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公司制定了一个激励销售人员的奖励方案

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2020年4月19日
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某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5（A+1）进行奖励．记奖金y（单位：万元），销售利润x（单位：万元）．
（1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型；
（2）如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么她的销售利润是多少万元？
考点：根据实际问题选择函数类型．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：（1）根据奖励方案，可得分段函数；
（2）确定x＞10，利用函数解析式，即可得到结论．
解答：解：（1）∵当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5（A+1）进行奖励，
∴0＜x≤10时，y=0.15x；x＞10时，y=1.5+2log5（x-9）
∴该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型为y＝

0.15x，0＜x≤10
1.5+2log5(x−9)，x＞10

；
（2）∵y=5.5，∴x＞10，
∴1.5+2log5（x-9）=5.5，解得x=34
∴老江的销售利润是34万元．
点评：本题以实际问题为载体，

某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按2log5（A+1）进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y（单位：万元），销售利润为x（单位：万元）．
（Ⅰ）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表示式；
（Ⅱ）如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么她的销售利润是多少万元？
考点：根据实际问题选择函数类型．
专题：应用题；函数的性质及应用．
分析：（I）根据奖励方案，可得分段函数；
（II）确定x＞15，利用函数解析式，即可得到结论．
解答：解：（I）∵当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按2log5（A+1）进行奖励，
∴0＜x≤15时，y=0.1x；x＞15时，y=1.5+2log5（x-14）
∴该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型为y=

0.1x，0＜x≤15
1.5+2log5(x−14)，x＞15

；
（II）∵0＜x≤15时，0.1x≤1.5
∵y=5.5＞1.5，∴x＞15，
∴1.5+2log5（x-14）=5.5，解得x=39
∴老张的销售利润是39万元．
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查学生的计算能力，属于中档题．

· 模型确实能符合公司要求

解析:
借助计算器或计算机作出函数，，，
的图象，观察图象发现，在区间上，模型，的图象都有一部分在直线的上方，只有模型的图象始终在的下方，这说明只有按模型进行奖励时才符合公司的要求．下面经过计算确认上述判断．

首先计算哪个模型的奖金总数不超过万．
对于模型，它在区间上递增，当时，，因此该模型不符合要求；
对于模型，由函数图象，并利用计算器，可知在区间内有一个点满足，由于它在区间上递增，因此当时，，因此该模型也不符合要求；
对于模型，它在区间上递增，而且当时，，因此它符合奖金总数不超过万元的要求．
再计算按模型奖励时，奖金是否不超过利润的，
即当时，是否有成立．
令，．
利用计算器或计算机作出函数的图象，

由图象可知它是递减的，因此，即．
因此，当时，．说明按模型奖励，奖金不会超过利润的．
综上所述，模型确实能符合公司要求．

练习：某公司为了实现 1000万元的利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，现有二个奖励模型：，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？说明理由。（解题提示：公司要求的模型只需满足：当时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③，参考数据：）
答案：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5  ； ③％．………………1分
（1）对于，易知满足①，但当时，，．…………4分
不满足公司要求；…（5分）
（2）对于 ，易知满足①，   …6分
当时，．……………………7分
又，满足② …8分
而％*
设
在为减函数．……………………………10分
 *式成立，
满足③ ．……11分 
综上，只有奖励模型：能完全符合公司的要求