，（如图②），则x的度数为　　　　　　；
（2）若⊥于点A（如图③），且△是等腰三角形，求x的度数．

3、（1）观察及发现
小明将三角形纸片（>）沿过点A的直线折叠，使得落在边上，折痕为，展平纸片（如图（1））；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D 重合，折痕为，展平纸片后得到△（如图（2）），小明认为△是等腰三角形，你同意吗？请说明理由。

实践及运用
将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为（如图（3））；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点D′处，折痕为（如图（4））；再展平纸片（如图（5）），求图（5）中∠α的大小。

第 11 页