资源描述
2015年高考
五 月 信 息 专 递
数 学
咸阳市学科研究中心数学专家组
考前寄语
l 高考趋向：
真题：回归教材是常态
题源：根植课本、稳定在部分往年陕西真题模型之中。
难度：在稳定与过渡的前提下，于陕西2014持平
关注：特别关注高等背景题，以及主干知识的深度考查。
创新：选择最后一题，必考解答最后二题，选考解答题。
题型：能力立意是常态
选择题：基础，控制计算量，将会有1道新颖题；
填空题：基本，稳定中渐变，可能有1道情景题；
解答题：常规，突数学本质，一般有2道选拔题。
l 解题策略：
应试：科学做题是常态
提醒：查漏补缺是常态
选择题：对照选支，不择手段；该算不算，巧判过关；
填空题：稳、准、快；浅层次挖掘，从定义、概念出发，找联系；
解答题：模式识别、差异分析、寻找转化。
解题就是探究：数量关系、图形关系、随机关系。
解题五字操作方法：建（坐标系），设（点坐标、方程、角度、参数），列（关系式、方程、函数、不等式、数列）；解（解方程、不等式、求函数最值），验（反思、检验）。
信息传递
从2006年开始，陕西高考数学自主命题，已经形成了自己的风格，形成了一定的特点，2015年是陕西最后一次自主命题。既延续往年的成功做法，又关注全国卷的命题特色，相信，今年试题会做好平稳过渡， 体现有利于中学教学和大学选拔,为陕西自主命题划上圆满的句号。
l 往年高考命题背景
1．根植于高等数学背景。例如：2010年选择题最后一题改编自《数学分析》教材题目；2011年函数曲线、点列、数列综合解答题目，取材于《计算数学》内容；2012年函数零点、不等式综合压卷题；2014年函数与调和级数、不等式综合压卷题；有明显的高等数学背景。
2．改编自资料经典问题。例如：2012年理科压卷题第2问类似于2011年五月信息题；2011年立体几何解答题是老版教材《立体几何（甲种本）》题目改造。
3．改编自竞赛经典问题。例如：2011年的植树填空题目是经典竞赛试题改编；2011年理科12题一元二次方程整数根是初中数学竞赛的风格；2010年和2012年选择题最后一题里的高斯函数是竞赛的考点。
4．改编自往年的高考试题。例如：2012年理科压卷题将函数、导数、不等式、数列综合，有陕西2006年压卷题目的味道，还雷同于2006年广东压卷题；2012年第2题考查函数性质是1985年全国高考题目的风格；2012年理科第7题类似于2011年北京理科18题里的函数；2012年理科第9题与2011年重庆理科第6题有相近的已知条件。
5．改编自课本经典的问题。例如：2012年抛物线拱桥填空题；立体几何解答题是三垂线定理和逆定理，这在课本例题习题里出现；2011年三角函数解答题为教材余弦定理的叙述与证明；2010年文科三角解答是课本原题仅改数值而成。2013年等差、等比数列求和公式推导。
我们还可以列举更多的例子，望读者多加思考，从往年的考题明码信息里，琢磨2015年高考命题的新动向。
l 今年高考命题猜想
1. 选择、填空试题里各有一道“亮点题”，显示命题人的设计艺
术，检查考生的分析问题和解决问题的能力。
2.课本是高考试题的直接来源，这是一条不会改变的命题规律，
值得再次关注。
3.解析几何试题复习时，请控制运算难度，题目将简单明了。
4.实际应用性的问题，是命题的趋向，体现浅而不难，新而有趣。
5.概率试题依然是试题长度适当，控制阅读理解的上限。
6. 压卷题目依然有深刻的数学背景，有探究、研究的空间，
体现高考命题的选拔性。
2015年理科临考模拟
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，函数的定义域为M， 则为（ ）
A. B. C. D.
2. 复数的共轭复数的虚部为（ ）
A． B．2 C． D． 1
3.下列函数中，为偶函数且有最小值的是( )
A．f(x)＝x2＋x B．f(x)＝|ln x| C．f(x)＝xsin x D．f(x)＝ex＋e－x
4. 根据统计知识则不正确的命题是( )
A．传染病医院感染禽流感的医务人员数与医院收治的禽流感病人数是具有相关关系的两个变量
B．从参加高三模拟考试的1200名学生中，随机抽取100人了解试卷难易情况可以用系统抽样
C．线性回归方程必过
D．在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大.
5．已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－2有3个零点，则实数a的值为( )
A．－4 B．－2 C．0 D．2
6.已知e1，e2是两个单位向量，其夹角为θ，若向量m＝2e1＋3e2，则|m|＝1的充要条件是( )
A．θ＝π B．θ＝ C．θ＝ D．θ＝
7. 如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是( )
A． B．
C． D．
8.执行如右图程序框图，则输出的结果为( )
是
否
开始
A=1, S=0
S=S+A
A=2A
S>2015
输出S
结束
A．2048 B．2047
C．2046 D．2016
9．在R上定义运算若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( )
A．18 B．24 C．36 D．48
11.在一次救援活动中，我空军接到救援队急需要紧急医疗器械，但由于雾霾天气，空军只能根据信息判断搜救队大概在区域内活动，为缩小目标范围，空军利用高科技，将搜救队活动范围缩小在 区域，若向区域M上，空投救援物资，则该救援物资落入区域的概率为( )
A． B． C． D．
12. 如图，等腰梯形中，，且，. 以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为；以，为焦点，且过点的椭圆的离心率为，动点E在边AB上，且对恒成立，则的最大值（ ）
A． B． C． D．不存在
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两个部分.第13~21题为必考题，每个考生都必须作答.第22~24题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.
13．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝b，sin B＝sin C，则B等于 .
14.已知函数且则________．
15.某高中学生测量队，为测量学校附近的发射塔高度，他们站在教学楼楼顶，测得信号发射塔的塔顶仰角为，塔底的俯角为，通过计算测得塔高米，则他们所站的教学楼高 米.
16. 在的展开式中，项的系数是 . （用数字作答）
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）已知等差数列{an}的公差不为零，a1 =3，且a1，a2，a4成等比数列．
（I）求{an}的通项公式；
（II）数列{ }是以a1为首项，3为公比的等比数列，求数列的前n项和Sn
18.(本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面⊥底面，为的中点，是棱上的点，，，．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）若二面角为，设，试确定 的值．
19. (本小题满分12分）大学生村官下基层包村锻炼的活动中，某女大学生要在12个村委会（其中有4个村在山区，8个村在丘陵）中选3个村.
（1）求该女村官至少选一个山区村的概率.
（2）若该女村官选的3个村中有2个在丘陵，1个在山区，且女村官到丘陵地工作的概率为，在山区工作的概率为，假设所选村的所在地与否相互独立，用X表示女村官所选村庄的个数，求X的分布列及数学期望.
20.（本小题满分12分）设动圆C与圆：外切，与直线相切.
(1)求动圆圆心C的轨迹方程；
(2)若曲线E与C的轨迹关于直线对称，求两曲线围成封闭图形的面积；
(3)过点任作一直线交曲线E于A、B两点，是否存在一直线使以A、B为切点的切线的交点总在此直线上，若存在，求此直线方程，若不存在，说明理由．
21.（本小题满分12分）已知函数（）．
（1）若函数的图象在处切线的斜率为，且不等式在上有解，求实数的取值范围；
（2）若函数的图象与轴有两个不同的交点，且，
求证：（其中是的导函数）．
请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E.
(1)求证：AB2＝DE·BC；
(2)若BD＝9，AB＝6，BC＝9，求切线PC的长．
23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程是，圆C的极坐标方程为．
（1）求圆心C的直角坐标；
（2）由直线上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
（Ⅰ）已知函数,,若恒成立，求实数的取值范围。
（Ⅱ）已知实数满足且的最大值是1，求的值．
2015年文科临考模拟
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2. 复数的共轭复数的虚部为（ ）
A． B．2 C． D． 1
3.下列函数既是偶函数又是周期为的函数是（ ）
A． B. C. D.
4. 根据统计知识则不正确的命题是( )
A．传染病医院感染禽流感的医务人员数与医院收治的禽流感病人数是具有相关关系的两个变量
B．从参加高三模拟考试的1200名学生中, 随机抽取100人了解试卷难易情况可以用系统抽样
C．线性回归方程必过
D．在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大.
5．函数的零点所在的一个区间是（ ）
A． B. C. D.
6.已知e1，e2是两个单位向量，其夹角为θ，若向量m＝2e1＋3e2，则|m|＝1的充要条件是( )
A．θ＝π B．θ＝ C．θ＝ D．θ＝
7． 如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是( )
A． B．
C． D．
8. 下图为一个求50个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为( )
A．i>50
B．i<50 S=0
i=1
DO
INPUT x
S=S+x
i=i+1
LOOP UNTIL ____
a=S/50
PRINT a
END
C．i>=50
D．i<=50
9．某高中在校学生2 000人，高一年级与高二年级人数相同并都比高三年级多1人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表：
高一年级
高二年级
高三年级
跑步
a
b
c
登山
x
y
z
其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高二年级参与跑步的学生中应抽取( )
A．36人 B．60人 C．24人 D．30人
9．在R上定义运算若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( )
A．18 B．24 C．36 D．48
11.某农场给某种农作物施肥量x(单位：吨)与其产量y(单位：吨)的统计数据如下表：
施肥量x
2
3
4
5
产量y
26
39
49
54
根据上表，得到回归直线方程＝9.4x＋，当施肥量x＝6时，该农作物的预报产量是( )
A．72.0 B．67.7 C．65.5 D．63.6
12.设变量满足，的最大值为5，则( )
A．1 B．3 C．4 D．2
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两个部分.第13~21题为必考题，每个考生都必须作答.第22~24题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.
13．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝b，sin B＝sin C，则B等于________．
14.设函数，则 .
15.某高中学生测量队，为测量学校附近的发射塔高度，他们站在教学楼楼顶，测得信号发射塔的塔顶仰角为，塔底的俯角为，通过计算测得塔高米，则他们所站的教学楼高 米.
16.观察下列等式, , , ，照此规律，第个等式可为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）已知函数最小正周期为．
（Ⅰ）求的值及函数的解析式；
（Ⅱ）若的三条边，，满足，边所对的角为，求的取值范围．
18．（本小题满分12分）如图，正三棱柱ABC―A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1.
（I）求证：A1C//平面AB1D；
（II）求点c到平面AB1D的距离.
19.（本小题满分12分）某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，下表是在某单位得到的数据（人数）：
(I)判断是否有99. 5%的把握认为赞同“男女同龄退休”与性别有关？
(Ⅱ)用分层抽样的方法从赞同“男女同龄退休”的人员中随机抽取6人作迸一步调查分析，将这6人作为一个样本，从中任选2人，求恰有1名男士和1名女士的概率，下面的临界值表供参考：
（参考公式：）
20.（本小题满分12分）设动圆C与圆：外切，与直线相切.
(1) 求动圆圆心C的轨迹方程；
(2) 若曲线E与C的轨迹关于直线对称,过点任作一直线交曲线E于A、B两点，是否存在一直线使以A、B为切点的切线的交点总在此直线上，若存在，求此直线方程，若不存在，说明理由．
21.（本小题满分12分）函数．
（1）令，求的单调递增区间；
（2）当＞0时，求函数的极值；
（3）若x∈时，图象上任意一点处的切线倾斜角为θ，求当0≤θ≤时的取值范围．
请考生从第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E.
(1)求证：AB2＝DE·BC；
(2)若BD＝9，AB＝6，BC＝9，求切线PC的长．
23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程是，圆C的极坐标方程为．
（1）求圆心C的直角坐标；
（2）由直线上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
（Ⅰ）已知函数,,若恒成立，求实数的取值范围。
（Ⅱ）已知实数满足且的最大值是1，求的值．
理科参考答案：
一、 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
A
D
D
D
A
A
B
C
C
D
C
二、填空题
13．45° 14． 15． 16. 120
三、解答题
17．解：（Ⅰ）设的公差为，由题意，，即………………2分
于是
因为，且，所以． …………………………………………………4分
故． ……………………………………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，……………………………………………………………6分
又数列是以为首项，为公比的等比数列，则， ………7分
所以，即． ………………………………………………………8分
因此①
则② …………………………………………10分
由①-②得
因此． ……………………………………………………………………12分
18.解：（Ⅰ）∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ． …………………1分
∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD． …………………2分
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，…………………4分
∴BQ⊥平面PAD． …………………5分
∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD． …………………6分
（Ⅱ）法一：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．
∵面PAD⊥面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，∴PQ⊥面ABCD．……………7分
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为；
，，，．
设，则，
,∴，
在平面MBQ中，，，
∴平面MBQ法向量为．
∵二面角为30°，∴，得……12分
19.解:（1）设A表示女村官至少选一个山区村，则表示女村官选3个丘陵村，
，则，即. （5分）
（2）X的所有可能值为0，1，2，3，则，
，
；其分布列为：
所以. （12分）
20.解:（1）由题设知动圆圆心到定点和定直线距离相等，所以动圆圆心C的轨迹方程为. （3分）
（2） 曲线E的方程为，两曲线的交点为， ，所以两曲线围成封闭图形的面积 . （7分）
（3）设，则经过A、B的切线方程分别为：①，②.
由 得：，
由韦达定理得 ， =-16.
②-①得
②+①得
将代入，可得存在直线：. （12分）
21.解：（Ⅰ）由 ，
得切线的斜率，故， …… 2分
由得
∵不等式在上有解，所以 ……4分
令 则，
∵，故时，．当时，；当时，．
故在处取得最大值，
所以 ……6分
（Ⅱ）因为的图象与轴交于两个不同的点
所以方程的两个根为，则，两式相减得
， ……8分
又，则
下证（*），即证明
即证明在上恒成立 …10分
因为又，所以
所以，在上是增函数，则，从而知
故，即成立 ………12分
22.【解析】(1) ∵AD∥BC，∴＝.
∴AB＝CD，∠EDC＝∠BCD.
又PC与⊙O相切，∴∠ECD＝∠DBC.
∴△CDE∽△BCD.∴＝.
∴CD2＝DE·BC，即AB2＝DE·BC. (5分)
(2) 由(1)知，DE＝＝＝4，
∵AD∥BC，∴△PDE∽△PBC，
∴＝＝.
又∵PB－PD＝9，
∴PD＝，PB＝.
∴PC2＝PD·PB＝·＝.∴PC＝. (10分)
23.解：（I），
， …………（2分）
， …………（3分）
即，．…………（5分）
（II）方法1：直线上的点向圆C 引切线长是
，
…………（8分）
∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是 …………（10分）
方法2：， …………（8分）
圆心C到距离是，
∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是 …………（10分）
24.解：（Ⅰ）函数的图象恒在函数图象的上方， 即,
从而有）由绝对值不等式的性质知 2（2=20 因此，实数的取值范围为 …5分
（Ⅱ）由柯西不等式：
因为所以， 因为的最大值是1,所以，当时，取最大值，所以．
文科参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
B
D
B
A
A
A
A
C
C
A
二、 填空题
13. 45° 14. 15. 10 16.
三、解答题
17. 解：（Ⅰ）． …………4分
由，得． …………………………………………………5分
函数． …………………………………6分
（Ⅱ）因为．……………10分
而为三角形内角，所以．………………………………12分
18.解：（I）证明：连接A1B，设A1B∩AB1 = E，连接DE.
∵ABC―A1B1C1是正三棱柱，且AA1 = AB，∴四边形A1ABB1是正方形，∴E是A1B的中点， 又D是BC的中点，∴DE∥A1C. ∵DE平面AB1D，A1C平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D. ………6分
（II）∵平面B1BCC1⊥平面ABC，且AD⊥BC，∴AD⊥平面B1BCC1，又AD平面AB1D，∴平面B1BCC1⊥平面AB1D. 在平面B1BCC1内作CH⊥B1D交B1D的延长线于点H，
则CH的长度就是点C到平面AB1D的距离.
由△CDH∽△B1DB，得
即点C到平面AB1D的距离是……12分
.
20.【解析】（1）由题设知动圆圆心到定点和定直线距离相等，所以动圆圆心C的轨迹方程为.（5分）
（2)设，则经过A、B的切线方程分别为：①，②.
由 得：，
由韦达定理得 ， =-16.
②-①得
②+①得
将代入，可得存在直线：.（12分）
21.解:（1）由可得：，，
令即解得
所以的单调递增区间为 （3分）
（2）由，令 =0，得=0，或=．∵＞0，∴当变化时，、 的变化情况如下表：
(-∞，0)
0
(0，)
(，+∞)
-
0
+
0
-
极小值
极大值
∴y极小值=y极大值== - + = （7分）
（3）当∈时，tanθ=．由θ∈，得0≤≤1，即∈时，0≤≤1恒成立．当=0时，∈R．
当∈(0，1]时，由≥0恒成立，由(2)知≥．
由≤1恒成立，≤(3+)，∴≤(等号在=时取得)．
综上，≤≤. (12分)
22.解:(1) ∵AD∥BC，∴＝.
∴AB＝CD，∠EDC＝∠BCD.
又PC与⊙O相切，∴∠ECD＝∠DBC.
∴△CDE∽△BCD.∴＝.
∴CD2＝DE·BC，即AB2＝DE·BC. (5分)
(2) 由(1)知，DE＝＝＝4，
∵AD∥BC，∴△PDE∽△PBC，
∴＝＝.
又∵PB－PD＝9，
∴PD＝，PB＝.
∴PC2＝PD·PB＝·＝.∴PC＝. (10分)
23.解：（I），
， …………（2分）
， …………（3分）
即，．…………（5分）
（II）方法1：直线上的点向圆C 引切线长是
，
…………（8分）
∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是 …………（10分）
方法2：， …………（8分）
圆心C到距离是，
∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是 …………（10分）
24.解：（Ⅰ）函数的图象恒在函数图象的上方， 即,
从而有 ）由绝对值不等式的性质知 2（2=20 因此，实数的取值范围为 …5分
（Ⅱ）解：由柯西不等式：
因为所以， 因为的最大值是1,所以，当时，取最大值，所以．
备选题
1. 已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点,且椭圆上的点到点的最小距离为2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知圆,直线.当点在椭圆上运动时,直线与圆是否恒相交于两个不同的点A、B？,若相交,试求弦长的取值范围,否则说明理由.
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