二次函数的存在性问题(相似三角形的存在性问题).doc

二次函数的存在性问题（相似）
已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一交点为B。
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；
A
A
B
B
O
O
x
x
y
y

图①
图②
(3)连接OA、AB，如图②，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

y
x
O
C
B
A
D
[09辽宁十二市]已知：在平面直角坐标系中，抛物线（）交轴于
A、B两点，交轴于点C，且对称轴为直线．
（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若点P（0，t）是轴上的一个动点，请进行如下探究：
探究一：如图1，设△PAD的面积为S，令W＝t·S，当0＜t＜4时，
W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此时t的值；
如果没有，说明理由；
图1

探究二：如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt△AOC
相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
图2
y
x
O
C
B
A
D
（参考资料：抛物线对称轴是直线）
解：（1）∵抛物线（）的对称轴为直线．
∴，∴，
∴．
∴．
（2）探究一：当时，有最大值．
y
x
O
C
B
A
D
M
P
∵抛物线交轴于两点，交轴于点，
∴，，，
∴． 4分
当时，作轴于，
则．
∵，
∴．
∵

6分
∴ 7分
∴当时，有最大值，． 8分
探究二：
存在．分三种情况：
①当时，作轴于，则，
y
x
O
C
B
A
D
M
P1
E
P2
∴．
∴，，
∴．
∵轴，轴，
∴，∴，
∴．
∴，．
此时，又因为，
∴，∴，∴．
∴当时，存在点，使，
此时点的坐标为（0，2）． 10分（结论1分，过程1分）
②当时，则，
∴，∴．
∵，∴．
∴与不相似，此时点不存在． 12分（结论1分，过程1分）
③当时，以为直径作，则的半径，
圆心到轴的距离．∵，∴与轴相离．
不存在点，使．
∴综上所述，只存在一点使与相似．
14分（结论1分，过程1分）
（其它方法可参照此答案给分）
y
O

C
D
B
6
A
x

[09青海]矩形在平面直角坐标系中位置如图13所示，两点的坐标分别为，，直线与边相交于点．
（1）求点的坐标；
（2）若抛物线经过点，试确定此抛物线的表达式；
（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线交于点，
点为对称轴上一动点，以为顶点的三角形
与相似，求符合条件的点的坐标．
解：（1）点的坐标为． （2分）
y
O

C
D
B
6
A
x

A
M
P1
P2
（2）抛物线的表达式为． （4分）
（3）抛物线的对称轴与轴的交点符合条件．
∵，
∴．
∵，
∴． （6分）
∵抛物线的对称轴，
∴点的坐标为． （7分）
过点作的垂线交抛物线的对称轴于点．
∵对称轴平行于轴，
∴．
∵，
∴． （8分）
∴点也符合条件，．
∴，
∴． （9分）
∴．
∵点在第一象限，
∴点的坐标为，
∴符合条件的点有两个，分别是，． （11分）