资源描述
二次根式
【知识回顾】
1.二次根式：式子（≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
（＞0）
（＜0）
0 （=0）；
4.二次根式的性质：
（1）（）2= （≥0）； （2）
5.二次根式的运算：
（1）因式的外移和内移：假如被开方数中有的因式可以开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；假如被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
=·（a≥0，b≥0）； （b≥0，a>0）．
（4）有理数的加法互换律、结合律，乘法互换律及结合律，乘法对加法的分派律以及多项式的乘法公式，都合用于二次根式的运算．
【典型例题】
1、概念与性质
例1下列各式1），
其中是二次根式的是_________（填序号）．
例2、求下列二次根式中字母的取值范围
（1）；（2）
例3、 在根式1) ，最简二次根式是（ ）
A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)
例4、已知：
例5、 （2023龙岩）已知数a，b，若=b－a，则 ( )
A. a>b B. a<b C. a≥b D. a≤b
2、二次根式的化简与计算
例1. 将根号外的a移到根号内，得 ( )
A. ； B. －； C. －； D.
例2. 把（a－b）化成最简二次根式
例3、计算：
例4、先化简，再求值：
，其中a=，b=．
例5、如图，实数、在数轴上的位置，化简 ：
3、比较数值
（1）、根式变形法
当时，①假如，则；②假如，则。
例1、比较与的大小。
（2）、平方法
当时，①假如，则；②假如，则。
例2、比较与的大小。
（3）、分母有理化法
通过度母有理化，运用分子的大小来比较。
例3、比较与的大小。
（4）、分子有理化法
通过度子有理化，运用分母的大小来比较。
例4、比较与的大小。
（5）、倒数法
例5、比较与的大小。
（6）、媒介传递法
适当选择介于两个数之间的媒介值，运用传递性进行比较。
例6、比较与的大小。
（7）、作差比较法
在对两数比较大小时，经常运用如下性质：
①；②
例7、比较与的大小。
（8）、求商比较法
它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：
①； ②
例8、比较与的大小。
4、规律性问题
例1. 观测下列各式及其验证过程：
， 验证：；
验证:.
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思绪，猜想的变形结果，并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n是整数)表达的等式，并给出验证过程.
四边形
1．四边形的内角和与外角和定理：
（1）四边形的内角和等于360°；
（2）四边形的外角和等于360°.
2．多边形的内角和与外角和定理：
（1）n边形的内角和等于(n-2)180°；
（2）任意多边形的外角和等于360°.
3．平行四边形的性质：
由于ABCD是平行四边形Þ
4.平行四边形的鉴定：
.
5.矩形的性质：
由于ABCD是矩形Þ
6. 矩形的鉴定：
Þ四边形ABCD是矩形.
7．菱形的性质：
由于ABCD是菱形
Þ
8．菱形的鉴定：
Þ四边形四边形ABCD是菱形.
9．正方形的性质：
由于ABCD是正方形
Þ
（1） （2）（3）
10．正方形的鉴定：
Þ四边形ABCD是正方形.
(3)∵ABCD是矩形
又∵AD=AB
∴四边形ABCD是正方形
11．等腰梯形的性质：
由于ABCD是等腰梯形Þ
12．等腰梯形的鉴定：
Þ四边形ABCD是等腰梯形
(3)∵ABCD是梯形且AD∥BC
∵AC=BD
∴ABCD四边形是等腰梯形
14．三角形中位线定理：
三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.
15．梯形中位线定理：
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.
一 基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线.
二 定理：中心对称的有关定理
※1．关于中心对称的两个图形是全等形.
※2．关于中心对称的两个图形，对称点连线都通过对称中心，并且被对称中心平分.
※3．假如两个图形的相应点连线都通过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.
三 公式：
1．S菱形 =ab=ch.（a、b为菱形的对角线 ,c为菱形的边长 ，h为c边上的高）
2．S平行四边形 =ah. a为平行四边形的边，h为a上的高）
3．S梯形 =（a+b）h=Lh.（a、b为梯形的底，h为梯形的高,L为梯形的中位线）
四 常识：
※1．若n是多边形的边数，则对角线条数公式是：.
2．规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”.
3．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.
4．常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形 …… ；仅是中心对称图形的有：平行四边形 …… ；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 …… .注意：线段有两条对称轴.
数据的分析
数据的代表：平均数、众数、中位数、极差、方差
1．解记录学的几个基本概念
总体、个体、样本、样本容量是记录学中特有的规定，准确把握教材，明确所考察的对象是解决有关总体、个体、样本、样本容量问题的关键。
2.平均数
当给出的一组数据，都在某一常数a上下波动时，一般选用简化平均数公式，其中a是取接近于这组数据平均数中比较“整”的数;当所给一组数据中有反复多次出现的数据，常选用加权平均数公式。
3.众数与中位数
平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量。平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适。中位数与数据排列有关，个别数据的波动对中位数没影响；当一组数据中不少数据多次反复出现时，可用众数来描述。
4.极差
用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值。
5.方差与标准差
用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表达一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，计算公式是
s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]；
方差是反映一组数据的波动大小的一个量，其值越大，波动越大，也越不稳定或不整齐。
一、选择题
1．一组数据3，5，7，m，n的平均数是6，则m，n的平均数是（ ）
A.6 B.7 C. 7.5 D. 15
2．小华的数学平时成绩为92分，期中成绩为90分，期末成绩为96分，若按3：3：4的比例计算总评成绩，则小华的数学总评成绩应为（ ）
A．92 B．93 C．96 D．92.7
3.关于一组数据的平均数、中位数、众数，下列说法中对的的是（ ）
A.平均数一定是这组数中的某个数 B. 中位数一定是这组数中的某个数
C.众数一定是这组数中的某个数 D.以上说法都不对
4．某小组在一次测试中的成绩为：86，92，84，92，85，85，86，94，92，83，则这个小组本次测试成绩的中位数是（ ）
A．85 B．86 C．92 D．87.9
5．某人上山的平均速度为3km/h，沿原路下山的平均速度为5km/h，上山用1h，则此人上下山的平均速度为（ ）
A.4 km/h B. 3.75 km/h C. 3.5 km/h D.4.5 km/h
6．在校冬季运动会上，有15名选手参与了200米预赛，取前八名进入决赛.已知参赛选手成绩各不相同， 某选手要想知道自己是否进入决赛，只需要了解自己的成绩以及所有成绩的（ ）
A.平均数 B.中位数 C.众数 D.以上都可以
二、填空题：（每小题6分，共42分）
7．将9个数据从小到大排列后，第 个数是这组数据的中位数
8．假如一组数据4，6，x，7的平均数是5，则x = .
9．已知一组数据：5，3，6，5，8，6，4，11，则它的众数是 ，中位数是 . 10．一组数据12，16，11，17，13，x的中位数是14，则x = .
11．某射击选手在10次射击时的成绩如下表：
环数
7
8
9
10
次数
2
4
1
3
则这组数据的平均数是 ，中位数是 ，众数是 .
12．某小组10个人在一次数学小测试中，有3个人的平均成绩为96，其余7个人的平均成绩为86，则这个小组的本次测试的平均成绩为 .
13．为了了解某立交桥段在四月份过往车辆承载情况，连续记录了6天的车流量(单位：千辆/日)：3．2，3．4，3，2．8，3．4，7，则这个月该桥过往车辆的总数大约为 辆.数据的分析
一：5个基本记录量（平均数、众数、中位数、极差、方差）的数学内涵:
平均数：把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商。平均数反映一组数据的平均水平，平均数分为算术平均数和加权平均数。
众数：在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数
中位数：将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．
极差：是指一组数据中最大数据与最小数据的差。巧计方法，极差=最大值-最小值。
方差：各个数据与平均数之差的平方的平均数，记作s2 .巧计方法:方差是偏差的平方的平均数。
标准差：方差的算术平方根，记作s 。
二 教学时对五个基本记录量的分析：
1 算术平均数不难理解易掌握。加权平均数，关键在于理解“权”的含义，权重是一组非负数，权重之和为1，当各数据的重要限度不同时，一般采用加权平均数作为数据的代表值。
学生出现的问题：对“权”的意义理解不深刻，易混淆算术平均数与加权平均数的计算公式。
采用的措施：弄清权的含义和算术平均数与加权平均数的关系。并且提醒学生再求平均数时注意单位。
2 平均数、与中位数、众数的区别于联系。联系：平均数、中位数和众数都反映了一组数据的集中趋势，其中以平均数的应用最为广泛。 区别：A 平均数的大小与这组数据里每个数据均有关系，任一数据的变动都会引起平均数的变动。B 中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响。当一组数据中的个别数据变动较大时，可用它来描述其集中趋势。C 众数重要研究个数据出现的频数，其大小只与这组数据中的某些数据有关，当一组数据中有不少数据多次反复出现时，我们往往关心众数。其中众数的学习是重点。
学生出现的问题：求中位数时忘掉排序。对三种数据的意义不能对的理解。
采用的措施：加强概念的分析，多做对比练习。
3 极差，方差和标准差。 方差是重难点，它是描述一组数据的离散限度即稳定性的非常重要的量，离散限度小就越稳定，离散限度大就不稳定，也可称为起伏大。极差、方差、标准差虽然都能反映数据的离散特性，但是，对两组数据来说，极差大的那一组方差不一定大；反过来，方差大的，极差也不一定大。
学生出现的问题：由于方差，标准差的公式较麻烦，在应用时常由于粗心或公式不熟导致错误。
采用的措施：注意方差是“偏差的平方的平均数”这一重要特性。或使用计算器计算。
这些数据经常用来解决一些“选拔”、“决策”类问题。中考中经常综合在一起考察。
14．为了培养学生的环保意识，某校组织课外小组对该市进行空气含尘调查，下面是一天中每2小时测得的数据(单位：g/m3 ):
0.04
0.03
0.02
0.03
0.04
0.01
0.03
0.04
0.03
0.05
0.01
0.03
(1)求出这组数据的众数和中位数；
(2)假如对大气飘尘的规定为平均值不超过0.025 g/m3，问这天该城市的空气是否符合规定？为什么？
15． A、B两班在一次百科知识对抗赛中的成绩记录如下：
分数
50
60
70
80
90
100
人数(A班)
3
5
15
3
13
11
人数(B班)
1
6
12
11
15
5
根据表中数据完毕下列各题：
(1)A班众数为 分，B班众数为 分，从众数当作绩较好的是 班；
(2)A班中位数为 分，B班中位数为 分，A班中成绩在中位数以上的(涉及中位数)学生所占的比例是 %，B班中成绩在中位数以上的(涉及中位数)学生所占的比例是 %，从中位数当作绩较好的是 班；
(3)若成绩在85分以上为优秀，则A班优秀率为 %，B班优秀率为 %，从优秀率当作绩较好的是 班.
(4)A班平均数为 分，B班平均数为 分，从平均数当作绩较好的是 班；
16.某酒店共有6名员工，所有员工的工资如下表所示：
人 员
经理
会计
厨师
服务员1
服务员2
勤杂工
月工资(元)
4000
600
900
500
500
400
(1)酒店所有员工的平均月工资是多少元？
(2)平均月工资能准确反映该酒店员工工资的一般水平吗？若能，请说明理由.若不能，如何才干较准确地反映该酒店员工工资的一般水平？谈谈你的见解.
（一） 反比例函数的概念
1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；
2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；
3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．
（二）反比例函数的图象
在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．
（三）反比例函数及其图象的性质
1．函数解析式：（）
2．自变量的取值范围：
3．图象：
（1）图象的形状：双曲线．
越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大．
（2）图象的位置和性质：
与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．
当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；
当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．
（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．
图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．
4．k的几何意义
如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．
如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．
图1 图2
5．说明：
（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．
（2）直线与双曲线的关系：
当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．
（3）反比例函数与一次函数的联系．
（四）实际问题与反比例函数
1．求函数解析式的方法：
（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．
2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．
（五）充足运用数形结合的思想解决问题．
（一） 1．反比例函数的概念
（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）．
A．y=3x B． C．3xy=1 D．
（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）．
A． B． C． D．
答案：（1）C；（2）A．
2．图象和性质
（1）已知函数是反比例函数，
①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．
②若y随x的增大而减小，那么k=___________．
（2）已知一次函数y=ax+b的图象通过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．
（3）若反比例函数通过点（，2），则一次函数的图象一定不通过第_____象限．
（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，
则直线不通过的象限是（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，
则一次函数y=kx+m的图象通过（ ）．
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大体是（ ）．
A． B． C． D．
答案：（1）①②1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B．
3．函数的增减性
（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（ ）．
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（ ）．
A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜
（3）下列四个函数中：①；②；③；④．
y随x的增大而减小的函数有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）．
答案：（1）A；（2）D；（3）B．
注意，（3）中只有②是符合题意的，而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小．
4．解析式的拟定
（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（ ）．
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．不能拟定
（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为 （2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．
（3）已知反比例函数的图象通过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．
（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．
①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．
（5）为了防止“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒． 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克． 请根据题中所提供的信息解答下列问题：
①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．
②研究表白，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要通过_______分钟后，学生才干回到教室；
③ 研究表白，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且连续时间不低于10 分钟时，才干有效杀灭空气中的病菌，那么本次消毒是否有效？为什么？
答案：（1）B； （2）4，8，（，）；
（3）依题意，且，解得．
（4）①依题意，解得
②一次函数解析式为，反比例函数解析式为．
（5）①，，；
②30；③消毒时间为（分钟），所以消毒有效．
5．面积计算
（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（ ）．
A． B． C． D．
第（1）题图 第（2）题图
（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x轴，△ABC的面积S，则（ ）．
A．S=1 B．1＜S＜2 C．S=2 D．S＞2
（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．
第（3）题图 第（4）题图
（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．
（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．
第（5）题图 第（6）题图
（6）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．
①求这两个函数的解析式；
②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．
（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P （m，n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．
① 求B点坐标和k的值；
② 当时，求点P的坐标；
③ 写出S关于m的函数关系式．
答案：（1）D； （2）C；（3）6；
（4），，矩形O Q 1P1 R 1的周长为8，O Q 2P2 R 2的周长为，前者大．
（5）1．
（6）①双曲线为，直线为；
②直线与两轴的交点分别为（0，）和（，0），且A（1，）和C（，1），
因此面积为4．
（7）①B（3，3），；
②时，E（6，0），；
③．
6．综合应用
（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数（k2 ≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（ ）．
A．互为倒数 B．符号相同 C．绝对值相等 D．符号相反
（2）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A（，1），B（1，n）．
① 求反比例函数和一次函数的解析式；
② 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
（3）如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．
① 求点A、B、D的坐标；
② 求一次函数和反比例函数的解析式．
（4）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．
① 运用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；
② 双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（5）不解方程，判断下列方程解的个数．
①； ②．
（2）① 反比例函数为，一次函数为；
②范围是或．
（3）①A（0，），B（0，1），D（1，0）；
②一次函数为，反比例函数为．
（4）①反比例函数为，；
②存在（2，2）．
（5）①构造双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；
②构造双曲线和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．
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